發(fā)布時間：2023-03-08 15:25:27
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的線性規(guī)劃樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
1 線性規(guī)劃與函數(shù)交匯
例1 （2014年山東理）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤0，
2x-y-3≥0，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值25時，a2+b2的最小值為（ ）.
A.5 B.4 C.5 D.2
答案 B.
解析 畫出可行域（如圖1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by經(jīng)過直線2x-y-3=0與直線x-y-1=0的交點A（2，1）時，z取最小值25.將A（2，1）代入目標(biāo)函數(shù)，得2a+b=25，以下用兩種方法求a2+b2的最小值：
圖1
方法1 （轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），當(dāng)a=455時，a2+b2的最小值是4.
方法2 （利用幾何意義）轉(zhuǎn)化為求直線2a+b=25上的點到原點距離平方的最小值，即原點到直線2a+b=25的距離的平方，利用點到直線的距離公式即得.
考點 將簡單的線性規(guī)劃與非線性目標(biāo)函數(shù)的最值相結(jié)合，考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，點到直線距離的幾何意義.對于解決非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的關(guān)鍵在于深挖目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求出最值.
拓展探究 若實數(shù)x，y 滿足不等式組
y≤x-1，
x≤3，x+5y≥4，則x2y 的最小值是（ ）.
2 線性規(guī)劃與全稱、存在量詞結(jié)合
例2 （2014年全國課標(biāo)1）不等式組
x+y≥1，
x-2y≤4的解集記為D.有下面四個命題：
p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，
p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，
p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，
p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.
其中真命題是（ ）.
A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3
答案 C.
圖2
解析 畫出可行域（如圖2），將四個命題依次代入檢驗，對于命題p1，可行域內(nèi)的點恒在直線x+2y=-2的上方，即對所有可行域內(nèi)的點都滿足不等式x+2y≥-2（圖3）;
圖3 圖4
同理對命題p2，可行域內(nèi)存在點在直線x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（圖4）.
其他兩個命題經(jīng)檢驗不合適.
考點 考查不等式（組）表示的平面區(qū)域，全稱、存在量詞的含義.
3 線性規(guī)劃與“不等式恒成立”問題融合
例3 （2014年浙江）當(dāng)實數(shù)x，y滿足
x+2y-4≤0，
x-y-1≤0，
x≥1，時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 1，32.
解析 畫出可行域，欲使不等式組1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域內(nèi)的點恒在兩條平行線之間，兩條平行線斜率為-a，分別恒過（0，1），（0，4）點，如圖5、圖6可得a的取值范圍.
圖5
圖6
考點 本題將線性規(guī)劃與不等式恒成立問題相結(jié)合，本質(zhì)是動態(tài)可行域問題，所謂動態(tài)的可行域，即在約束條件中含有使可行域發(fā)生變化的參數(shù).對于動態(tài)的可行域問題，要注意切入的角度、方向，抓住一些不變的量，變動為靜，向熟悉的、已有的知識轉(zhuǎn)化，從而化解問題.本題兩條平行線斜率含有參變量a，不變的量是兩條平行線所過的定點，切入點是直線所過的定點.
拓展探究 （2014年湖南）若變量x，y滿足約束條件y≤x，
x+y≤4，
y≥k，且z=2x+y的最小值為-6，則k= .
4 線性規(guī)劃與概率融匯
例4 （2014年湖北）由不等式
x≤0，
y≥0，
y-x-2≤0，確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式x+y≤1，
x+y≥-2，確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為（ ）.
A.18 B.14 C.34 D.78
答案 D.
圖7
解析 依題意，不等式組表示的平面區(qū)域（如圖7），
由幾何公式知，該點落在Ω2內(nèi)的概率為P=
12×2×2-12×1×1212×2×2=78，選D.
考點 本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，屬于中檔題.
拓展探究 （2014年重慶）某校早上8：00上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30―7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.（用數(shù)字答）
利用可行域的公共部分求參數(shù)
例1 若直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]與不等式組[x+y-7<0，x-3y+1<0，3x-y-5>0]表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)[λ]的取值范圍是（ ）
A. [（-∞，-137）?（9，+∞）] B. [（-137，1）?（9，+∞）]
C. [（1，9）] D. [（-∞，-137）]
解析 畫出可行域，求得可行域的三個頂點[A（2，1），][B（5，2），C（3，4）].
而直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]恒過定點[P（0，-6），]且斜率為[3λ+1λ-1]，
因為[kPA=72，kPB=85，kPC=103]，
所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞，-137）?（9，+∞）].
答案 A
點撥 畫出可行域，求得可行域的三個頂點，確定直線過定點[P]（0，-6），求得直線[PA，PB，PC]的斜率，其中最小值[85]，最大值[72]，則由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范圍.
利用最值的倍數(shù)關(guān)系求參數(shù)
例2 已知[x]，[y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a，]且[z=2x+y]的最大值是最小值的[4]倍，則[a]的值是（ ）
A. [34] B. [14] C. [211] D. [4]
解析 畫出[x，y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a]的可行域如下圖.
由 [y=x，x+y=2]得，[A1，1]，由[x=a，y=x]得，[Ba，a].
當(dāng)直線[z=2x+y]過點[A1，1]時，目標(biāo)函數(shù)[z=2x+y]取得最大值，最大值為3.
當(dāng)直線[z=2x+y]過點[Ba，a]時，目標(biāo)函數(shù)[z=2x+y]取得最小值，最小值為[3a].
由條件得，[3=4×3a，]所以[a=14].
答案 B
點撥 由題意可先作出不等式表示的平面區(qū)域，再由[z=2x+y]可得[y=-2x+z]，則[z]表示直線[y=-2x+z]在[y]軸上的截距，截距越大，[z]越大，可求[z]的最大值與最小值.
利用充分條件關(guān)系求可行域的面積最小值
例3 已知[Ω]為[xOy]平面內(nèi)的一個區(qū)域.[p]：點[（a，b）∈{（x，y）|x-y+2≤0，x≥0，3x+y-6≤0}];[q]：點[（a，b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分條件，那么區(qū)域[Ω]的面積的最小值是 .
解析 命題[p]對應(yīng)的平面區(qū)域為如圖陰影部分.
則由題意可知，[C（0，2），B（0，6）].
由[x-y+2=0，3x+y-6=0，?x=1，y=3.]
即[D（1，3）]，所以三角形[BCD]的面積為[12×6-2×1=2]，[p]是[q]的充分條件，那么區(qū)域[Ω]的面積的最小值是2.
答案 2
點撥 先利用線性規(guī)劃作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域[BCD]，然后利用[p]是[q]的充分條件，確定平面區(qū)域[BCD]與[Ω]之間的面積關(guān)系.
利用可行域求向量射影的取值范圍
例4 已知實數(shù)[x，y]滿足約束條件[x+2y≥2，2x+y≤4，4x-y≥-1.]若[a=x，y，b=3，-1]，設(shè)[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的數(shù)量，則[z]的取值范圍是（ ）
A.[-32，6] B.[-1，6]
C.[-3210，610] D.[-110，610]
解析 畫出約束條件的可行域，由可行域知：[a=（x，y）=2，0]時，[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量最大，此時[a?b=6]，所以[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量為[610];當(dāng)[a=12，3]時，[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量最小，此時[a?b=-32]，所以[a]在[b]方向上的射影的數(shù)量為[-3210].所以[z]的取值范圍是[[-3210，610]].
答案 C
點撥 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用向量投影的定義計算[z]的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
可行域中的最值問題與基本不等式結(jié)合
例5 若目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a>0，b>0）]滿足約束條件[2x-y-6≤0，x-y+2≥0，]且最大值為40，則[5a+1b]的最小值為（ ）
A. [256] B. 4 C. [94] D. 1
解析 不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，
當(dāng)直線[z=ax+by（a>0，b>0）]過直線[x-y+2=0]與直線[2x-y-6=0]的交點（8，10）時，目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a>0，b>0）]取得最大40，即[4a+5b=20]，
而[5a+1b=5a+1b×4a+5b20=54+5b4a+a5b≥94].
作者：吳可杰姜近勇單位：南京大學(xué)經(jīng)濟(jì)系
線性規(guī)劃理論廣泛應(yīng)用于軍事、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)等國民經(jīng)濟(jì)的各個部門，除了這種方法能解決各個部門提出的生產(chǎn)力布局、作業(yè)計劃、原料配制、產(chǎn)品搭配等實際問題外，還因為線性規(guī)劃模型本身，以及它們的解題方法和應(yīng)用分析，能夠比較容易地為一般沒有較深數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的經(jīng)營管理人員所理解和掌握，特別是借助于電子計算機(jī)的專用程序，不僅能加快運算速度，而且能解決上百.上千個變量的復(fù)雜模型;線性規(guī)劃不僅能求得問題的最優(yōu)解，而且還可以提供經(jīng)濟(jì)分析的數(shù)據(jù)資料。在線性規(guī)劃的應(yīng)用分析中所涉及到的一個重要概念是影子價格，它是數(shù)學(xué)規(guī)劃理論與經(jīng)濟(jì)分析相結(jié)合的產(chǎn)物。影子價格通常反映資源最佳利用狀況，是對資源的邊際收益或衣品的邊際成本的一種估價。利用線性規(guī)劃和影子價格可以為區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃提供有用的數(shù)量信息。本文試圖用數(shù)學(xué)語言來說明線性規(guī)劃和影子價格，并討論它們的經(jīng)濟(jì)意義以及在區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃中的應(yīng)用。
一、線性規(guī)劃模型的一般形式是:在約束為:（式略）這是一對具有特殊性的配對的規(guī)劃模型，我們可以把一個問題稱為“原問題”，另一個問題稱為“對偶問題”。下表總結(jié)出了從一個已知的原問題轉(zhuǎn)換為對偶問題的規(guī)律，這些規(guī)律是假設(shè)已經(jīng)有了一般模型的方程式，然后根據(jù)這些規(guī)律建立它的對偶模型(見表)。對偶問題與原問題是一個問題的兩個方面，對偶問題可以從不同角度提供觀察問題的另一種方法，有時還可以簡化運算。在利用單純形法解原問題時，同時就可以得到其對偶問題的解。反之，求得對偶問題的解，同時也就可得到原問題的解。它們之間的一個重要關(guān)系即是:若原問題與對偶問題均屬可解，且原問題最優(yōu)解為（式略）即:劉.偶問題與原問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。所謂影子價格，就是指由于線性規(guī)劃模型中約束條件右端項B的某一分量(比如bi，i二l，2，…，n)增加一個單位而引起的目條件下，’原問題與對偶問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是相等的，即:（式略）如果bi增加一單位，則目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值就會相應(yīng)增加y，’單位，而yj件即為對偶問題最優(yōu)解Y’的第i個分量。由此可見，第i項約束條件的影子價格就是其對偶問題最優(yōu)解的第宜個分量。而且從上式還可以看出，只要對偶問題的最優(yōu)解不變，其影子價格也就保持常數(shù)值不變。影子價格與商品價值沒有任何聯(lián)系，它純粹是一種計算價格。根據(jù)國民經(jīng)濟(jì)既定的計劃目標(biāo)及一定時期資源的可供給量和消費需求，可以建立一系列線性規(guī)劃模型，計算出各種資源的影子價格，然后在影子價格的基礎(chǔ)上形成計劃價格作為經(jīng)濟(jì)調(diào)節(jié)的工具，以保證資源的利用最大限度地符合計劃目標(biāo)。這樣制定的價格在蘇聯(lián)稱為“最優(yōu)計劃價格”，這種價格理論突出資源的有限性，從而強(qiáng)調(diào)資源的節(jié)約和合理配置。蘇聯(lián)最優(yōu)計劃價格理論的主要代表人物有康托洛維奇、諾沃日洛夫、贊多連柯等，他們對最優(yōu)計劃價格理論進(jìn)行了逐步深入的研究?！?966年11月，蘇聯(lián)科學(xué)院經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究所所長費多連柯在其所作的報告中對最優(yōu)計劃價格的形成過程進(jìn)行了詳細(xì)的說明。他假定國民經(jīng)濟(jì)分為企業(yè)、部門、中央三個層次，具體的價格形成過程為:1.企業(yè)將其生產(chǎn)能力與投入系數(shù)以實物形式報到部一級，進(jìn)行匯總，形成綜合指標(biāo)。2.部門將綜合指標(biāo)報送中央，經(jīng)再一次匯總，得到部門間的生產(chǎn)和消費的約束條件，根據(jù)國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的最優(yōu)性標(biāo)準(zhǔn)妥在中央一級求解線性規(guī)劃，決定各部門的資源消耗與產(chǎn)品產(chǎn)量，并根據(jù)資源的影子價格確定相應(yīng)的資源與產(chǎn)品價格。3.資源與產(chǎn)品的價格下達(dá)到部門、企業(yè)，部門與企業(yè)在利潤最大化的目標(biāo)下決定自己的生產(chǎn)計劃，再次報送上去，到達(dá)中央層次匯總。4.中央將自己的原始計劃與部門報來的計劃進(jìn)行對比調(diào)整，供過于求的資源價格要降低，反之則提高。然后再次下達(dá)價格。如此經(jīng)過多次調(diào)整后，一定能找到一組資源影子價格及據(jù)此確定的資源和產(chǎn)品價格卜使資源得到最優(yōu)利用，社會需要得到最大?！?。費多連柯認(rèn)為，借助電子計算機(jī)，能使這種多次反復(fù)的計算在較短時間內(nèi)完成。
二、區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃是社會主義建設(shè)中;一個長期的、具有戰(zhàn)略意義的工作。合理.的區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃是高速度發(fā)展我國社會主義經(jīng)濟(jì)、加速實現(xiàn)四化的需要。它有利于充分利用各地區(qū)的自然資源、勞動力資源等生產(chǎn)要素，促進(jìn)其經(jīng)濟(jì)的發(fā)展;有利于加強(qiáng)各地區(qū)之間的協(xié)作，建立其不同水平各具特點的國民經(jīng)濟(jì)休系;有利于促進(jìn)工農(nóng)、城鄉(xiāng)聯(lián)系，逐步消除工農(nóng)之間、城鄉(xiāng)之間的本質(zhì)差別;此外，對于提進(jìn)少數(shù)民族地區(qū)、山區(qū)和邊遠(yuǎn)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、對于鞏固和加強(qiáng)國防建設(shè)也具有重要意義。進(jìn)行區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃，要從國家關(guān)斗“長遠(yuǎn)規(guī)劃的總體設(shè)想這一全局出發(fā)，根據(jù)各地區(qū)的自然資源和經(jīng)濟(jì)條件，確定其工業(yè)發(fā)展的方向，結(jié)構(gòu)、資源的綜合利用、工業(yè)的合理布局以及其它各項設(shè)施的合理配置。因地制宜、發(fā)揮地區(qū)優(yōu)勢是區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃首先要解決的問題。地區(qū)之間，由于自然和社會因素的差別，經(jīng)濟(jì)發(fā)展不平衡是一種正?，F(xiàn)象。在我國社會主義建設(shè)中，曾一度片面追求平衡、追求“大而全”“小而全”的經(jīng)擠體系，造成地區(qū)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不合理，社會經(jīng)濟(jì)效益非常差。例如，為了扭轉(zhuǎn)北煤南運的局面，曾在江南貧煤區(qū)發(fā)展煤炭工業(yè)，其結(jié)果不僅耗費大量投資，而且問題也沒得到解決。如果各地區(qū)都能發(fā)揮自己的優(yōu)勢，揚長避短，擇優(yōu)發(fā)展，宜糧則糧，宜牧則牧，宜鋼則鋼，宜紡則紡，我國經(jīng)濟(jì)實力就會有很大提高，生產(chǎn)力布局就會得到很大改善。利用線性規(guī)劃.可以幫助我們確定不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展方向。假設(shè)甲乙兩地分別擁有資金j0千元，甲地每千元投資生產(chǎn)某種原材料，年產(chǎn)量可達(dá)300噸，而投資加工這種原材料，則年加工成品量為100件;乙地每千元投資用于生產(chǎn)這種原材料，年產(chǎn)量只有10。噸，而投資用于加工這種原材料，則年加工成品量可達(dá)300件。甲地每百噸原材料的凈產(chǎn)值為3萬元，乙地為2萬元;甲地每百件加工成品的凈產(chǎn)值為2萬元，乙地為4萬元。怎樣確定兩地的經(jīng)濟(jì)發(fā)展方向才合理呢?對兩個不同經(jīng)濟(jì)區(qū)，分別建立兩個獨立的線性規(guī)劃模型‘以文，、x:分別代表甲地原材料和加工成品的計劃產(chǎn)量，（式略）分別代表乙地原材料和加工成品的計劃產(chǎn)量。用Z、Z”分別攀表甲乙兩地的凈產(chǎn)值。甲地的規(guī)劃模型為:在約束為:（式略）求解可得出甲地規(guī)劃模型的最優(yōu)解為二二30百噸，x:=。百件，最大凈產(chǎn)值為Z二9。萬元?！业匾?guī)劃模型的最優(yōu)解為（式略）“加百件，最大凈產(chǎn)值為Z’二120萬元、這就是說，甲地專門生產(chǎn)原材料，乙地專門加工原材料，、兩地的凈產(chǎn)值都達(dá)到最大值。又由于甲地資金的影子價格為W=9，乙地資金的影子價格為W’二12，如果要追加投資的話，應(yīng)優(yōu)先考慮向乙地投資，即向?qū)ｉT加工原材料的地區(qū)投資。當(dāng)然，擴(kuò)大加工工業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模，必須要保證原材料的供應(yīng)。•但是，在上面的線性規(guī)劃模型中，目標(biāo)函數(shù)中的凈產(chǎn)值系數(shù)是根據(jù)資源和產(chǎn)品的現(xiàn)行價格確定的。而我國現(xiàn)行的價格體系，由于過去長期忽視價值規(guī)律的作用以及其它歷史原因，存在著相當(dāng)紊亂的現(xiàn)象，不少商品的價格既不反映價值，也不反映供求關(guān)系，其中，特別是礦產(chǎn)品、原材料和能源價格偏低。按現(xiàn)行價格計算，生產(chǎn)原材料和能源收益不大，甚至虧損，而生產(chǎn)加工業(yè)品則利潤很大。例如，開采鐵礦的資金盈利率只有5%，煤礦則更低，煉鋼、煉鐵也很低，而軋鋼的資金盈利率有的品種達(dá)20%~30%，有的甚至高達(dá)如%~70%。由于原材料和能源價格偏低，一方面難以調(diào)動原材料和能源開發(fā)區(qū)努力增產(chǎn)的.積極性，原材料和能源開發(fā)區(qū)缺少活力。另一方面造成原材料和能源消耗高的加工部門相對膨脹，這些部門利用廉價的資源獲得高額的利潤，而.且由于原材料和能源太便宜，加工部門不重視原材料和能源消耗管理，浪費嚴(yán)重。這種情況勢必造成原材料和能源供求不平衡、嚴(yán)重短缺，影響整個國民經(jīng)濟(jì)。就能源來說，由于燃料動力供應(yīng)不足，全國有l(wèi)/4的企業(yè)開工不足，有20%~30%的設(shè)備能力不能充分發(fā)揮作用，一年大約要損失工業(yè)產(chǎn)值750億元。因此，不改革現(xiàn)行不合理的價格體系，就不能正確評價各地區(qū)的經(jīng)濟(jì)效益，促進(jìn)地區(qū)經(jīng)濟(jì)合理發(fā)展。即使借助于某種科學(xué)的方法做出地區(qū)經(jīng)濟(jì)規(guī)劃，也還是不切實際的。在上面‘的例子中，由于原材料價格偏低，造成甲地(資源開發(fā)區(qū))比乙地(加工工業(yè)區(qū))的資金影子價格低，同樣的投資在甲地不如乙地的收益大，勢必造成投資向乙地轉(zhuǎn)移。如果將原材料價格提高，使其凈產(chǎn)值達(dá)到每百噸4萬元，則甲地與乙地的資金影子價格相等，都為12，這時如果追加投資，兩地的機(jī)會就是相同的。又假設(shè)乙地只使用甲地生產(chǎn)的原材料，其供應(yīng)量為10(百噸)，且原材料消耗系數(shù)為0.5，則乙地線性規(guī)劃模型的約束條件變?yōu)?（式略）解新的規(guī)劃模型，可以得到原材料的影子價格為6粵，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于甲地百噸原材料的凈產(chǎn)值。這就說明，整個社會增加一單位原材料對加工部門凈產(chǎn)值的貢獻(xiàn)要比對原材料生產(chǎn)部獷1凈產(chǎn)值的貢獻(xiàn)大。這樣必然會刺激原材料的消耗，壓抑原材料的生產(chǎn)，造成原材料短缺。如果提高原材料的價格，使乙地加工成品的凈產(chǎn)值降為每百件:喜萬元，這時原材料的影于價格為3萬元，與甲地百噸原「材料的凈產(chǎn)值相等。這樣就有利于促進(jìn)原材料生產(chǎn)和消費的平衡。因此，我國現(xiàn)行不合理的價格體系啞待改革，原材料、能源、礦產(chǎn)品等資源的價格巫待提高。對于資源定價間題，由于影子價格既能反映資源的效能，又能反映資源的稀缺程度，因此要達(dá)到合理地利用有限資源，更好地反映社會經(jīng)濟(jì)效益，利用影子價格作為我國資源定價的主要依據(jù)是可行的。而且從整個國民經(jīng)濟(jì)來看，資源的影子價格體系確實客觀存在，找到這樣的價格體系應(yīng)該是價格改革的追求目標(biāo)。還有人將影子價格推廣到用各種方法計算出來的非自然形成價格以及由國際市場引進(jìn)的價格都可以稱為影子價格。我國實行對外開放政策以來，進(jìn)出口貿(mào)易大幅度增長，以國際市場價格作為可外貿(mào)貨物這一類資源的影子價格，也可以幫助我們制定合理的資源價格。線性規(guī)劃應(yīng)用于區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃的另一個重要方面是合理分配有限的資源，即是使有限的資源發(fā)揮最大經(jīng)濟(jì)效益。假定某一地區(qū)有m個生產(chǎn)部門，利用‘n種有限資源生產(chǎn)，知道各部門單位產(chǎn)品的凈產(chǎn)值和投入產(chǎn)出系數(shù)，得出一個線性規(guī)劃問題。求解這個線性規(guī)劃，不僅能知道現(xiàn)有條件一F各種資源的最優(yōu)分配，而且可以確定各種資源的影子價格，為計劃投資提供信息。影子價格可以反映規(guī)劃中各種資源的相對稀缺性，影子價格越高，說明這種資源越短缺，增加其投入能帶來更多的社會總產(chǎn)品。影子價格為零的資源為過剩資源，追加這種資源只會造成浪費。假設(shè)某一地區(qū)輕紡工業(yè)部門生產(chǎn)甲產(chǎn)品(單位為千米)的最大生產(chǎn)能力為]。0，冶金工業(yè)部門生產(chǎn)乙產(chǎn)品(單位為噸)的最大生產(chǎn)能力為40。，兩種產(chǎn)品都要消耗資源A，其消耗系數(shù)分別為0.01和0.03，而資源A的可供量為10。又設(shè)在合理的價格體系下甲產(chǎn)品每千米的凈產(chǎn)值為5(百元)，乙產(chǎn)品每噸的凈產(chǎn)值為2(百元)。為了求資源A的最優(yōu)分配方案和確定投資的輕重緩急，可以把上述問題化為求凈產(chǎn)值最大的線性規(guī)劃模型。設(shè)x，、xZ為甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，在約束為:（式略）用單純形法求得最優(yōu)解為:（式略）并得到甲產(chǎn)品、乙產(chǎn)品和資源A的影子價格分別為:（式略）以上結(jié)果給出了甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的最優(yōu)產(chǎn)量，給出了資源A分配的最優(yōu)比例:10單位資源A供應(yīng)輕紡工業(yè)部門1單位(100x0.01)，供應(yīng)冶金工業(yè)部門9單位(300X0.03)。同樣，根據(jù)影子價格，資源A的影子價格最大，說明增加資源A的投入可以較大地提高凈產(chǎn)值，其次是產(chǎn)品甲，產(chǎn)品乙的影子價格為零，說明增加產(chǎn)品乙的產(chǎn)量，并不會提高凈產(chǎn)值，而只會造成浪費。因此，本地區(qū)應(yīng)優(yōu)先考慮向生產(chǎn)資源A的工業(yè)部門投資，一其次向輕紡工業(yè)部門投資，暫停向冶金工業(yè)部門投資。進(jìn)一步還可以通過比較資源的影子價格和市場價格來判斷資源投入是否有利。在生產(chǎn)已達(dá)最優(yōu)結(jié)構(gòu)時，如果某一資源的影子價格高于其市場價格，繼續(xù)投入這種資源就可以增加收益。假定上例中資源A的影子價格高于其市場價格，則應(yīng)再購進(jìn)資源A擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模。相反，如果影子價格低于其市場價格，將資源A投入生產(chǎn)就意味著虧損，這時應(yīng)賣出一部分資源，其收益要比將資源A用來生產(chǎn)大?！畣栴}是在某地區(qū)某資源的影子價格低于其市場價格，而在另一地區(qū)完全有可能高于其市場價格。這樣，通過物資的調(diào)配后，整個社會從宏觀上講就會有更好的效益?？梢?，應(yīng)用線性規(guī)劃和影子價格，可以使資源達(dá)到最合理的分配，純收益達(dá)到最大。
三、在我們前面所分析的例子中，出現(xiàn)了這樣的問題:在生產(chǎn)資源A的工業(yè)部門、輕紡工業(yè)部門以及冶金工業(yè)部門中，優(yōu)先向生產(chǎn)資源A的工業(yè)部門投資，其次向輕紡工業(yè)部門投資，那么投資數(shù)額為多少最合理?又如果資源A的影子價格高于市場價格，則購進(jìn)多少資源A擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模為最優(yōu)?反之，如果資源A的影子價格低于市場價格，則應(yīng)賣出多少資源A才能保證有最大收益?要解決這些問題，可用靈敏度分析加以精確計算。靈敏度分析就是當(dāng)線性規(guī)劃模型的參數(shù)變動時，分析其對最優(yōu)解結(jié)果的敏感程度和范圍。因為在實際工作中經(jīng)常存在著許多不確定性因素，模型中某些參數(shù)會隨著情況變動而產(chǎn)生波動，因此就必須對這些參數(shù)變化所引起的結(jié)果有比較精確的估計。靈敏度分析包括三個方面:一是涉及到約束條件方程中hi值變化的分析;二是涉及到目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)C;值變化的分析;三是涉及到約束條件中技術(shù)性系數(shù)aij變化的分析。在我們前面有關(guān)影子價格問題的討論中，所涉及到的都是約束條件方程中bi值變化的問題。以資源A的影子價格與市場價格的比較為例。假設(shè)資源A的影子價格高于其市場價格，我們要確定資源A的最優(yōu)購進(jìn)數(shù)量。首先，利用靈敏度分析計算出在資源A的影子價格(也即對偶問題的最優(yōu)解)不變的情況下，資源A約束右端項的變動界限。即資源A的約束在這一界限內(nèi)，其影子價格不變。然后，讓資源A的約束右端項突破這一界限的上限，在新的約束下，求資源A的影子價格。如果這一影子價格低于市場價格，則原約束右端項的變動上限與現(xiàn)有資源A的數(shù)量之差，就是應(yīng)購進(jìn)的資源A數(shù)量。如果資源A的影子價格仍然高于市場價格，則重復(fù)以上步驟。直至求出資源A的最優(yōu)購進(jìn)數(shù)量為止。
一、求可行域的面積
這一類問題通常是先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，根據(jù)區(qū)域的形狀來求可行域的面積.若可行域是三角形，可用三角形面積公式求解，若可行域是四邊形或更復(fù)雜的圖形，可用分割法求面積.
二、求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域
已知線性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域問題，在高考中是最基本的考查題型，一般分為四類：第一類問題是求線性目標(biāo)函數(shù)的最值或值域；第二類問題是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點到一定點的距離或距離的平方；第三類問題是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點與一定點連線的斜率；第四類問題是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點到一條定直線的距離.解決這類問題的關(guān)鍵是先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)的特征來求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域.
三、求參數(shù)的值或取值范圍
與線性規(guī)劃問題相關(guān)的求參數(shù)的值或取值范圍問題，在近幾年的高考試題中成為考查線性規(guī)劃問題的熱點，在所考查的試題中，參數(shù)的位置有的在線性約束條件中，也有的在目標(biāo)函數(shù)中，解決這類問題的關(guān)鍵是看是動區(qū)域還是動直線，要在變化中尋求解決問題的途徑.
四、與線性規(guī)劃有關(guān)的綜合問題
將線性規(guī)劃問題與其他數(shù)學(xué)知識進(jìn)行交匯命題，在近幾年的高考試題中，也成為一種時尚，線性規(guī)劃問題可以與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何等數(shù)學(xué)知識綜合，重點考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分析問題、解決問題和綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力.
五、線性規(guī)劃實際應(yīng)用問題
【關(guān)鍵詞】工商管理；經(jīng)濟(jì)發(fā)展；線性規(guī)劃
隨著我國經(jīng)濟(jì)的持續(xù)快速發(fā)展，市場經(jīng)濟(jì)不斷得到完善。由于市場經(jīng)濟(jì)的產(chǎn)生是建立在剩余產(chǎn)品交易行為的基礎(chǔ)之上，隨著市場經(jīng)濟(jì)發(fā)展而誕生的工商管理也有著與眾不同的基本特性。工商管理產(chǎn)生的直接原因是維護(hù)政權(quán)利益，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，經(jīng)過不斷地發(fā)展，工商管理對于我國市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展規(guī)范起著越來越重要的作用。
一、工商管理的概念
工商管理的產(chǎn)生是國家出于對市場經(jīng)濟(jì)秩序的構(gòu)建與其健康發(fā)展的目的，主要是通過對市場經(jīng)濟(jì)經(jīng)營行為的監(jiān)督管理以及相關(guān)執(zhí)法。通過將強(qiáng)制懲戒與行政教育相結(jié)合的方法，達(dá)到規(guī)范市場經(jīng)濟(jì)的目的，為市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展?fàn)I造良好的環(huán)境。
二、工商管理的職能
（1）對市場經(jīng)濟(jì)的監(jiān)管力度。工商管理部門是由政府依法組織，針對市場經(jīng)濟(jì)的自由性，對企業(yè)和盈利機(jī)構(gòu)進(jìn)行監(jiān)督管理的工作執(zhí)法部門。工商管理在政府工作中的首要職能就是市場監(jiān)管，即對社會中的工商企業(yè)、外資企業(yè)等盈利性機(jī)構(gòu)進(jìn)行依法監(jiān)督管理，維護(hù)市場的經(jīng)營秩序，對于企業(yè)的違規(guī)違紀(jì)行為進(jìn)行依法懲處，調(diào)節(jié)市場經(jīng)濟(jì)各部分的和諧共處。（2）對市場經(jīng)濟(jì)發(fā)展的服務(wù)。工商管理的對象是經(jīng)濟(jì)環(huán)境中的經(jīng)濟(jì)活動，服務(wù)于社會主義的市場經(jīng)濟(jì)建設(shè)，通過提高服務(wù)性維護(hù)和促進(jìn)商品經(jīng)濟(jì)的良性發(fā)展。工商管理可以通過對市場經(jīng)濟(jì)的調(diào)節(jié)，維護(hù)市場經(jīng)濟(jì)的有序運行，服務(wù)廣大消費者。
三、線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用
線性規(guī)劃，是指在現(xiàn)有的人力、物力、財力等資源條件限制下，通過合理的調(diào)配和有效使用，以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的一種數(shù)學(xué)方法。企業(yè)的效益依賴于資源配置的優(yōu)化，即依賴于線性規(guī)劃模型的優(yōu)化，優(yōu)化的范圍越大，其優(yōu)化效果也就越好。首先，線性規(guī)劃可以用于生產(chǎn)計劃確定后的優(yōu)化，主要內(nèi)容包括：（1）合理利用材料問題：在保證生產(chǎn)正常進(jìn)行的條件下，以最少的材料達(dá)到最大的使用效果。（2）配料問題：在原料供應(yīng)的數(shù)量限制下，如何搭配才能獲得最大收益。（3）投資問題：從投資項目中選取最佳組合，使有限的投資得到最大的回報。（4）產(chǎn)品生產(chǎn)計劃：合理利用人力、物力、財力等，使獲利最大。（5）勞動力安排：用最少的勞動力滿足工作的需要。（6）運輸問題：對產(chǎn)品的調(diào)運方案進(jìn)行細(xì)致制定，減少運費。其次，線性規(guī)劃支持企業(yè)未來的決策。管理者必須分析未來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢，分析未來的消費趨勢，并預(yù)測同行的產(chǎn)銷動向，根據(jù)分析結(jié)果，確定自身企業(yè)的產(chǎn)品價格和促銷策略，然后將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行線性規(guī)劃，得出企業(yè)發(fā)展的最佳路線。
工商企業(yè)的生產(chǎn)計劃管理問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件，因此可以運用線性規(guī)劃來分析生產(chǎn)計劃方案的優(yōu)化問題。但是，應(yīng)用線性規(guī)劃的方法對企業(yè)的生產(chǎn)計劃問題進(jìn)行分析，首先必須滿足幾點要求：（1）明確目標(biāo)函數(shù)。生產(chǎn)計劃的經(jīng)濟(jì)分析是一種定量分析方法，以企業(yè)利潤作為評價目標(biāo)值，其最終目的是制定可以使企業(yè)利潤最大化的生產(chǎn)計劃決策，因此，企業(yè)利潤最大化是生產(chǎn)決策分析的目標(biāo)函數(shù)。（2）明確約束條件。企業(yè)的生產(chǎn)能力，原材料，設(shè)備使用，市場需求狀況等諸多限制因素與生產(chǎn)計劃分析是密切相關(guān)的，這些限制因素就被稱為生產(chǎn)分析中目標(biāo)函數(shù)的約束條件。約束條件對于企業(yè)生產(chǎn)計劃分析的影響很大，不同約束條件下，決策分析的結(jié)論也會有很大區(qū)別。比如，就企業(yè)在市場活動中所處的狀態(tài)可以分為三種：第一，能力不足狀態(tài)，企業(yè)的生產(chǎn)能力無法滿足市場需求；第二，能力過剩狀態(tài)，即企業(yè)生產(chǎn)能力超過市場需求，產(chǎn)品出現(xiàn)剩余；第三，中間狀態(tài)，即所謂的收支平衡。企業(yè)自身的狀態(tài)是不確定的，在三種狀態(tài)之間不斷變換。（3）明確產(chǎn)品的單間利潤。單間利潤不僅要考慮到產(chǎn)品的單間收入，還要考慮生產(chǎn)所消耗的各項成本和費用。綜上所述，生產(chǎn)計劃決策分析的基本方法是以利潤最大化為目標(biāo)，明確未知變量，確定約束條件，然后建立線性規(guī)劃模型，最終實現(xiàn)效益最大化的生產(chǎn)計劃。
四、應(yīng)注意的問題
（1）設(shè)定約束條件和變量的個數(shù)。約束條件在線性規(guī)劃中是必不可少的，需要特別注意的是最優(yōu)解中非零變量的數(shù)目不能超過模型約束條件的數(shù)目，如果忽視這一點而將由模型得出的最優(yōu)解付諸實施，就會帶來不良的后果。（2）線性規(guī)劃模型的靜態(tài)性。運用線性規(guī)劃的理論和方法進(jìn)行工商管理時，其模型具有靜態(tài)性，但也只是近似，嚴(yán)格來說，模型中涉及到的價格并不是常數(shù)。這說明線性規(guī)劃模型的靜態(tài)性是近似的，因此，在實際應(yīng)用中，考慮到問題誤差的大小，對問題的界限進(jìn)行劃分是十分必要的。
參 考 文 獻(xiàn)
線性規(guī)劃，是指在現(xiàn)有的人力、物力、財力等資源條件限制下，通過合理的調(diào)配和有效使用，以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的一種數(shù)學(xué)方法。企業(yè)的效益依賴于資源配置的優(yōu)化，即依賴于線性規(guī)劃模型的優(yōu)化，優(yōu)化的范圍越大，其優(yōu)化效果也就越好。首先，線性規(guī)劃可以用于生產(chǎn)計劃確定后的優(yōu)化，主要內(nèi)容包括：
（1）合理利用材料問題：在保證生產(chǎn)正常進(jìn)行的條件下，以最少的材料達(dá)到最大的使用效果。
（2）配料問題：在原料供應(yīng)的數(shù)量限制下，如何搭配才能獲得最大收益。
（3）投資問題：從投資項目中選取最佳組合，使有限的投資得到最大的回報。
（4）產(chǎn)品生產(chǎn)計劃：合理利用人力、物力、財力等，使獲利最大。
（5）勞動力安排：用最少的勞動力滿足工作的需要。
（6）運輸問題：對產(chǎn)品的調(diào)運方案進(jìn)行細(xì)致制定，減少運費。其次，線性規(guī)劃支持企業(yè)未來的決策。管理者必須分析未來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢，分析未來的消費趨勢，并預(yù)測同行的產(chǎn)銷動向，根據(jù)分析結(jié)果，確定自身企業(yè)的產(chǎn)品價格和促銷策略，然后將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行線性規(guī)劃，得出企業(yè)發(fā)展的最佳路線。
工商企業(yè)的生產(chǎn)計劃管理問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件，因此可以運用線性規(guī)劃來分析生產(chǎn)計劃方案的優(yōu)化問題。但是，應(yīng)用線性規(guī)劃的方法對企業(yè)的生產(chǎn)計劃問題進(jìn)行分析，首先必須滿足幾點要求：
（1）明確目標(biāo)函數(shù)。生產(chǎn)計劃的經(jīng)濟(jì)分析是一種定量分析方法，以企業(yè)利潤作為評價目標(biāo)值，其最終目的是制定可以使企業(yè)利潤最大化的生產(chǎn)計劃決策，因此，企業(yè)利潤最大化是生產(chǎn)決策分析的目標(biāo)函數(shù)。
（2）明確約束條件。企業(yè)的生產(chǎn)能力，原材料，設(shè)備使用，市場需求狀況等諸多限制因素與生產(chǎn)計劃分析是密切相關(guān)的，這些限制因素就被稱為生產(chǎn)分析中目標(biāo)函數(shù)的約束條件。約束條件對于企業(yè)生產(chǎn)計劃分析的影響很大，不同約束條件下，決策分析的結(jié)論也會有很大區(qū)別。比如，就企業(yè)在市場活動中所處的狀態(tài)可以分為三種：第一，能力不足狀態(tài)，企業(yè)的生產(chǎn)能力無法滿足市場需求；第二，能力過剩狀態(tài)，即企業(yè)生產(chǎn)能力超過市場需求，產(chǎn)品出現(xiàn)剩余；第三，中間狀態(tài)，即所謂的收支平衡。企業(yè)自身的狀態(tài)是不確定的，在三種狀態(tài)之間不斷變換。
（3）明確產(chǎn)品的單間利潤。單間利潤不僅要考慮到產(chǎn)品的單間收入，還要考慮生產(chǎn)所消耗的各項成本和費用。綜上所述，生產(chǎn)計劃決策分析的基本方法是以利潤最大化為目標(biāo)，明確未知變量，確定約束條件，然后建立線性規(guī)劃模型，最終實現(xiàn)效益最大化的生產(chǎn)計劃。
二、應(yīng)注意的問題
（1）設(shè)定約束條件和變量的個數(shù)。約束條件在線性規(guī)劃中是必不可少的，需要特別注意的是最優(yōu)解中非零變量的數(shù)目不能超過模型約束條件的數(shù)目，如果忽視這一點而將由模型得出的最優(yōu)解付諸實施，就會帶來不良的后果。
【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃；模型；Mathematica；最優(yōu)決策
1.引言
在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動中，會經(jīng)常遇到兩類問題：一類是（資源有限）如何合理的使用現(xiàn)有的勞動力、設(shè)備、資金等資源，以得到最大的效益；另一類是（目標(biāo)一定）為了達(dá)到一定的目標(biāo)，應(yīng)如何組織生產(chǎn)，或合理安排工藝流程，或調(diào)整產(chǎn)品的成分等，以使所消耗的資源（人力、設(shè)備臺時、資金、原材料等）為最少。這既是最優(yōu)決策問題。
如何解決上述問題，線性規(guī)劃（Linear Programming）給了我們一些方法，線性規(guī)劃是運籌學(xué)的一個分支，它研究的是在線性約束條件下求解線性函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的最優(yōu)解問題。線性規(guī)劃應(yīng)用越來越廣泛，《財富》雜志（Fortune）的一項調(diào)查，美國名列前五百名的大公司中，百分八十五均曾應(yīng)用線性規(guī)劃的方法來協(xié)助公司的營運，由此可見線性規(guī)劃應(yīng)用面的寬廣與普及。
2.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型及求解方法[1]
2.1 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型
其中為目標(biāo)函數(shù)，s.t.的右端項為約束條件，表示決策變量的非負(fù)約束。
2.2 模型的求解方法
能夠求解線性規(guī)劃模型的軟件有很多，比如Mathematica，Matlab，Lindo，Maple等，以下問題應(yīng)用Mathematica求解[2]。
Mathematica是由Wolfram（美國）公司研制開發(fā)的，應(yīng)用比較廣泛的，功能比較強(qiáng)大的一款軟件，軟件中有求解線性規(guī)劃的函數(shù)，在平臺中的使用方法如下：ConstrainedMin（或ConstrainedMax）[目標(biāo)函數(shù)，{約束條件}，{變量集合}]就可以了。其中ConstrainedMin求目標(biāo)函數(shù)為min的線性規(guī)劃問題，ConstrainedMax求目標(biāo)函數(shù)為max的線性規(guī)劃問題。
3.建立線性規(guī)劃模型應(yīng)用舉例
例1：（人員的合理安排問題）醫(yī)院護(hù)士的值班班次、工作時間及各班所需護(hù)士數(shù)如表1所示，護(hù)士上班以后，需連續(xù)工作8小時，則醫(yī)院最少需護(hù)士多少名，以滿足輪班需要；
分析：因護(hù)士上班后需要連續(xù)工作8小時，即第1班次開始上班的護(hù)士，需工作到14：00，第2班次開始上班的護(hù)士需工作到18：00，以此類推，第6班次開始上班的護(hù)士工作到10：00，滿足這些約束條件后，目標(biāo)函數(shù)是最少需要的護(hù)士數(shù)，就很容易列出線性規(guī)劃模型。
解：設(shè)表示第i班開始上班的護(hù)士人數(shù)，，則建立模型為：
應(yīng)用mathematica求解如下：
In[1]：=ConstrainedMin[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6，{x1 + x2 >= 70，x2 + x3 >= 60，x3 + x4 >= 50，x4 + x5 >= 20，x5 + x6 >= 30，x6 + x1 >= 60}，{x1，x2，x3，x4，x5，x6}]
運行后得：
Out[1]= {150，{x1 -> 60，x2 -> 10，x3 -> 50，x4 -> 0，x5 -> 20，x6 -> 10}}
結(jié)果：第1-6班開始上班的護(hù)士分別為60人、10人、50人、0人、20人、10人，最少需要護(hù)士150名。
例2：（投資決策問題）某人有一筆30萬元的資金，在今后三年內(nèi)有以下投資項目：
（1）三年內(nèi)的每年年初均可投資，每年獲利為投資額的20%，其本利可一起用于下一年投資；
（2）只允許第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合計為投資額的150%，但此類投資限額不超過15萬元；
（3）于三年內(nèi)第二年初允許投資，可于第三年末收回，本利合計為投資額的160%，這類投資限額20萬元；
（4）于三年內(nèi)的第三年初允許投資，一年收回，可獲利40%，投資限額為10萬元。
試為該人確定一個使第三年末本利和為最大的投資計劃。
分析：本題為最大化最優(yōu)決策問題，有4個可投資項目，即題中（1）至（4），關(guān)鍵問題在于決策變量的設(shè)置，我們用來表示第年初投資到第個項目的資金數(shù)，這樣問題就迎刃而解了。
解：設(shè)表示第年初投資到第個項目的資金數(shù)，建立線性規(guī)劃模型為：
應(yīng)用mathematica求解如下：
In[2]：=ConstrainedMax[1.2x31 + 1.6x23 + 1.4x34，{x11 + x12 == 300000，x21 + x23 == 1.2x11，x31 + x34 == 1.2x21 + 1.5x12，x12
Out[2]= {580000.，{x11 -> 166667.，x12 -> 133333.，x21 -> 0，x23 -> 200000.，x31 -> 100000.，x34 -> 100000.}}
結(jié)果：
第一年年初投資到（1）和（2）兩個項目的資金分別為166667元和133333元；
第二年年初投資到（1）和（3）兩個項目的資金分別為0元和200000元；
第三年年初投資到（1）和（4）兩個項目的資金分別為100000元和100000元；
第三年末本利和最大為58萬元。
例3：（學(xué)區(qū)學(xué)生入學(xué)的劃分）某學(xué)區(qū)由五個居民區(qū)和三所學(xué)校組成，學(xué)校設(shè)專門校車接送學(xué)生。各學(xué)校的容量如表2所示，各居民區(qū)的學(xué)生人數(shù)如表3所示；各居民區(qū)的學(xué)生到相應(yīng)學(xué)校的校車費用如表4所示。試問應(yīng)怎樣給各個學(xué)校分配兒童，才能實現(xiàn)學(xué)區(qū)管理者實現(xiàn)使校車接送所花費用最低的目的？[3]
分析：該問題為最低費用的最優(yōu)決策問題，在滿足人數(shù)要求的條件下，費用最低，三所學(xué)校的容量總和為2500人，而五個居民區(qū)共2350人，這就使得某些學(xué)校分配的兒童不足，對于約束條件將出現(xiàn)不等式，建立線性規(guī)劃模型時要注意。
解：設(shè)表示校車從第居民區(qū)送往第學(xué)校的人數(shù)，建立模型如下：
4.小結(jié)
由以上分析，我們可以看出，線性規(guī)劃在最優(yōu)決策中為人們提供了解決問題的一種方法。決策者通過建立便捷的線性規(guī)劃模型解決了最優(yōu)化問題，無論是對于企業(yè)還是對于個人提升都具有重要的價值。
參考文獻(xiàn)
[1]胡運權(quán).運籌學(xué)教程（第三版）[M].清華大學(xué)出版社，2007，4.
[2]丁大正.科學(xué)計算強(qiáng)檔Mathematica4教程[M].北京：電子工業(yè)出版社，2002.3.
[關(guān)鍵詞]運籌學(xué)；線性規(guī)劃；物流管理
[DOI]10.13939/ki.zgsc.2015.07.024
1 物流系統(tǒng)與線性規(guī)劃
物流系統(tǒng)是由運輸、倉儲、包裝、裝卸搬運、配送、流通加工，物流信息等各環(huán)節(jié)要素所組成的，要素之間存在有機(jī)聯(lián)系并具有使物流總體合理化功能的綜合體。物流系統(tǒng)作為社會經(jīng)濟(jì)大系統(tǒng)的一個子系統(tǒng)具有輸入、轉(zhuǎn)換及輸出三大功能，物流系統(tǒng)運行的主要目標(biāo)包括服務(wù)目標(biāo)、快速及時目標(biāo)、節(jié)約目標(biāo)、規(guī)模優(yōu)化目標(biāo)以及庫存調(diào)節(jié)目標(biāo)。
線性規(guī)劃法作為運籌學(xué)中理論最完善、方法最成熟、應(yīng)用最廣泛的一個分支，通過運用數(shù)學(xué)方法和工具，對所研究的問題求出最優(yōu)解，尋求最佳的行動方案，實現(xiàn)統(tǒng)籌規(guī)劃和各項資源的組織、籌劃和調(diào)度，所以它也可看成是一門優(yōu)化技術(shù)，提供的是解決各類問題的優(yōu)化方法。線性規(guī)劃所研究的問題主要有兩類：一類是已給定一定數(shù)量的人力和物力資源，如何用這些資源完成最大量的任務(wù)；另一類是已給定一項任務(wù)，如何統(tǒng)籌安排，才能以最小量的資源去完成這項任務(wù)。即有關(guān)“多、快、好、省”的最優(yōu)化問題。而物流系統(tǒng)實現(xiàn)高效運行以及克服系統(tǒng)中各要素的制約關(guān)系等問題都需要運用到線性規(guī)劃方法來解決，因此二者相輔相成，互相促進(jìn)。
為了有效地降低物流配送的成本，在時間、運輸路線、倉儲量等多目標(biāo)下的物流儲運成本的控制就成了關(guān)鍵的問題。運用線性規(guī)劃的統(tǒng)籌學(xué)原理，將物流配送基于時間、路線的成本管理問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，通過對模型的求解，使得物流配送的利益最大化有解；然而，構(gòu)建不同的線性模型，所采用的算法的不一，也會對物流配送的最佳解產(chǎn)生直接的影響，因此，有必要對物流配送問題進(jìn)行算法的比較研究，以期能夠獲得最接近于實際情況的模型，所求得的解具有一定的通用性。
2 線性規(guī)劃法在物流管理中的應(yīng)用
2.1 庫存管理和控制問題
主要應(yīng)用于解決多種物資庫存量的管理，確定某些設(shè)備的能力或容量，如某倉庫庫存能力的大小，某港口碼頭的轉(zhuǎn)運能力，車載量的大小等，這類問題的實質(zhì)是通過目標(biāo)函數(shù)的建立實現(xiàn)倉儲資源的充分利用。
例如：某市新建一物流倉儲中心，其平面圖如圖1所示，現(xiàn)有一批貨物準(zhǔn)備存入該物流倉儲中心，具體有三種物品A、B、C，其量分別是7、4、9。已知各倉庫存儲能力及存儲成本如表1所示，考慮到不同倉庫存儲能力、管理費用、入庫成本，在總存儲成本最小的前提下，分配三種物品。
解：
根據(jù)線性規(guī)劃理論與方法，將倉庫視為銷地，貨物視為產(chǎn)地，貨物總量20，倉儲總量20，將問題轉(zhuǎn)化為一個產(chǎn)銷平衡的線性規(guī)劃問題，建立模型解得A物品存儲5個單位在3號庫，2單位在1號庫；B物品存儲3各單位在4號庫，1個單位在1號庫；C物品存儲6個單位在2號庫，3個單位在4號庫。此時，得到最優(yōu)的倉庫分配方案，其存儲費用為：3×1+6×4+5×3+2×10+1×8+3×5=85。
2.2 運輸問題
這一問題歷來是物流管理研究問題的重中之重，它包括了空運、水運、公路運輸、鐵路運輸、管道運輸以及內(nèi)部物流、第三方物流的運輸問題等?？者\問題涉及飛行航班和飛行機(jī)組人員服務(wù)時間安排等，水運有船舶航運計劃、港口裝卸設(shè)備的配置和船到碼頭后的作業(yè)安排，公路運輸除了汽車調(diào)度計劃外，還有公路網(wǎng)的設(shè)計和分析、最優(yōu)路徑的選擇、司機(jī)的調(diào)度安排、行車時刻表的安排、運輸費用的合理定價、車場的設(shè)立等一系列問題，都可以借助線性規(guī)劃法予以解決。
例如：某運輸公司接受了向抗洪搶險地段每天至少運輸180噸的支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重為6噸的A型卡車和4輛載重為10噸的B型卡車，有10名駕駛員。A型卡車每天可往返4次，B型卡車每天可往返3次，每輛A型卡車每天往返成本為320元，B型為504元，問如何調(diào)配車輛，使公司成本最低？
2.3 配送問題
隨著現(xiàn)代物流的發(fā)展，配送逐步成為物流中的一個重要組成部分，同時由于配送并不單單只是一個相對獨立的物流功能，它從一產(chǎn)生起就表現(xiàn)出了相當(dāng)強(qiáng)的綜合性。從某種意義看，一個大型的物流配送中心幾乎就是一個微縮的全過程物流，因此配送過程中涉及的運籌學(xué)問題也更多更復(fù)雜。比如貨物分揀搭配、貨配車、車配貨、人員調(diào)度安排、庫存空間分配等。
現(xiàn)代物流配送網(wǎng)絡(luò)大多分為兩級，各個大區(qū)再根據(jù)情況可劃分為若干個小區(qū)，為降低運輸成本和倉儲成本，明確層次和關(guān)系以方便管理，對于物流配送網(wǎng)絡(luò)來講，一般有如下要求：
（1）為了方便網(wǎng)絡(luò)中貨物配送的運輸和管理，所有貨物必須從本層次的貨物始發(fā)點發(fā)出，其他節(jié)點相互問不存在貨物調(diào)配運輸，這樣，簡化了物流配送網(wǎng)絡(luò)，又避免了運輸能力的浪費。
（2）貨物即使在運輸途中經(jīng)過其他節(jié)點，也不調(diào)用途經(jīng)節(jié)點的庫存，故可以認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中同一層次的任何節(jié)點都是直接與本層次的貨物始發(fā)節(jié)點相連通的。
（3）為了降低倉儲成本，提高倉儲效率，即各節(jié)點盡量降低倉儲量，存儲的貨物只滿足當(dāng)?shù)厥袌龅男枨?，在情況允許的時候，甚至可以出現(xiàn)短時間少量缺貨。
（4）貨物從發(fā)貨點到各個節(jié)點的運輸方式和運輸線路有多種方案可供選擇，但對于特定物流網(wǎng)絡(luò)中的某一貨物來說，根據(jù)運輸要求和市場需求的不同（如要求最短時間或最小費用），運輸?shù)南鄬ψ顑?yōu)方案是存在的，而且一段時間內(nèi)比較穩(wěn)定，物流配送網(wǎng)絡(luò)中的運輸能力是有限的，所以，發(fā)送物品量應(yīng)當(dāng)不大于物流配送網(wǎng)絡(luò)的運輸能力。
例如：某配送中心要配送兩種貨物，第一種貨物單位價值3萬元，單位體積2立方米，單位重量1噸；第二種貨物單位價值4萬元，單位體積3立方米，單位重量1噸，車輛的額定載重量為5噸，額定載重容積為8立方米，兩種貨物批量都為3噸，試用線性規(guī)劃方法進(jìn)行車輛配載，使車輛裝載價值最大。
2.4 物流節(jié)點選址決策問題
這類問題主要解決優(yōu)化物流中心以及其他物流節(jié)點的布局安排，增強(qiáng)物流節(jié)點布局的合理性，以最少的物流節(jié)點輻射盡可能大的物流活動區(qū)域，增大物流節(jié)點建設(shè)實施的可行性。
例如：某配送中心有三個備選地，供應(yīng)商2個，客戶3個，相關(guān)參數(shù)如表2所示，用線性規(guī)劃方法進(jìn)行選址決策。
目前，以計算機(jī)為手段，應(yīng)用運籌學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計等方法和系統(tǒng)理論，已成為支撐現(xiàn)代物流管理的有效工具，相信在物流管理系統(tǒng)中，運籌學(xué)與信息技術(shù)的有效結(jié)合，將使物流管理上升到一個更高的水平。
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