發(fā)布時(shí)間：2023-06-27 16:02:31
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的三角函數(shù)變換規(guī)律樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
三角函數(shù)的工具性有所減弱，平面向量、導(dǎo)數(shù)的工具性作用替代了三角函數(shù)在原教材中的工具性作用．但三角函數(shù)作為指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后的一類(lèi)重要函數(shù)，重點(diǎn)學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性和周期性，使函數(shù)的概念和性質(zhì)得以進(jìn)一步深化．
因此，在高考中把三角函數(shù)作為函數(shù)的一種，突出考查它的圖象與性質(zhì)，尤其是形如函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)．對(duì)三角公式和三角變形的考查，或與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合，或直接化簡(jiǎn)求值．在化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題中，不僅考查考生對(duì)相關(guān)變換公式掌握的熟練程度，更重要的是以三角變形公式為素材，重點(diǎn)考查相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法．
重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，把握好習(xí)題的難度
近幾年的高考試題降低了對(duì)三角恒等變形的要求下，逐步拋棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，將重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能考查上來(lái)，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度．這啟發(fā)我們?nèi)呛瘮?shù)的復(fù)習(xí)要立足課本、抓好基礎(chǔ)、控制難度．在復(fù)習(xí)中，應(yīng)立足基本公式，尋求題目條件與結(jié)論之間差異，建立聯(lián)系，以達(dá)到消滅差異的目的．“變”為主線．三角變換包括角的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)次數(shù)的變換等，在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化“變”的意識(shí)是三角復(fù)習(xí)的關(guān)鍵，但題目不宜太難，特殊技巧的問(wèn)題堅(jiān)決不做，2006年三角題只能作為個(gè)別現(xiàn)象．建議各位老師在二輪復(fù)習(xí)中將教材習(xí)題進(jìn)行歸類(lèi)分析比較，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉解決三角問(wèn)題的一般規(guī)律性方法，達(dá)到舉一反三的目的.
重視三角函數(shù)問(wèn)題中四類(lèi)問(wèn)題的訓(xùn)練
（1）應(yīng)用常規(guī)方法和技巧解決三角式的化簡(jiǎn)、求值、證明問(wèn)題，主要掌握三角函數(shù)的求值問(wèn)題；
（2）在掌握函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=Asin(ωx+φ)，特別是正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，研究一些三角函數(shù)的性質(zhì)，解題策略一般都是將所要研究的函數(shù)化歸為只含有一個(gè)、一次的三角函數(shù)形式；
（3）三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題；
（4）三角函數(shù)與其它知識(shí)交匯融合的問(wèn)題．
關(guān)注2007年新考試大綱的變化
據(jù)說(shuō)新考試大綱將“理解y=Asin(ωx+φ)中的A、ω、φ的物理意義”改為“理解y=Asin(ωx+φ)的物理意義”，體現(xiàn)了與物理等知識(shí)的聯(lián)系；新大綱還有如下變化：將“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義”增加為“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”，將“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)”由了解變?yōu)槔斫猓?/p>
注意對(duì)三角形中問(wèn)題的復(fù)習(xí)
由于教材的變動(dòng)，有關(guān)三角形中正弦定理、余弦定理、解三角形等內(nèi)容提到了高中來(lái)學(xué)習(xí)，加上近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，所以對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問(wèn)題伸展，復(fù)習(xí)中要重視正弦定理、余弦定理在解三角形問(wèn)題的作用，但挖掘不要太深．
重視三角函數(shù)與其它知識(shí)的結(jié)合
三角函數(shù)與其它知識(shí)，特別是與向量等內(nèi)容的結(jié)合可能成為新的命題熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)訓(xùn)練．
客觀題考點(diǎn)分析
一、知識(shí)體系
同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和差的公式、二倍角公式及其綜合應(yīng)用.
三角恒等變換是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是一種重要的數(shù)學(xué)能力，要立足于教材，弄清公式的來(lái)龍去脈，同時(shí)要注意對(duì)公式的正用、逆用以及變形運(yùn)用的訓(xùn)練，要在靈、活、巧上下功夫，以增強(qiáng)變換意識(shí).
二、核心解讀
1. 三角恒等變換是一種基本技能，從題型上一般表現(xiàn)為對(duì)三角式的化簡(jiǎn)、求值與證明. 對(duì)所給三角式進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，除需使用三角公式外，一般還需運(yùn)用代數(shù)式的運(yùn)算法則或公式，如平方差公式、立方差公式等. 對(duì)三角公式不僅要掌握其“原形”，更要掌握其“變形”，才能在解題時(shí)真正達(dá)到運(yùn)用自如，左右逢源的境界.
2. 在運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換時(shí)，要從函數(shù)名稱和角的差異兩方面綜合分析，再?gòu)牟町惖姆治鲋袥Q定公式的選取. 一般變換的規(guī)律是：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無(wú)理化有理.
三、近幾年高考命題特點(diǎn)
1．考查題型以選擇、填空為主，分值約占5%，10%，基本屬于容易題和中檔題.
2．重點(diǎn)考查兩角和與差的三角公式和倍角公式等，其中對(duì)倍角公式靈活運(yùn)用的考查是高考的熱點(diǎn).
四、2011年高考真題再現(xiàn)
考點(diǎn)1考查同角三角函數(shù)關(guān)系
（1）應(yīng)用同角之間的平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系解決三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題；
（2）已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求其他角的三角函數(shù)值時(shí)，要注意對(duì)角化簡(jiǎn)，一般是把已知和所求同時(shí)化簡(jiǎn)，化為同一個(gè)角的三角函數(shù)，然后求值.
例1（2011年全國(guó)理科卷）已知∈，，sin= ，則tan2=__________.
評(píng)析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .
考點(diǎn)2考查誘導(dǎo)公式
（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函數(shù)值是化簡(jiǎn)的主要工具. 使用誘導(dǎo)公式前，要正確分析角的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后確定使用的誘導(dǎo)公式；
（2）將不能直接使用誘導(dǎo)公式的角通過(guò)適當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導(dǎo)公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出現(xiàn)時(shí)，則要分k為奇數(shù)和偶數(shù)討論）；
（3）誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了，特殊角能求值則求值；
（4）化簡(jiǎn)是一種不能指定答案的恒等變形，化簡(jiǎn)結(jié)果要盡可能使項(xiàng)數(shù)少、函數(shù)的種類(lèi)少、次數(shù)低、能求出值的要求出值、無(wú)根式、無(wú)分式等.
例2(2011年遼寧理科卷)設(shè)sin= ，則sin2=_________.
評(píng)析本題考查了二倍角公式等三角函數(shù)知識(shí).
sin2=cos=2sin2 1=2
易錯(cuò)提醒利用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式時(shí)，容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.
考點(diǎn)3考查兩角和、差公式
兩角和、差的三角函數(shù)公式是高考熱點(diǎn)之一，其題型既有小題(選擇題、填空題)，也有大題(靠前的解答題)，主要是容易題和中等題. 重點(diǎn)是考查基本公式的應(yīng)用和恒等變換思想.
例3(2011年浙江理科卷)若0
評(píng)析因?yàn)?= ，所以cos =cos=coscos+sin ?sin= == .
技巧點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵在于把“所求角”表示為“已知角”. ①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”只有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”；③常見(jiàn)的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.
考點(diǎn)4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函數(shù)
若函數(shù)f （x）的解析式通過(guò)三角恒等變換可轉(zhuǎn)化為f （x）=asinx+bcosx+k的形式，則函數(shù)f （x）的解析式可化為f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.
例4（2011年安徽文科卷）設(shè)f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 對(duì)一切x∈R恒成立. 有以下結(jié)論：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（k∈Z）；⑤存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a,b）的直線與函數(shù)f （x）的圖像不相交. 以上結(jié)論正確的是 _____________(寫(xiě)出正確結(jié)論的編號(hào)).
評(píng)析先將f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0變形為f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤對(duì)一切x∈R恒成立，得a，b之間的關(guān)系，然后順次判斷命題真假.
由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤對(duì)一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.
①f =2bsin=0，故①正確；
②==2bsin，故②錯(cuò)誤；
③f （x）≠±f （x），故③正確；
④因?yàn)閎>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④錯(cuò)誤；
⑤因?yàn)閍=b>0，要使經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a,b）的直線與函數(shù)f （x）圖像不相交，則此直線與x軸平行，又f （x）的振幅為2b>b，所以該直線必與f （x）圖像有交點(diǎn)，故⑤錯(cuò)誤.
答案：①③.
考點(diǎn)5考查二倍角公式
掌握倍角公式和半角公式，運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值以及恒等式的證明，是高考的熱點(diǎn).
注意以下幾組常見(jiàn)的公式：
（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；
（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；
（3）用sin,cos表示tan：tan ==.
注：上述三組公式從左到右起到一個(gè)擴(kuò)角降冪的作用，從右到左起到一個(gè)縮角升冪的作用.
例5(2011年江蘇卷)已知tan=2，則的值為_(kāi)_________.
評(píng)析因?yàn)閠an2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因?yàn)閠an==2，解得tanx= ，所以的值為.
考點(diǎn)6考查綜合應(yīng)用
三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值是?？碱}型. 它往往出現(xiàn)在小題中，或者是解答題中的一問(wèn)，其中必然滲透著簡(jiǎn)單的三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，著重考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法.
例6（2011年天津理科卷）設(shè)函數(shù)f（x）=tan2x+，設(shè)∈，若f =2cos2，求的大小.
評(píng)析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）?（cos+sin），又因?yàn)閟in+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.
五、2012年高考命題趨勢(shì)
1. 考查兩角和差的三角函數(shù)公式，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)，難度不大；
2．考查二倍角公式的運(yùn)用，題型可以是小題，也可以是大題，為中檔題；
3．考查三角恒等變換的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題，一般都在大題中進(jìn)行考查；
4．解答題屬中、高檔題目.對(duì)三角恒等變換的考查形式有穩(wěn)重求變、求活和“能力立意”的命題趨勢(shì).
1．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2=_________.
2．若tan=3，則的值等于_________.
3．已知sin=+cos，且∈，則的值為_(kāi)__________.
舊教材對(duì)概念的引入一般都是先給出定義，然后再舉相應(yīng)的一些例子予以說(shuō)明。這樣教學(xué)邏輯性是強(qiáng)了，但不能照顧到學(xué)生的思維能力。而新教材中一些的問(wèn)題在恰當(dāng)?shù)牡胤教崃顺鰜?lái)，不但引導(dǎo)教師的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，帶著這些問(wèn)題學(xué)生可以更好的自主學(xué)習(xí)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。在這種理念下出版的新教材相對(duì)于舊教材在問(wèn)題設(shè)置方面變化較大，問(wèn)題意識(shí)貫穿在整個(gè)教材的始終。對(duì)于穿插在教材中的“觀察”、“思考”、“探究”、“觀察與猜想”、“閱讀與思考”、“探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等拓展性欄目，有效的調(diào)節(jié)了數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的氣氛，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的呆板面目，為新教材增色不少。而且新的課程標(biāo)準(zhǔn)也強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的聯(lián)系性，通過(guò)不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系和啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)類(lèi)比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運(yùn)用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，教師都可以通過(guò)新教材中的一些設(shè)計(jì)的問(wèn)題在課堂教學(xué)中由學(xué)生自主完成，很多有經(jīng)驗(yàn)的教師都認(rèn)為課堂上要大膽留給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間，把學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，讓每個(gè)學(xué)生都積極地參與到學(xué)習(xí)中去，成為課堂上真正的主人。
在高中學(xué)生掌握的三角函數(shù)的主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。在舊教材中三角函數(shù)安排在第一冊(cè)（下）第四章即在高一下學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根據(jù)黑龍江省的教學(xué)順序，在高一上學(xué)期的期中考完試之后進(jìn)行學(xué)習(xí)。
現(xiàn)在我從幾個(gè)角度去分析三角函數(shù)這部分內(nèi)容的新舊教材內(nèi)容編寫(xiě)及體系設(shè)置的差異：
（1）在形式上的對(duì)比：
舊教材是36節(jié)課時(shí)，新教材是24節(jié)課時(shí)。
從教材內(nèi)容先后順序的調(diào)整，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)中倡導(dǎo)的螺旋式的教學(xué)模式。新教材展示了研究數(shù)學(xué)所滲透的多種思想方法，如化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，換元思想，分類(lèi)討論思想。同時(shí)在數(shù)學(xué)式子和圖形的變化中，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)分析、探索，類(lèi)比，平移，伸縮變換等這些常用的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，從而使學(xué)生在獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程中發(fā)展思維能力，提高思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。
（二）在內(nèi)容上的對(duì)比：
1、新教材引入了計(jì)算器計(jì)算。
2、任意角三角函數(shù)一節(jié)弱化了正弦線，余弦線，正切線，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)運(yùn)算。
3、新教材弱化同角關(guān)系式結(jié)構(gòu)，減少了tanα·cotα=1 強(qiáng)調(diào)運(yùn)用與推導(dǎo)。
4、誘導(dǎo)公式加入了正切公式，位置與順序做了調(diào)整。
5、新教材將兩角和差的正余弦公式放在“三角函數(shù)圖與性質(zhì)”之后。
6、新教材將“函數(shù)y=sin(ωχ+φ) 的圖象”一節(jié)放于正切函數(shù)圖象之后。
7、新教材刪去了“已知三角函數(shù)值求角”的內(nèi)容。
8、新教材增加了“三角函數(shù)模型的應(yīng)用”的內(nèi)容。
9、舊教材中只有“三角函數(shù)與歐拉”，“潮汐與港口”兩個(gè)閱讀材料。
新教材有三種專題：
閱讀與思考中包括：“三角學(xué)與天文學(xué)”和“振幅、周期、頻率、相位” 。
探究與發(fā)現(xiàn)中包括：“函數(shù)y=Asin(ωχ+φ) 及函數(shù)y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用單位圓中的三角函數(shù)線研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”
信息技術(shù)應(yīng)用中包括：“利用正切線畫(huà)函數(shù)y=tanχ,x∈(-■,■) 圖象”和“利用信息技術(shù)制作三角函數(shù)表”。
10、例題習(xí)題中出現(xiàn)了許多高考習(xí)題，以及方法與思維較為靈活的綜合習(xí)題等。
內(nèi)容的調(diào)整降低了難度，使教師在教學(xué)中既注重基礎(chǔ)知識(shí)又加強(qiáng)能力的培養(yǎng)，我們?cè)诮虒W(xué)中可以依據(jù)教材的特點(diǎn)，教材幾乎每一部分的右側(cè)都有“？”，讓學(xué)生可以在課上或課下進(jìn)行積極的研究與討論，教師在備課過(guò)程中可以設(shè)計(jì)問(wèn)題教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行學(xué)生。教學(xué)中注重分層教學(xué)，輔助以多媒體教學(xué)手段，編寫(xiě)了分層作業(yè)，其中有基礎(chǔ)作業(yè)，能力作業(yè)等。
（三）在教學(xué)要求上： 舊教材的具體要求是：
1、使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。
2、使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。
3、使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。
4、使學(xué)生能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。
5、使學(xué)生會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過(guò)它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，理解A、ω、φ的物理意義。
6、使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示。
而新教材的具體要求是：
1、了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與度的互化。
2、借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式的正弦、余弦、正切，能畫(huà)出的y=sinx,y=cosx,y=tanx圖象，了解三角函數(shù)的周期性。
3、借助圖象理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在[0,2π] ，正切函數(shù)在(-■,■)上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等）。
4、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.
5、結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin(ωχ+φ)的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出y=Asin(ωχ+φ)的圖象，觀察參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響。
6、會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。
7、經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用。
8、能以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。
9、能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（公式不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問(wèn)題的自覺(jué)性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。
（四）教學(xué)體會(huì)及建議
1、重視誘導(dǎo)公式的歸納和作用：因?yàn)樵谄渌鹿?jié)中只要是與角有關(guān)系的問(wèn)題,例如：解三角形中；直線的傾斜角和斜率；立體幾何中的成角問(wèn)題等都會(huì)涉及到誘導(dǎo)公式的使用。它的作用是將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，從中領(lǐng)會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想及蘊(yùn)含的創(chuàng)新意識(shí)。
2、三角函數(shù)線作為三角函數(shù)的幾何表示，可適當(dāng)補(bǔ)充一些三角函數(shù)線的應(yīng)用，如比較三角函數(shù)值的大小；已知求x, 讓學(xué)生增強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。也為今后學(xué)習(xí)有關(guān)內(nèi)容打下基礎(chǔ)。
3、同角公式的應(yīng)用中，對(duì)于已知某任意的一個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值，如已知sinα+cosα求sinα,cosα。解決這個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵在于如何正確運(yùn)用平方根的概念，正確的進(jìn)行分類(lèi)。讓學(xué)生自己去體會(huì)總結(jié)最佳途徑，以免多走彎路。
（一）試題遵循新課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)要求和考試說(shuō)明
三年來(lái)各知識(shí)點(diǎn)、考試要求及試題難度對(duì)照：
1.三角、平面向量與復(fù)數(shù)考點(diǎn)三年試題對(duì)比分析
2.集合與簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式考點(diǎn)三年試題對(duì)比分析
3.數(shù)列考點(diǎn)三年試題對(duì)比分析
4.算法、概率與統(tǒng)計(jì)三年試題對(duì)比分析
5.立幾、解幾考點(diǎn)三年試題對(duì)比分析中高檔題 近三年，考查呈現(xiàn)以下一些特點(diǎn)：
1. 8個(gè)C級(jí)要求每年全部考查。其中， 直線方程、兩角和與差的三角函數(shù)為中檔題，圓的方程為中高檔題，等差數(shù)列、等比數(shù)列一般為難題，一元二次不等式、基本不等式難易不定。
2. 幾乎每年必考的知識(shí)點(diǎn)：集合、復(fù)數(shù)、算法、概率、統(tǒng)計(jì)且為容易題，因此，對(duì)其要重視但不要挖深。
3. B級(jí)要求考查較多，如函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，常見(jiàn)分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)的值域與最值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義；同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、 三角函數(shù)的圖象及其變換，三角函數(shù)的性質(zhì)（值域與最值、單調(diào)性、奇偶性與周期性等），正弦定理與余弦定理，解三角形；空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，空間幾何體的表面積與體積，點(diǎn)面距離；橢圓、雙曲線及拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等。
（二）突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查
三年試題均突出對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，08年試題較貼近教學(xué)實(shí)際，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題的比例較大。
09年試題小題過(guò)于簡(jiǎn)單，單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題過(guò)多， 小題區(qū)分度欠佳。10年小題前7題難度尚可，但后面的小題過(guò)于綜合，大題小題化傾向較明顯。
（三）10年試題值得注意的幾個(gè)問(wèn)題
1.運(yùn)算量的加大是一種導(dǎo)向
前兩年試題的運(yùn)算量較少，新課改后的學(xué)生的探究能力，思維的發(fā)散能力，思維的批判性及數(shù)學(xué)合作交流能力明顯有了改觀，學(xué)生的運(yùn)算能力直線下降，估計(jì)會(huì)加大運(yùn)算量的考查。
2.關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)要求、教材的關(guān)系問(wèn)題，考試說(shuō)明的作用問(wèn)題
10年試題中出現(xiàn)了一些與課標(biāo)、教學(xué)要求不太完全吻合的試題。教師宜根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)和教學(xué)要求，作適當(dāng)?shù)耐诰?、延伸?/p>
二、2011年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的應(yīng)對(duì)策略
（一）要加大填空題的訓(xùn)練力度
第一輪復(fù)習(xí)和二輪復(fù)習(xí)都要加強(qiáng)填空題的針對(duì)訓(xùn)練，增加一些多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合的小題訓(xùn)練，提高答題的正確率；對(duì)于C級(jí)要求的知識(shí)點(diǎn)要?jiǎng)?wù)必重視。
（二）2011年對(duì)下列知識(shí)點(diǎn)要給以關(guān)注
1.三角函數(shù)的周期性；2.冪函數(shù)、函數(shù)與方程；3.誘導(dǎo)公式；4.三角函數(shù)的圖象與變換；5.線性規(guī)劃；6.復(fù)數(shù)的幾何意義；7.四種命題；8.全稱量詞與否定量詞；9.統(tǒng)計(jì)（抽樣方法、平均數(shù)與方差）；10.充要條件；11.空間幾何體的表面積與體積（尤其是組合體）；12.直線的斜率與傾斜角；13.直線平行與垂直的判定；14.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(離心率、準(zhǔn)線等) ；15.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；16.幾何概型；17.立體幾何中空間線、面的位置關(guān)系的判定。
（三）重視教材，夯實(shí)基礎(chǔ)
要特別重視教材中的典型例習(xí)題的挖掘和提煉。（四）回歸通法，練好技能
強(qiáng)調(diào)通性通法的熟練掌握和應(yīng)用，通過(guò)適量的練習(xí)，總結(jié)出一般解題規(guī)律。
【關(guān)鍵詞】職高數(shù)學(xué)；多媒體技術(shù)；三角函數(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門(mén)綜合學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，會(huì)不斷進(jìn)行直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、空間想象、歸納概括、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、結(jié)果建構(gòu)等一系列思維過(guò)程，但也因其高度抽象的概念、簡(jiǎn)潔的教學(xué)語(yǔ)言、嚴(yán)密的邏輯體系、深刻的數(shù)學(xué)方式使大部分學(xué)生難以學(xué)好數(shù)學(xué).對(duì)于職高生來(lái)說(shuō)，他們的文化基礎(chǔ)薄弱，教師們的教法更是各顯神通.多媒體技術(shù)在教育領(lǐng)域的引入，為傳統(tǒng)的職高數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新活力，教師們利用多媒體課件進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)文字、圖形、動(dòng)畫(huà)等多樣化方式，把數(shù)學(xué)規(guī)律和運(yùn)用過(guò)程等形式直觀地展示給學(xué)生，還可以引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作.通過(guò)這樣多種感官刺激，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被瞬間燃起，產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中去.
三角函數(shù)內(nèi)涵豐富、外延廣泛，是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的一部分，學(xué)好這一章對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用.筆者運(yùn)用多媒體技術(shù)對(duì)此章節(jié)進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，給學(xué)生創(chuàng)造出一個(gè)全新的課堂教學(xué)，收到了預(yù)期的效果.因此，多媒體技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是顯而易見(jiàn)的，主要體現(xiàn)在：
一、多媒體導(dǎo)入新課，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生興趣
心理學(xué)研究表明，人類(lèi)獲取信息83%來(lái)自視覺(jué)，11%來(lái)自聽(tīng)覺(jué)，1.5%來(lái)自觸覺(jué).那么在課程的起始階段有效導(dǎo)入新課，迅速吸引學(xué)生眼球、集中學(xué)生注意力，把學(xué)生思緒帶進(jìn)課程內(nèi)容是教師上好一節(jié)課的重要基礎(chǔ).教師們要棄掉在課堂上滔滔不絕“填鴨式”的教學(xué)方式，應(yīng)充分利用多媒體大容量、多趣味、圖文聲并茂等特點(diǎn)設(shè)計(jì)好每一節(jié)的新課導(dǎo)入教案，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出趣味性的學(xué)習(xí)情境，才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的感官器官參與，讓學(xué)生能有身臨其境、在最佳的狀態(tài)下學(xué)習(xí)新知識(shí).
筆者所在職高的任教班級(jí)文化基礎(chǔ)較差，學(xué)生水平參差不齊，數(shù)學(xué)成績(jī)更是不忍睹視，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性嚴(yán)重缺乏，很多學(xué)生甚至有厭學(xué)情緒.因此筆者在導(dǎo)入三角函數(shù)這一章的新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，首先得設(shè)計(jì)出較為簡(jiǎn)單的案例學(xué)習(xí)，讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)三角函數(shù)學(xué)習(xí)興趣.
在學(xué)習(xí)《任意角的三角函數(shù)》一章時(shí)，考慮本章節(jié)多為定義講述會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，如果筆者在進(jìn)行新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，通過(guò)多媒體向同學(xué)播放小明和家人到游樂(lè)場(chǎng)玩摩天輪的視頻，精彩而又刺激，這視頻紛紛引來(lái)已經(jīng)乘坐過(guò)摩天輪的同學(xué)熱烈討論和未乘坐過(guò)同學(xué)的好奇心，于是，筆者說(shuō)道：“同學(xué)們，今天我們就要進(jìn)行一次數(shù)學(xué)摩天輪之旅，請(qǐng)同學(xué)帶著問(wèn)題再細(xì)看一次視頻，然后進(jìn)行回答好嗎？”同學(xué)們絲毫沒(méi)有感覺(jué)到這是枯燥的數(shù)學(xué)題，興致勃勃地說(shuō)，“好”.
問(wèn)題如下：如圖所示（圖略）：摩天輪的半徑為15 m，中心點(diǎn)O離地面為25 m，現(xiàn)在小明已在摩天輪，5秒后小明會(huì)從點(diǎn)P以每秒1度的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)35秒后小明將會(huì)離地面多高？
許多學(xué)生有著摩天輪親身的體驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題解決的自信心會(huì)自然提高.摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)與角的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)表現(xiàn)相同，轉(zhuǎn)輪的周期性與角的任意性也基本一致.所以通過(guò)呈現(xiàn)與學(xué)生生活貼近的問(wèn)題情境，自然而然地吸引學(xué)生注意從而進(jìn)入本節(jié)的課題――任意角的三角函數(shù)
顯然，這樣的多媒體情境導(dǎo)入數(shù)學(xué)新課更容易被學(xué)生所接受，并極大限度地把學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)移到學(xué)習(xí)中來(lái)，重燃學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.對(duì)于學(xué)業(yè)水平偏低的職高學(xué)生來(lái)說(shuō)，復(fù)雜問(wèn)題以學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的情境方式加以簡(jiǎn)單化，會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)改觀，覺(jué)得數(shù)學(xué)通俗易懂，從而慢慢消除對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抵觸和恐懼心理.
二、多媒體講授知識(shí)，突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力
如上文所講，數(shù)學(xué)是一門(mén)極具抽象概念的學(xué)科，大部分的知識(shí)都要結(jié)合圖像獲得.相當(dāng)一大部分的學(xué)生由于無(wú)法獲得相對(duì)實(shí)質(zhì)的概念理解，往往只知數(shù)據(jù)表面而不知規(guī)律結(jié)論的形成過(guò)程，再加上傳統(tǒng)的教學(xué)手段對(duì)重難點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)存在一定程度的局限性，所以學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的后續(xù)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生困難，對(duì)重點(diǎn)難點(diǎn)知識(shí)更加難以掌握.因此，教師在枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)課堂上要善于利用多媒體技術(shù)，用圖文并茂的課件再加上適當(dāng)?shù)穆曇舾膶W(xué)生的無(wú)意注意為有意注意，讓學(xué)生清楚地看到事物的變化，以靜化動(dòng)，以抽象化具體，以模糊化直觀，以無(wú)趣化生動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的各個(gè)感官系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，擴(kuò)大學(xué)生的認(rèn)知空間，減少學(xué)生自我想象的困難，更好地進(jìn)行重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)，為提高課堂教學(xué)提供有效途徑.
正所謂“數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微”，在《正弦函數(shù)圖像》這節(jié)課中，教會(huì)學(xué)生用五點(diǎn)法畫(huà)出正弦函數(shù)簡(jiǎn)圖是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，筆者便運(yùn)用多媒體技術(shù)，形象、直觀地把正弦函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的兩個(gè)端點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及中點(diǎn)這五個(gè)點(diǎn)的位置和坐標(biāo)明顯標(biāo)注，再用動(dòng)態(tài)、顏色鮮艷曲線將這五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，在電腦上把一個(gè)正弦函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖像畫(huà)出來(lái)了，讓同學(xué)們清楚明白的看到整個(gè)操作過(guò)程.
在熟練掌握函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，筆者組織學(xué)生在電腦室進(jìn)行y=Asin（ωx+φ）+b的函數(shù)圖像變化的內(nèi)容教學(xué)，利用電腦直觀地觀察此函數(shù)變量A，w，φ，b，對(duì)函數(shù)圖像的影響.筆者在對(duì)學(xué)生進(jìn)行基本的知識(shí)回顧后，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何畫(huà)板軟件在電腦上先進(jìn)行以下函數(shù)的圖像操作：
幾何畫(huà)板有著強(qiáng)大轉(zhuǎn)換動(dòng)能，只要學(xué)生輸入對(duì)應(yīng)的幾個(gè)數(shù)據(jù)，就能得到相應(yīng)的三角函數(shù)值；隨著鼠標(biāo)拖動(dòng)改變A、w、φ的值，正弦函數(shù)就會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化.學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，與小組討論，并通過(guò)調(diào)整A、w、φ的大小來(lái)觀察圖像變化，便能容易自行得出這些變量對(duì)圖像的影響，總結(jié)出圖像變化規(guī)律.
在此過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性極高，表現(xiàn)出很強(qiáng)的求知欲，例如在研究綜合性問(wèn)題y=sin3x+π2的圖像變換時(shí)便產(chǎn)生了分歧：
甲同學(xué)認(rèn)為做法應(yīng)該如下：先將y=sinx的圖像向左移動(dòng)π2個(gè)單位，得到y(tǒng)=sinx+π2，保持圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的13倍，就可以得到y(tǒng)=sin3x+π2.
乙同學(xué)卻認(rèn)為應(yīng)該這樣變換：先把圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的13倍，得到y(tǒng)=sin3x，再向左平移π2個(gè)單位得到y(tǒng)=sin3x+π2.
課堂立刻熱鬧起來(lái)，同學(xué)們議論紛紛，各抒己見(jiàn).于是筆者建議同學(xué)們把以上問(wèn)題在幾何畫(huà)板上檢驗(yàn)一下，看看哪種答案是成立的.最后同學(xué)們得出結(jié)論：兩種變換方法都是可以的.筆者便再一次確定同學(xué)的結(jié)論，說(shuō)到：振幅變化與周期變換和相位變化是沒(méi)有聯(lián)系的，相位的變化主要是根據(jù)周期來(lái)確定.
本節(jié)課內(nèi)容較為抽象，如果采用傳統(tǒng)的教師在黑板上手工繪圖展示不僅耗時(shí)工作量大，在周期和相位的變化讓學(xué)生得不到清晰直觀的演示，效果教學(xué)極差.利用幾何畫(huà)板的直觀形象、動(dòng)態(tài)演示進(jìn)行教學(xué)，不僅彌補(bǔ)了職高學(xué)生作圖能力差的劣勢(shì)，更提供了讓學(xué)生自己動(dòng)手操作、作圖觀察的機(jī)會(huì)，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，讓學(xué)生在實(shí)踐中接受知識(shí)，應(yīng)用知識(shí).
三、多媒體鞏固練習(xí)，增多教學(xué)信息，提高教學(xué)效果
德國(guó)心理學(xué)家H.EbbingHaus提出的遺忘規(guī)律告訴我們，遺忘是在學(xué)習(xí)之后立即開(kāi)始的，在學(xué)習(xí)完后的24小時(shí)內(nèi)遺忘的最多最快，所以，防止學(xué)習(xí)后便遺忘的最好辦法就是課后練習(xí).這要求教師所布置的課后作業(yè)要緊扣教學(xué)目標(biāo)、能夠突出教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)難點(diǎn)，而不是隨便在教材課后練習(xí)或者練習(xí)冊(cè)上勾畫(huà)幾題敷衍了事.運(yùn)用多媒體布置課后練習(xí)，可多樣化設(shè)計(jì)出相對(duì)應(yīng)的鞏固練習(xí)，不僅省去了板書(shū)的時(shí)間，而且可以給學(xué)生提高大量的信息和練習(xí)內(nèi)容.
針對(duì)職高學(xué)生的特點(diǎn)，教材的練習(xí)題筆者一般都是作為輔的練習(xí)材料，學(xué)生自主選擇做與不做的空間比較大，因?yàn)楣P者一般自行設(shè)計(jì)出練習(xí)題并用多媒體呈現(xiàn)給學(xué)生.
例如，數(shù)控專業(yè)的同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)完三角函數(shù)圖像變換后，筆者利用多媒體給學(xué)生展示了
正弦交流電的波形演示實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生明白交流電是如何產(chǎn)生的，以及正弦交流電的物理量與三角函數(shù)變量值的相似關(guān)系.視頻中發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動(dòng)，接在電路中的小燈泡一亮一滅的非常有規(guī)律，筆者引導(dǎo)學(xué)生注意觀察交流表指針的偏轉(zhuǎn)情況，觀察電流強(qiáng)度隨著時(shí)間做周期性變化的情況是否符合三角函數(shù)的特征.
于是，筆者便將作業(yè)布置為如下：請(qǐng)通過(guò)各種途徑查找如上述演示的類(lèi)似三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用例子，并將具體的操作情況分享給大家.一周后同學(xué)們將結(jié)果一一呈現(xiàn)給大家，成果挺豐富，如：鐘擺的運(yùn)動(dòng)、沙漏演示、波的傳播等等.這些例子都與函數(shù)表達(dá)式有關(guān)，學(xué)生在練習(xí)的過(guò)程中進(jìn)一步鞏固了知識(shí)，更強(qiáng)化了數(shù)學(xué)模型在生活中的應(yīng)用能力，為他們?cè)趯I(yè)課的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).
結(jié)語(yǔ)：實(shí)踐證明，不管是三角函數(shù)還是其他知識(shí)的教學(xué)，職高數(shù)學(xué)教學(xué)確實(shí)需要借助多媒體技術(shù)的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行新方式教學(xué)，多媒體技術(shù)的幾何直觀性和數(shù)形整合性給數(shù)學(xué)這門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科注入新活力也是毋庸置疑的.運(yùn)用多媒體技術(shù)不僅能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出具富啟發(fā)性的學(xué)習(xí)情境，能有效地激發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維和信息處理能力，更讓學(xué)生由“聽(tīng)、講”被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式改變?yōu)榉e極參與、觀察實(shí)驗(yàn)、主動(dòng)思考，系統(tǒng)地構(gòu)建自我知識(shí)體系，為自身知識(shí)、能力、素質(zhì)等方面的提高奠定了良好的基礎(chǔ).但是，多媒體技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整合還有很大的改正空間，在以后的教學(xué)中筆者將繼續(xù)努力學(xué)習(xí)，積極探索，尋找、開(kāi)發(fā)出更好的與多媒體結(jié)合的數(shù)學(xué)教學(xué)方式.
【參考文獻(xiàn)】
[1]龔運(yùn)勤，唐振球.架起數(shù)學(xué)史成為提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)的橋梁[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào).2011（06）.
[2]汪曉勤，王苗，鄒佳晨.HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：以橢圓為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào).2011（05）.
例1 （2014年湖北省荊州高考數(shù)學(xué)模擬試卷）集合A={-1，0，1}，B={y|y= cos x，x∈A}，則A∩B=
A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1}
難度系數(shù) 0.75
錯(cuò)解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={y|-1≤y≤1}，A∩B={-1，0，1}.選D.
錯(cuò)因 涉及含有三角函數(shù)問(wèn)題的集合的表示方法以及兩個(gè)集合的交集的定義與求法問(wèn)題，關(guān)鍵是結(jié)合題目條件確定相關(guān)的集合后再加以運(yùn)算.以上錯(cuò)解沒(méi)有充分考慮集合B中函數(shù)值y=cos x中的自變量x的取值限制，直接結(jié)合余弦函數(shù)得到-1≤y≤1，而實(shí)際上這里x∈A，求出B={cos 1，1}是解題的關(guān)鍵.
正解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={cos 1，1}，A∩B={1}.選B.
小結(jié) 涉及三角函數(shù)值的應(yīng)用問(wèn)題，同學(xué)們一定要注意三角函數(shù)中對(duì)應(yīng)自變量x的取值范圍的限制條件，不能盲目直接利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)求解，要充分考慮題目條件或隱含條件中對(duì)相應(yīng)角的取值限制.
易錯(cuò)點(diǎn)2：誘導(dǎo)公式顯身手，題目條件需挖掘
例2 （2014年甘肅省高考數(shù)學(xué)一模試卷）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，且在區(qū)間（2 013，2 014）上單調(diào)遞增.已知α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f（sin α）、 f（cos β）的大小關(guān)系是
A. f（sin α）< f（cos β） B. f（sin α）> f（cos β）
C. f（sin α）= f（cos β） D.以上情況均有可能
難度系數(shù) 0.55
錯(cuò)解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的周期為2的周期函數(shù).
又偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（2 013，2 014）上單調(diào)遞增，所以其在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增.根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減.
由于α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以sin α與cos β的大小無(wú)法確定.選D.
錯(cuò)因 涉及三角函數(shù)值大小比較的問(wèn)題，同學(xué)們要注意結(jié)合函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并結(jié)合自變量的大小關(guān)系來(lái)加以正確判斷.以上錯(cuò)解對(duì)于α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角的條件沒(méi)有充分挖掘，直接得出sin α與cos β的大小無(wú)法確定，進(jìn)而導(dǎo)致錯(cuò)誤判斷.實(shí)際上，結(jié)合條件，sin α與cos β的大小是可以判斷的.
正解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的周期為2的周期函數(shù).
又偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（2 013，2 014）上單調(diào)遞增，所以其在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增.根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減.
由于α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以α+β> ，即 >α> -β>0.所以1>sin α>sin（ -β）>0，即1>sin α>cos β>0.所以有 f（sin α）< f（cos β）.選A.
小結(jié) 涉及三角形中的三角函數(shù)值問(wèn)題，同學(xué)們一定要注意對(duì)題目條件的挖掘，結(jié)合三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)公式來(lái)分析與求解.解答本題的關(guān)鍵是由α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，得到α+β > ，通過(guò)不等式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式來(lái)綜合解答.
易錯(cuò)點(diǎn)3：三角函數(shù)有界性，考慮問(wèn)題要慎重
例3 （2014年江蘇省蘇州市高三第一次調(diào)研卷）設(shè)a，b均為大于1的自然數(shù)，函數(shù)f（x）= a（b+sin x），g（x）=b+cos x，若存在實(shí)數(shù)m，使得f（m）=g（m），則a+b=______.
難度系數(shù) 0.40
錯(cuò)解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，則有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ .顯然，當(dāng)a=2時(shí)，b2≤5，此時(shí)b=1或b=2，故a+b=3或a+b=4.
錯(cuò)因 涉及三角函數(shù)中的輔助角公式的應(yīng)用問(wèn)題，往往通過(guò)轉(zhuǎn)化并結(jié)合三角函數(shù)的有界性來(lái)綜合與應(yīng)用.以上錯(cuò)解對(duì)三角關(guān)系式加以正確轉(zhuǎn)化，但在考慮參數(shù)a，b的值時(shí)，沒(méi)有充分利用條件中a，b均為大于1的自然數(shù)這個(gè)條件，同時(shí)結(jié)合相應(yīng)的不等式加以科學(xué)推理與分析.
正解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，則有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ = = + +1=2（ + ）2+ .
由于a，b均為大于1的自然數(shù)，所以b2∈（1，5]，則b2=4，即b=2.
由2（a-1）≤ 展開(kāi)并整理有3a2-8a+3≤0，解得 ≤a≤ ，滿足大于1的自然數(shù)a只能是a=2，即a+b=4.
小結(jié) 涉及三角函數(shù)的有界性問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)條件進(jìn)行限制與應(yīng)用.本題通過(guò)三角函數(shù)的輔助角公式，利用三角函數(shù)的有界性，推出a，b的關(guān)系，同時(shí)a，b均為大于1的自然數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的求解等來(lái)討論a，b的范圍，從而求出a，b的值.
易錯(cuò)點(diǎn)4：圖像平移與變換，方向單位齊注意
例4 （2014年高考浙江文科卷）為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖像，可以將函數(shù)y= ?cos 3x的圖像
A.向右平移 個(gè)單位 B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位 D.向左平移 個(gè)單位
難度系數(shù) 0.68
錯(cuò)解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ），則可以將函數(shù)y= cos 3x的圖像向右平移 個(gè)單位，即可得到y(tǒng)= cos（3x- ）的圖像.選B.
錯(cuò)因 涉及三角函數(shù)圖像的平移與變換問(wèn)題，同學(xué)們要注意結(jié)合三角函數(shù)平移前后對(duì)應(yīng)的同名三角函數(shù)關(guān)系式中自變量與因變式對(duì)應(yīng)的變化.以上錯(cuò)解對(duì)自變量x的考慮不到位.
正解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ）= cos 3（x- ），可將函數(shù)y= cos 3x的圖像向右平移 個(gè)單位，即可得到y(tǒng) = cos 3（x- ）的圖像.選A.
小結(jié) 三角函數(shù)的圖像平移時(shí)，平移方向遵照規(guī)律“左加右減，上加下減”執(zhí)行，即：①將三角函數(shù)y= f（x）的圖像向x軸負(fù)（或正）方向平移φ（φ>0）個(gè)單位，則將y= f（x）中的x用x+φ（或x-φ）代換，所得新的三角函數(shù)圖像的函數(shù)解析式為y= f（x+φ）[或y=f（x-φ）]；②將y= f（x）的圖像向y軸正（或負(fù)）方向平移m（m>0）個(gè)單位，則將y= f（x）中的f（x）用f（x）+m[或f（x）-m]代換，所得新的三角函數(shù)圖像的函數(shù)解析式為y = f（x）+m[或y= f（x）-m]，然后進(jìn)行整理即可.
一、 掌握作圖
作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點(diǎn)法”，二是“變換法”．
“五點(diǎn)法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實(shí)用方法．用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，一定周期、二定起點(diǎn)、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點(diǎn)．
“變換法”在實(shí)際作圖時(shí)并不太方便，但它能幫助我們認(rèn)清函
數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)用很廣泛．常用的變換規(guī)律是：
y=sinx
沿x軸向左平移φ(φ>0)個(gè)單位或向右平移|φ|(φ
縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω（周期變換）
y=sin(ωx+φ)
橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍（振幅變換）
y=Asin(ωx+φ)
例1試用五點(diǎn)法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說(shuō)出這個(gè)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到．
解析列表描點(diǎn)得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.
2x-π30π2π32π2π
xπ6512π
23π
1112π76π
y020-20
y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的二倍（橫坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象．
二、 學(xué)會(huì)識(shí)圖
這里的識(shí)圖是指由給出的圖象，能寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進(jìn)一步地，能夠認(rèn)識(shí)和研究這個(gè)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
由所給圖象寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，關(guān)鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)的起點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．另一種常用的方法則是將圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，借助待定系數(shù)法求解．
例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=
2π16=π8．
又圖象起點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=-2，
所以φ=-ωx0=-π8?(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．
其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區(qū)間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區(qū)間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．
三、體驗(yàn)用圖
“用圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，可以使我們的思維品質(zhì)和解題能力得到有效的鍛煉與提高．
例3某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象．
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)
y=Asinωt+B的表達(dá)式；
(2)一般情況下，船舶行時(shí)船底同海底
的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船
的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，
那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該
船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港所需的時(shí)間）？
【關(guān)鍵詞】初等數(shù)學(xué)；代數(shù)；變形；解題；技巧
在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，解題的過(guò)程能讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得更加生動(dòng)精彩，通過(guò)數(shù)學(xué)解題，可以使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和進(jìn)一步生活所必需的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.近年來(lái)，在初等數(shù)學(xué)的考試中題目越來(lái)越靈活，特別是在中考，高考等選拔性考試中，不僅注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，而且越來(lái)越重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，在解題時(shí)對(duì)有些題目采取正確的解題技巧，作出適當(dāng)?shù)淖冃?，可以使解題過(guò)程充滿趣味同時(shí)提高解題效率.
一、一元二次方程的變形技巧
在一元二次方程的求解過(guò)程中或者是在解可化為一元二次方程的分式方程時(shí)，常常會(huì)通過(guò)適當(dāng)?shù)氖角蟮姆匠痰慕?變形使問(wèn)題簡(jiǎn)化.
二、三角函數(shù)化簡(jiǎn)的變形技巧
三角函數(shù)的化簡(jiǎn)就是對(duì)三角函數(shù)的恒等變形，使之成為最簡(jiǎn)形式.而化簡(jiǎn)的最重要策略就是進(jìn)行三角恒等變形，三角函數(shù)式的恒等變形中包含的公式多，涉及的知識(shí)面廣，題型變化大，若探索不出解題規(guī)律，就會(huì)無(wú)從下手.克服方法有：（1）要能靈活的運(yùn)用公式，熟記三角公式，深刻領(lǐng)會(huì)公式的實(shí)質(zhì)，弄清公式的來(lái)龍去脈，不但會(huì)順用公式，而且能逆用公式，掌握公式的各種變形情況及派生公式，還要明確各類(lèi)公式的主要作用；（2）要能掌握三角變換的基本規(guī)律，如化復(fù)為單，化不同角為同角，化異名為同名，化高次為低次，化多項(xiàng)為單項(xiàng)等；（3）要注意代數(shù)式恒等變形法則的作用，如乘法公式、因式分解、分式運(yùn)算、根式運(yùn)算、配方等.
三、代數(shù)中的變形技巧
代數(shù)學(xué)習(xí)在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中及其重要，在代數(shù)學(xué)習(xí)中，掌握好變形技巧能夠使我們更好的明確解題方向，簡(jiǎn)化問(wèn)題.代數(shù)中常見(jiàn)的變形有對(duì)數(shù)變形，指數(shù)變形等等.
1.指數(shù)的變形技巧
2.對(duì)數(shù)的變形技巧
