發(fā)布時(shí)間：2023-11-07 11:28:29
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的探索平行線的條件樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》是學(xué)好平面幾何知識(shí)的重要基礎(chǔ)，怎樣才能掌握這一章節(jié)，我建議同學(xué)們從下列幾方面入手.
一、 體會(huì)知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、 明確重點(diǎn)難點(diǎn)
本章的重點(diǎn)內(nèi)容是探究?jī)芍本€平行的條件和平行線的性質(zhì)，探索三角形的有關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用.難點(diǎn)則是平行線的判定與性質(zhì)的條件和結(jié)論易混淆，探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式過(guò)程中應(yīng)用的化歸思想需深入領(lǐng)會(huì).
三、 理解知識(shí)要點(diǎn)
1. 認(rèn)識(shí)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
（1） 同位角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個(gè)角在第三條直線的同一邊，在被截兩條直線的同一方向，那么這兩個(gè)角叫做同位角.如圖2中的∠1和∠2分別在直線c的同一邊，并且都在直線a、b的上方.同位角是指兩個(gè)角的位置關(guān)系，在判別“同位角”時(shí)，注意位置上的兩個(gè)“同”：在第三條直線的同一邊，在被截兩直線的同一方向.同位角不一定相等.
（2） 內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個(gè)角在被截兩條直線之間，在第三條直線的兩旁，那么這兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.如圖2中的∠2和∠7分別在直線a、b之間，并且在直線c的兩旁.內(nèi)錯(cuò)角是指兩個(gè)角的位置關(guān)系，內(nèi)錯(cuò)角的特征：在被截兩直線之間，在截線的兩旁.內(nèi)錯(cuò)角不一定相等.
（3） 同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個(gè)角在被截兩條直線之間，在第三條直線的同旁，那么這兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角.如圖2中的∠2和∠5分別在直線a、b之間，并且在直線c的同旁.同旁內(nèi)角是指兩個(gè)角的位置關(guān)系，同旁內(nèi)角的特征：在被截兩直線之間，在截線的同旁.同旁內(nèi)角不一定互補(bǔ).
（4） 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都是由兩條直線被第三條直線所截而形成的，將其分別從圖中分解出來(lái)，得出其基本圖形可分別形象地記為“F” 形、“Z”形、“C” 形.當(dāng)圖形較為復(fù)雜時(shí)，一定要觀察清楚同位角（或內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）是哪兩條直線被哪一條直線所截的.另外這三種角講的只是位置關(guān)系，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系.
2. 兩直線平行的條件
① 同位角相等，兩直線平行.② 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.③ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
以上三種方法都是利用角的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.具體做法：要判斷兩條直線平行，首先需要兩個(gè)角，并且這兩個(gè)角是兩條直線被第三條直線所截成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角；其次是要具備角的大小相等或互補(bǔ).在兩者都具備的前提下，兩條被截的直線互相平行.
3. 探索平行線的性質(zhì)
① 兩直線平行，同位角相等.② 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.③ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是平行線特有的性質(zhì).不要誤認(rèn)為凡同位角、內(nèi)錯(cuò)角都相等，凡同旁內(nèi)角都互補(bǔ).
4. 兩直線平行的條件與平行線的性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系
（1） 平行線的性質(zhì)和兩條直線平行的條件的前提和結(jié)論恰好相反，運(yùn)用時(shí)關(guān)鍵是弄清楚它們各自的前提和結(jié)論.
（2） 兩條直線平行的條件是由角的數(shù)量和位置關(guān)系推得直線的位置關(guān)系，而平行線的性質(zhì)則是由直線的位置關(guān)系推得角的數(shù)量關(guān)系.
5. 圖形的平移
（1） 圖形的平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移.平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形上的每一點(diǎn)都是沿同一方向移動(dòng)相同的距離. 圖形的平移由平移的方向和平移的距離決定.平移的距離是指對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度.
（2） 圖形平移的性質(zhì)：① 平移不改變圖形的形狀、大小，即平移前后的兩個(gè)圖形全等，平移只改變了圖形的位置.② 圖形經(jīng)過(guò)平移，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所得的線段互相平行（或在同一條直線上）并且相等.③對(duì)應(yīng)線段平行且相等.
（3） 平行線之間的距離：如果兩條直線互相平行，那么其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等，這個(gè)距離稱為平行線之間的距離.兩條平行間的距離處處相等.
（4） 畫(huà)平移圖形：畫(huà)平移后的新圖形，要首先確定平移方向和距離，再確定關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)位置，最后按原有的方式依次連接，就可得到平移后的圖形.作圖的依據(jù)是平移的性質(zhì).
（5） 圖形平移的應(yīng)用：利用平移的性質(zhì)可以巧算某些圖形的周長(zhǎng)和面積，還可以設(shè)計(jì)美麗的圖案.
6. 認(rèn)識(shí)三角形
（1） 三角形的概念：三角形是由3條不在同一條直線上的線段，首尾依次相接組成的圖形.三角形有3條邊、3個(gè)內(nèi)角和3個(gè)頂點(diǎn).
（2） 三角形分類：① 按邊分類為：不等邊三角形和等腰三角形；② 按角分類為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.
（3） 三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.要判斷所給三條線段能否構(gòu)成三角形，可以用兩條較小的線段長(zhǎng)之和與最大線段長(zhǎng)進(jìn)行比較，若前者大于后者，則這三條線段能構(gòu)成三角形，否則，不能構(gòu)成三角形.
（4） 三角形中的特殊線段：①在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高.三角形的高垂直于三角形的一邊，一個(gè)三角形有3條高，并且3條高相交于一點(diǎn).②在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線分三角形一角所成的兩個(gè)角相等， 一個(gè)三角形有3條角平分線，并且3條角平分線相交于一點(diǎn).③在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線.三角形的中線分三角形一邊為相等的兩條線段， 一個(gè)三角形有3條中線，并且3條中線相交于一點(diǎn).三角形的高、中線、角平分線都是線段.
7. 三角形的內(nèi)角和
（1） 三角形的內(nèi)角和：三角形3個(gè)內(nèi)角的和等于180°.這個(gè)結(jié)論揭示了3個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.
（2） 直角三角形兩銳角互余.
（3） 三角形外角的概念及性質(zhì)：① 三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角叫三角形的外角.三角形的一個(gè)外角就是三角形某個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角.② 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
直線平行的條件和性質(zhì)的內(nèi)容是讓學(xué)生在充分感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上利用三種角的關(guān)系體會(huì)平行線的三種判定方法，它是空間與圖形領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，是《相交線與平行線》的重點(diǎn)，學(xué)習(xí)它會(huì)為后面的學(xué)習(xí)平行線性質(zhì)、三角形、四邊形等知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的“基石”。同時(shí)，本內(nèi)容學(xué)習(xí)將為加深“角與平行線”的認(rèn)識(shí)，建立空間觀念，發(fā)展思維，并能讓學(xué)生在活動(dòng)的過(guò)程中交流分享探索的成果，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。學(xué)生在學(xué)習(xí)這方面知識(shí)時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題，一是考生基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí)，概念理解不夠準(zhǔn)確，不能準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)這三種角；二是邏輯推理能力較差，有些能了解這三個(gè)角的關(guān)系與平行的關(guān)系，不會(huì)用幾何語(yǔ)言去描述，三是不能很好的利用這三個(gè)角之間的關(guān)系去證明平行的相關(guān)問(wèn)題針對(duì)找些問(wèn)題談?wù)劚救嗽诮虒W(xué)中的一點(diǎn)點(diǎn)見(jiàn)解：一、引導(dǎo)學(xué)生“正確理解概念”二、引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的幾何語(yǔ)言描述三、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題
直線平行的條件和性質(zhì)的內(nèi)容位于人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)七年級(jí)下冊(cè)第五章第二、三節(jié)。主要內(nèi)容是讓學(xué)生在充分感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上利用三種角的關(guān)系體會(huì)平行線的三種判定方法，它是空間與圖形領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，是《相交線與平行線》的重點(diǎn)，學(xué)習(xí)它會(huì)為后面的學(xué)習(xí)平行線性質(zhì)、三角形、四邊形等知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的“基石”。同時(shí)，本內(nèi)容學(xué)習(xí)將為加深“角與平行線”的認(rèn)識(shí)，建立空間觀念，發(fā)展思維，并能讓學(xué)生在活動(dòng)的過(guò)程中交流分享探索的成果，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。
學(xué)生在學(xué)習(xí)這方面知識(shí)時(shí)會(huì)出現(xiàn)以下幾種問(wèn)題：一是考生基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí)，概念理解不夠準(zhǔn)確，不能準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)這三種角；二是邏輯推理能力較差，有些能了解這三個(gè)角的關(guān)系與平行的關(guān)系，不會(huì)用幾何語(yǔ)言去描述，三是不能很好的利用這三個(gè)角之間的關(guān)系去證明平行的相關(guān)問(wèn)題。針對(duì)以上問(wèn)題談?wù)劚救嗽诮虒W(xué)中的一點(diǎn)點(diǎn)見(jiàn)解：
一、引導(dǎo)學(xué)生“正確理解概念”
其中同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是兩條直線被第三條直線所截形成的，它們主要是為學(xué)習(xí)平行的判定和性質(zhì)服務(wù)的。是學(xué)習(xí)平行線的關(guān)鍵，而學(xué)生對(duì)于三種角的認(rèn)識(shí)不夠，在這里的學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注意
（一）引導(dǎo)學(xué)生多“觀察”
先從基本的三線八角入手，先了解最基本的這三種角的描述性定義，了解他們的本質(zhì)屬性，例如，對(duì)于同位角的認(rèn)識(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生觀察得出這兩個(gè)角分別在直線AB、CD的同一方（上方），并且都在直線EF的同一側(cè)（右側(cè)），這是“同位角”的本質(zhì)屬性。然后，可以用“位置相同”來(lái)描述這種位置關(guān)系，給出“同位角”的描述性定義。認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確的角可以使學(xué)生對(duì)于一些復(fù)雜的圖形能排除變式圖形中的非本質(zhì)現(xiàn)象。復(fù)雜圖形中“背景”干擾的能力。
（二）引導(dǎo)學(xué)生會(huì)“識(shí)圖、用圖”
學(xué)好平面幾何要求學(xué)生具有熟練的識(shí)圖、用圖能力，即從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，并通過(guò)對(duì)基本圖形的分析，識(shí)別出基本元素之間的關(guān)系。通過(guò)一些圖形如上圖的變化讓學(xué)生能從復(fù)雜圖形中去“分解”為簡(jiǎn)單圖形的訓(xùn)練，這種訓(xùn)練能有效地幫助學(xué)生掌握識(shí)圖技能，從而掃除學(xué)生識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角時(shí)可能存在的障礙。從而會(huì)識(shí)別圖形（包括變式圖形和比較復(fù)雜的圖形）中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角。
通過(guò)這兩個(gè)方面的引導(dǎo)使學(xué)生能很好的認(rèn)識(shí)同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，為平行線的學(xué)習(xí)打下好的基礎(chǔ)。
二、引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的幾何語(yǔ)言描述
三種角的學(xué)習(xí)是為了平行線的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，學(xué)生在剛接觸幾何時(shí)對(duì)于幾何語(yǔ)言知之甚少，不會(huì)利用幾何語(yǔ)言去描述這三種角和平行線之間的關(guān)系，而這方面的訓(xùn)練教學(xué)書(shū)中涉及比較少，在此應(yīng)這樣處理更有利于學(xué)生熟悉利用規(guī)范的幾何語(yǔ)言來(lái)描述幾何問(wèn)題。找一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，然后先給出簡(jiǎn)單的思路過(guò)程讓學(xué)生填一些簡(jiǎn)單的原因，逐步摸索出遇到問(wèn)題應(yīng)該如何去想。
雖然這只是一些直接簡(jiǎn)單的證明，但對(duì)于學(xué)生規(guī)范幾何語(yǔ)言描述大有幫助，實(shí)踐說(shuō)明這類訓(xùn)練對(duì)于剛接觸的幾何的學(xué)生尤其是理解能力較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)幾何語(yǔ)言的規(guī)范性效果很好。
三、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題
分析問(wèn)題解決問(wèn)題是學(xué)生必須學(xué)會(huì)的方法，但是學(xué)生剛接觸幾何時(shí)不知道如何去解決這類問(wèn)題，基本上是無(wú)處下手，在認(rèn)識(shí)了三種角的特點(diǎn)以及與平行的關(guān)系后上述的簡(jiǎn)單證明題的填空不僅可以使學(xué)生規(guī)范幾何語(yǔ)言，而且還對(duì)于學(xué)生了解分析問(wèn)題的基本思路也有很大的幫助，當(dāng)然僅是上面的訓(xùn)練還不夠理解問(wèn)題分析的思路，要引導(dǎo)學(xué)生從題目的已知條件中提取有用的信息，從題目的的求解（或求證）中考慮需要的信息即“看見(jiàn)已知聯(lián)想性質(zhì)，看到求證聯(lián)想判定”，將獲得的信息聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行加工、整和，一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋求正反兩個(gè)方面的知識(shí)的“銜接點(diǎn)”即一個(gè)固有的確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。從經(jīng)驗(yàn)上升到自動(dòng)化，從感性上升到理性，加深對(duì)理論的認(rèn)識(shí)水平。提高解決問(wèn)題的能力。
不同學(xué)生的思維風(fēng)格和解決問(wèn)題的習(xí)慣是不同，如分析型學(xué)生的思維傾向于局部到整體的解決問(wèn)題的方法，綜合型思維風(fēng)格的學(xué)生則恰好相反，教師應(yīng)當(dāng)尊重和保護(hù)學(xué)生的自主性的選擇權(quán)。要認(rèn)真鉆研教材，重視發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，才能真正的提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)。提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。
參考文獻(xiàn)
【關(guān)鍵詞】三線八角；難點(diǎn)突破；教法探討
如果兩條直線被第三條直線所截，就會(huì)形成八個(gè)角，這就是所謂的“三線八角”，在這八個(gè)角中，有“同位角”、“內(nèi)錯(cuò)角”、“同旁內(nèi)角”等幾個(gè)重要概念，因此習(xí)慣上把涉及同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的幾何問(wèn)題統(tǒng)稱為“三線八角”問(wèn)題.因?yàn)榻^大部分平行線的性質(zhì)和判定問(wèn)題都需要借助于“三線八角”來(lái)解決，所以它是平面幾何一個(gè)傳統(tǒng)的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)它也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，一些學(xué)生往往因在解決三線八角問(wèn)題時(shí)出錯(cuò)而導(dǎo)致學(xué)習(xí)遇阻，甚至產(chǎn)生厭學(xué)和分化.筆者在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)這一經(jīng)典內(nèi)容的教法作了一些探索，敘述于后供大家指正.1“三線八角”問(wèn)題的教學(xué)難點(diǎn)及成因分析
在解決三線八角問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的出錯(cuò)點(diǎn)主要有兩類：一類是不能正確識(shí)別圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，另一類是在判定平行線或應(yīng)用平行線的性質(zhì)時(shí)，不能正確關(guān)聯(lián)線和角.這兩類錯(cuò)誤有時(shí)也相互纏繞，使學(xué)生深受其苦.
三線八角問(wèn)題之所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，既與知識(shí)本身的復(fù)雜程度和學(xué)生的認(rèn)知水平有關(guān)，也與教材對(duì)知識(shí)的呈現(xiàn)方式有關(guān).
知識(shí)本身的因素.三線八角問(wèn)題涉及三條線、八個(gè)角，信息容量大，圖形變式多，而在變式圖形中，充斥著大量的干擾因素，這是學(xué)生感覺(jué)困難的根本原因.
學(xué)生因素.學(xué)生在之前接觸的幾何問(wèn)題，除了對(duì)基本平面圖形和立體圖形名稱的識(shí)別外，系統(tǒng)學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)主要是線段、射線、直線和角，基本沒(méi)有涉及變式圖形，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)處于直觀感知階段，讀圖識(shí)圖能力較弱，對(duì)幾何關(guān)系的把握能力差，尤其是當(dāng)接觸到包含變式圖形的問(wèn)題時(shí)，往往因?yàn)橥庑沃庇^上的改變而無(wú)所適從.
教材因素.我校使用的北師大版教材，是在探索兩直線平行的條件一課中首次出現(xiàn)“同位角”的概念的，而且只做了簡(jiǎn)單描述，顯然是有意淡化了概念.這樣雖然把學(xué)生的注意力引向平行線本身，但卻導(dǎo)致著學(xué)生對(duì)“同位角”這一概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊，也進(jìn)而導(dǎo)致了進(jìn)一步研究平行線時(shí)學(xué)生不能熟練使用三線八角這一有力工具的缺陷.實(shí)際上，作為研究平行線的重要工具，三線八角本身是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線之前深刻理解并熟練掌握的.2“三線八角”教學(xué)難點(diǎn)的突破
2.1在基本圖形中準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵
筆者認(rèn)為，對(duì)初一學(xué)生來(lái)說(shuō)，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角不是單從字面就能完全理解的概念，需要教師對(duì)概念本身的含義進(jìn)行點(diǎn)撥講解，使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念是解決問(wèn)題的基礎(chǔ).
如圖1，直線AB、CD被直線EF所截，EF稱為“截線”，AB、CD是被截線.
同位角的字面意義是位置相同，識(shí)別同位角的關(guān)鍵是學(xué)生要領(lǐng)悟兩個(gè)位置上的“同”即在截線EF的同一旁，被截兩直線AB、CD的同一方向.根據(jù)以上可以判定圖中滿足“同位角”條件的有：∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8.
準(zhǔn)確辨別內(nèi)錯(cuò)角的要領(lǐng)是把握兩角在被截兩直線AB、CD的“內(nèi)部”，交錯(cuò)在截線EF兩旁.據(jù)此∠4和∠6、∠3和∠5為“內(nèi)錯(cuò)角”.
同旁內(nèi)角：在截線EF同旁，被截兩直線AB、CD之間.滿足的有∠4和∠5、∠3和∠6.
圖2也是標(biāo)準(zhǔn)的基本圖形，學(xué)生不難從基本圖形中識(shí)別有關(guān)角.
2.2在圖形變式中把握概念本質(zhì)
幾何圖形千變?nèi)f化，不管怎樣的圖形，只要能從中找到“基本圖形”，就容易識(shí)別三線八角，常用的方法有補(bǔ)齊法和分離法.
（1）補(bǔ)齊法
圖3的各圖中有同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角嗎？信息的缺失也會(huì)導(dǎo)致識(shí)別困難.和基本圖形相比，這種圖形似乎是殘缺的、不完整的，剛開(kāi)始接觸這類圖形時(shí)可用補(bǔ)齊法.比如，只要把圖3各圖中的相關(guān)線段適當(dāng)延長(zhǎng)，都可補(bǔ)齊為圖4的基本圖形，各類角也就很容易識(shí)別了.
（2）分離法
分離法，就是在復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，以去除干擾信息（包括交點(diǎn)、線段和角），準(zhǔn)確識(shí)別三線八角.
當(dāng)考察∠1和∠2時(shí)，將與兩角無(wú)關(guān)的因素去掉，比如按圖6的方式把虛框中的圖形遮擋，剩下的圖形就是圖7，此時(shí)就很容易看到直線AB、EF被直線CD所截，∠1和∠2在截線CD同旁，被截線AB、EF同方向，所以兩角是同位角.類似的方法可識(shí)別圖5中∠1和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，∠2和∠3是同旁內(nèi)角.
2.3正確建立平行線與角的關(guān)聯(lián)
學(xué)習(xí)“三線八角”，不可避免的會(huì)遇到由平行線推斷相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，或是由角的數(shù)量關(guān)系推斷直線的位置關(guān)系的題目，此時(shí)正確建立線和角的關(guān)聯(lián)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.下面看兩個(gè)例子.
例1如圖8，（1）如果AB∥CD，可推出∠1=∠2，∠3=∠4嗎？
（2）已知∠1=∠2或∠3=∠4，能得到AB∥CD嗎？
直線AB、CD為被截線，分別將直線AC、AD、BC作榻叵叻擲氤隼矗得到圖9中的三個(gè)圖形，很容易觀察到∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，而∠3和∠4是無(wú)關(guān)角.圖10圖11
反過(guò)來(lái)，已知∠1=∠2或∠3=∠4，可以把與∠1、∠2或∠3、∠4無(wú)關(guān)的線段隱藏，分別得到圖10中的兩個(gè)圖形，可以看出，由∠1=∠2能推出AB∥CD，而由∠3=∠4不能推出AB∥CD.此類問(wèn)題，也可用“描線法”分析，即在原圖上用紅筆或粗筆描繪出∠1和∠2的兩邊，或∠3和∠4的兩邊，可分別得到圖11中的兩個(gè)圖，這兩個(gè)圖中描了線的突出部分，就分別是圖10中的兩個(gè)圖形.
例2如圖12，已知∠1=∠2=∠3=59°，求∠4的度數(shù).
此題的難點(diǎn)在于圖形中的干擾信息多，學(xué)生面對(duì)此題，往往不能正確判斷由哪對(duì)角來(lái)判別a，b是平行的，求得a、b平行后，又不能識(shí)別哪個(gè)角與∠4是關(guān)聯(lián)的？解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是排除干擾信息，解決問(wèn)題的方法是分離法，比如把圖中的線d平移到圖13的位置，則立得兩個(gè)三線八角的基本圖形，∠1和∠3的同位角關(guān)系以及∠2和∠4的關(guān)聯(lián)性也變得一目了然，問(wèn)題順利得到解決.
2.4實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化
新課程注重?cái)?shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，因此教材及近幾年考試出現(xiàn)了大量以實(shí)際生活為背景的題目，解決這類問(wèn)題的基本方法是把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型.
例3如圖14，潛望鏡中的兩個(gè)鏡子是互相平行放置的，光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，入射角等于反射角，則有∠1=∠2，∠3=∠4.請(qǐng)解釋：為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的？
由于實(shí)際問(wèn)題情境的限制，雖然圖14已經(jīng)對(duì)平行鏡面作了“放大”處理，但學(xué)生仍不易識(shí)別其中的三線八角.此時(shí)可以去除無(wú)關(guān)要素，放大有用信息，把此問(wèn)題進(jìn)一步抽象成幾何圖形，得到圖15，這樣原題就轉(zhuǎn)化為：已知，如圖15，a∥b，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：c∥d.
關(guān)鍵詞:幾何教學(xué)思維能力訓(xùn)練 例談
全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面持續(xù)、和諧地發(fā)展”,“使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí),在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！痹诔踔袛?shù)學(xué)教育教學(xué)中,我們進(jìn)行了一些有益的探索。本文結(jié)合《三角形內(nèi)角和定理》一課的教學(xué),談一談對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維能力訓(xùn)練的做法,以供讀者參考。
《三角形內(nèi)角和定理》是學(xué)生接觸較早的定理之一,其內(nèi)容和應(yīng)用早已為學(xué)生所熟悉。因此,教學(xué)中要重點(diǎn)解決的問(wèn)題是定理的證明,在定理的證明中,學(xué)生將首次接觸和應(yīng)用輔助線。于是在定理證明中“為什么要添加輔助線”和“如何添加輔助線”成為重中之重。通過(guò)“三角形內(nèi)角和定理”的證明的具體教學(xué)實(shí)踐,感受幾何證明的思想,讓學(xué)生體會(huì)輔助線在幾何問(wèn)題解決中的橋梁作用,感悟數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想,訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新思維能力,成為幾何教學(xué)中探索的重要內(nèi)容。
一、在證明幾何定理的實(shí)踐中,引發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性
1.引導(dǎo)分析幾何定理證明的必要性,啟動(dòng)學(xué)生思維
在講授《三角形內(nèi)角和定理》一課時(shí),首先讓學(xué)生通過(guò)剪裁、拼接的方法,將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)角,并量得該角度數(shù),得出三個(gè)內(nèi)角的和為180度。然后引出定理證明的必要性:(1)測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差,通過(guò)觀察、度量、猜測(cè)得到的結(jié)論不一定正確;(2)剪裁、拼接有限個(gè)三角形,還不足以說(shuō)明所有三角形都有同樣性質(zhì) ;(3)測(cè)量一些三角形內(nèi)角和等于180度,可以作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的依據(jù),但還不是數(shù)學(xué)證明,利用這種必要性,使學(xué)生產(chǎn)生疑慮,有疑慮,才能產(chǎn)生認(rèn)知沖突,進(jìn)而激發(fā)認(rèn)知要求。
2.利用定理證明與發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生思維
講課時(shí),先從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)入手,讓學(xué)生體會(huì)生活中橋梁的重要性,同時(shí)引出搭建橋梁的注意事項(xiàng),然后把生活中的橋梁向數(shù)學(xué)中的橋梁引申,借助剪裁、拼接三角形三個(gè)內(nèi)角的過(guò)程分析,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)輔助線在幾何證明中的橋梁作用。指導(dǎo)學(xué)生分析命題的條件和結(jié)論,條件相當(dāng)于已知,結(jié)論相當(dāng)于未知,指出已知和未知相當(dāng)于河兩岸,輔助線是連接兩岸的橋梁。提問(wèn):“何處能提供180度”從而引發(fā)學(xué)生思維的發(fā)散和創(chuàng)新,學(xué)生容易想到“平角為180度”“平行線同旁內(nèi)角和為180度”。然后教師引導(dǎo)學(xué)生分析:(1)如何添加輔助線(即如何架橋),明確添加輔助線的目的是將三角形三個(gè)內(nèi)角向一個(gè)平角或互補(bǔ)的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化。(2)在哪兒能添加輔助線(即在哪能架橋),教師組織學(xué)生剪裁、拼接三角形的三個(gè)內(nèi)角,驗(yàn)證三角形內(nèi)角和為180度,很容易得知:可以選擇三角形的頂點(diǎn)、邊上或三角形內(nèi)部、甚至三角形外部。教師應(yīng)注意分層次引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)地點(diǎn)選擇的多樣性。學(xué)生不僅容易將三個(gè)內(nèi)角移到一個(gè)頂點(diǎn)上,也能將三個(gè)內(nèi)角移成平行線的一對(duì)同旁內(nèi)角。此時(shí),抓住了定理證明的實(shí)質(zhì),這兩種思路都是利用平行線把分散的角相對(duì)集中起來(lái),因而這兩種思路可以相互轉(zhuǎn)化,便把學(xué)生的思維引向了一個(gè)較高境界,引發(fā)了學(xué)生的自主探索。(3)輔助線有幾種添法(可架幾座橋),從地點(diǎn)上看可以有若干種,同時(shí)對(duì)平角或互補(bǔ)的選擇又有所不同。(4)哪種最簡(jiǎn)捷(架哪座橋最省),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中最優(yōu)化思想,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué)的意識(shí)。
二、在探求定理證明思路中開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維能力
1.遵循認(rèn)知規(guī)律,深化學(xué)生思維
學(xué)生通過(guò)回憶對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角的剪裁、拼接,很容易得出圖形.然后引導(dǎo)學(xué)生按圖形補(bǔ)畫(huà)線(輔助線),表現(xiàn)了學(xué)生會(huì)對(duì)直觀模型進(jìn)行抽象提煉,會(huì)對(duì)新圖形進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述,學(xué)生的理性思維在實(shí)驗(yàn)變論證、感性變理性、直觀變抽象的飛躍中得到了發(fā)展。教師指出,新補(bǔ)畫(huà)的線為輔助線,即聯(lián)系命題的已知和未知的橋梁。那么能不能通過(guò)只移一個(gè)內(nèi)角得到三個(gè)內(nèi)角和為180度,進(jìn)而證明三角形內(nèi)角和定理呢?得到從而引領(lǐng)學(xué)生掌握輔助線添加方法的多樣性,深化學(xué)生思維。
2.多角度變換,激發(fā)學(xué)生思維
學(xué)生回顧剪裁、拼接三角形三個(gè)內(nèi)角為一個(gè)平角的過(guò)程,成功地找出了定理證明的思路后,及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生找出在三角形邊上或三角形內(nèi)部、外部添線的方法。繼續(xù)探索引出利用兩平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)也可以證明,啟發(fā)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)哪種方法最簡(jiǎn)捷,體會(huì)數(shù)學(xué)中的最優(yōu)化思想,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí).
同學(xué)們經(jīng)過(guò)比較得知,過(guò)C作CE平行AB,運(yùn)用平行線內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ),證明三角內(nèi)角和定理過(guò)程最簡(jiǎn)便;如果先延長(zhǎng)BC,再過(guò)C作CE平行AB,運(yùn)用平行線內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等及平角定義,證明三角形內(nèi)角和定理,圖形直觀,思維簡(jiǎn)便。然后學(xué)生試寫(xiě)出完整的證明過(guò)程。經(jīng)過(guò)多方面探討,學(xué)生的發(fā)散思維能力得到了開(kāi)發(fā),學(xué)生探求定理證明的思路得到拓展,教學(xué)活動(dòng)也達(dá)到了豐富多彩。
3.在民主的教學(xué)氛圍中,鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新思維
民主的教學(xué)作風(fēng),為學(xué)生提出問(wèn)題,暴露思維過(guò)程提供了良好的教學(xué)氛圍,在學(xué)生探索過(guò)程中,有的學(xué)生發(fā)現(xiàn),作∠ACE=∠B證不出∠ECD=∠A,教師可引導(dǎo)學(xué)生從反面理解不成功的理由,是這樣做得不到平行線。當(dāng)學(xué)生提出作∠ACE=∠A再證∠ECD=∠B時(shí)需要∠ACD>∠A,(由于延長(zhǎng)BC得到了∠ACD,默認(rèn)了“外角大于不相鄰的內(nèi)角”)。引導(dǎo)學(xué)生探究:從圖上看無(wú)論怎樣做CE均在∠ACD內(nèi)部,若CE在∠ACD外部,則CE必通過(guò)ABC內(nèi)部與AB相交,這與CE平行AB矛盾。則CE一定平行于AB。進(jìn)而得到∠A=∠ACE,∠B=∠BCE。這樣添加輔助線這個(gè)難點(diǎn)在討論探究中得到化解,一種富有創(chuàng)造性的思路在學(xué)生認(rèn)識(shí)的不斷修正和完善中產(chǎn)生,經(jīng)過(guò)訓(xùn)練,創(chuàng)造性思維能力得到了有效培養(yǎng)。
參考文獻(xiàn):
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》教育部編 2001年北京師范大學(xué)出版社
例1 如圖1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.
【分析】本題對(duì)∠A1、∠A2、∠B1的大小并沒(méi)有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的3個(gè)角的大小無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的.我們從直觀圖形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要說(shuō)明兩角的和等于第三個(gè)角，通?？梢酝ㄟ^(guò)添加輔助線把較大角分成兩個(gè)較小角，首先使分出的一個(gè)角等于∠A1，這可以通過(guò)添加平行線實(shí)現(xiàn)，再說(shuō)明余下的一個(gè)角等于∠A2即可.
【解答】如圖1，過(guò)B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因?yàn)锳A1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.
【點(diǎn)評(píng)】（1） 當(dāng)已知與未知的轉(zhuǎn)化不明顯時(shí)，常常通過(guò)作輔助線的方法加以解決，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線是解決平行線問(wèn)題時(shí)常用的作輔助線的方法；（2） 從上面的解題過(guò)程可以看出，這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于已知條件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作連接A1、A2之間的折線段，當(dāng)連接A1、A2之間的折線段增加到4條時(shí)，如圖2，仍然有結(jié)果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.
進(jìn)一步可推廣為∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，這時(shí)如圖3，連接A1、An之間的折線段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（當(dāng)然，仍要保持AA1∥BAn） .
【推廣】有些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如果抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問(wèn)題推廣到復(fù)雜的情況，這是一種提升自我思考能力的方法.
此題還可以進(jìn)行如下變化：① AA1∥BA2這個(gè)條件不變，如果點(diǎn)B1向右移動(dòng)到如圖4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關(guān)系呢？② AA1∥BA2這個(gè)條件不變，點(diǎn)B1向上移動(dòng)到如圖5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關(guān)系呢？相信同學(xué)們可自行解答.
例2 在ABC中，高BD和CE所在直線相交于O點(diǎn)，若ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度數(shù).
【分析】因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，又ABC不是直角三角形，所以ABC的形狀應(yīng)分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論.
【解答】（1） 如圖6，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，高BD和CE所在直線相交于三角形內(nèi)的O點(diǎn)，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.
（2） 如圖7，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，高BD和CE所在直線相交于三角形外的O點(diǎn)，此時(shí)∠A與∠O分別是對(duì)頂角∠ACE與∠DCO的余角，由余角的性質(zhì)可知，∠BOC=∠A=60°.
綜上所述，∠BOC的度數(shù)是120°或60°.
【點(diǎn)評(píng)】（1） 解圖形形狀不唯一、幾何圖形位置關(guān)系不確定或與分類概念相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常用到分類討論法；（2） 中線、高、角平分線是三角形中的三條重要線段，從它們所處的位置看，高與中線、角平分線不一樣，中線、角平分線都交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，而高的位置隨著三角形形狀的變化而變化：銳角三角形三條高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形三條高交于直角頂點(diǎn)，鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外一點(diǎn)，今后研究三角形高的問(wèn)題時(shí)都要注意符合題設(shè)條件的圖形的多樣性.
例3 如圖8，將紙片ABC沿著DE折疊壓平，則（ ）.
A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）
C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）
【分析】折疊中含有很豐富的相等的量，因此在折疊的動(dòng)態(tài)變化中，尋找不變關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在此題中，由三角形的內(nèi)角和定理可知，不變關(guān)系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四邊形BCED中，未知的量減少了，利用四邊形的內(nèi)角和是360°建立方程，就能夠得到問(wèn)題的答案.
【解答】由三角形內(nèi)角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.
在四邊形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故選B.
【點(diǎn)評(píng)】（1） 折疊類問(wèn)題是近幾年中考的熱門考題，通常把某個(gè)圖形按給定的條件折疊，通過(guò)折疊前后圖形變換的相互關(guān)系來(lái)命題.折疊類問(wèn)題立意新穎，變幻巧妙，能有效地培養(yǎng)同學(xué)們的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.（2） 此題是用代數(shù)法解幾何計(jì)算問(wèn)題，這種方法的基本思路是：引入未知數(shù)，運(yùn)用圖形性質(zhì)建立方程或不等式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式，因此這種方法也稱為“方程思想”.如圖9，把上題中的三角形紙片改成四邊形紙片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D與∠1、∠2的關(guān)系？請(qǐng)你動(dòng)手試試看.
例4 已知ABC中，三邊長(zhǎng)a、b、c都是整數(shù)且滿足a>b>c，a=10，那么滿足條件的三角形共有多少個(gè)？
【分析】這是一道典型的幾何類計(jì)數(shù)問(wèn)題，如果一個(gè)個(gè)三角形去列舉，不僅麻煩而且容易重復(fù)或遺漏，特別地，當(dāng)a的取值很大時(shí)，列舉根本不可能實(shí)現(xiàn)，因此解決此類問(wèn)題通常需要分類討論，為了不重復(fù)、不遺漏，還可以采用列表法.
解：由三角形的三邊關(guān)系知b+c>a，因?yàn)閎>c，a=10，可知b>5，又因?yàn)閎
因此，滿足條件的三角形共有1+3+5+7=16（個(gè)） .
讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關(guān)系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨(dú)立思考，再與小組同學(xué)交流交流，小組長(zhǎng)做好記錄和總結(jié)。以下是為大家整理的數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例資料，提供參考，希望對(duì)你有所幫助，歡迎你的閱讀。
數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例一
兩條筆直的鐵軌，看成兩條直線，把它們畫(huà)在紙上，它們的位置關(guān)系如同等號(hào)。如果你也來(lái)畫(huà)兩條直線，還會(huì)有什么不同的位置關(guān)系呢?
學(xué)生畫(huà)一畫(huà)。
(二)、分一分，初步感知平行與垂直的特點(diǎn)
1、讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關(guān)系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨(dú)立思考，再與小組同學(xué)交流交流，小組長(zhǎng)做好記錄和總結(jié)。
2、、交流分類情況。
可能出現(xiàn)以下幾種分法：
第一種：分兩類——相交、不相交
第二種：分三類—— 相交、快要相交的，不相交
第三種：分四類—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。
(三)、歸納特點(diǎn)，探究規(guī)律
平行：
1、大家先來(lái)看第一類，這一類的兩條直線的位置有什么特點(diǎn)，想象一下再畫(huà)長(zhǎng)點(diǎn)，會(huì)相交嗎?
2、像這樣的兩條直線我們就叫平行線，誰(shuí)能用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)，什么是平行線?
3、我們打開(kāi)書(shū)56頁(yè)，看看書(shū)中是怎么定義平行線的。(齊讀)
4、在這個(gè)概念中，你想提醒同學(xué)們注意些什么?(“同一平面內(nèi)”，“互相平行”)
5、引導(dǎo)學(xué)生正確表述兩條直線互相平行。
6、介紹用符號(hào)表示平行線的方法。
7、出示課件：判斷是否成平行關(guān)系。
8、再一次出示鐵軌，你還能舉出生活中平行的例子嗎?
垂直：
1、下面我們?cè)賮?lái)看看第二類直線有哪些共同特點(diǎn)?(有交點(diǎn)，都成了四個(gè)角)能不能按照角的大小也把它們分分類?有的四個(gè)角都是直角，有的四個(gè)角不是直角)，你怎么知道他們相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，
2、誰(shuí)知道像這樣兩條直線相交成直角是什么關(guān)系?
3、誰(shuí)能用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)，什么是互相垂直?
4、我們打開(kāi)書(shū)57頁(yè)，看看書(shū)中是怎么定義互相垂直的。(齊讀)
5、在這個(gè)概念中，你想提醒同學(xué)們注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)
6、引導(dǎo)學(xué)生正確表述兩條直線互相垂直。
6、介紹用符號(hào)表示互相垂直的方法。
7、完成題卡：判斷每組中兩條直線的位置關(guān)系，并用符號(hào)表示出平行和垂直,寫(xiě)出讀法。
8、生活中，很多時(shí)候平行和垂直都是同時(shí)存在的，把它們摻雜在下起，同學(xué)們能區(qū)分出來(lái)嗎?
(四)、小結(jié)，梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)
剛才，同學(xué)們?cè)诋?huà)一畫(huà)，分一分、說(shuō)一說(shuō)、找一找等探究活動(dòng)中，知道了在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系可以分成兩大類，相交和不相交。不相交的這一類叫做平行。相交的這一類按照是否成直角也可以分成兩類，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我們的世界變得更加有序和美麗。
(五)、拓展練習(xí)，鞏固知識(shí)
辨析題：1、兩條不相交的直線叫平行線。
2、同一平面內(nèi)的兩條直線不平行就相交。
3、垂線和直角如同孿生兄弟，有垂線的地方就有直角。
4、如圖 + 直線b叫垂線。
(六)、拓展提升
本節(jié)課，我們主要研究了同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行和垂直的關(guān)系，如果再加入一條直線，你還能弄清它們之間的關(guān)系嗎?
出示：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么，這兩條直線之間是什么關(guān)系?
如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么，這兩條直線之間是什么關(guān)系?
(七)聯(lián)系生活實(shí)際，進(jìn)一步提升平行與垂直的應(yīng)用價(jià)值
出示圖片：(鉛錘測(cè)平行，水平儀定平行垂直，測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī))
引導(dǎo)學(xué)生了解平行和垂直在生活中的應(yīng)用，引發(fā)學(xué)生的深度思考，為下節(jié)課做滲透。
板書(shū)： 平行與垂直
不相交—平行 (∥ )( = )( )記作： a//b讀作：a平行于b
同一平面內(nèi)
相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 記作：a⊥b讀作：a垂直于b
數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例二
知識(shí)與技能目標(biāo)：
1、使學(xué)生初步理解垂直與平行是同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系。
2、學(xué)生結(jié)合生活情境，通過(guò)自主探究活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)平行線、垂線。
過(guò)程與方法目標(biāo)：
學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中理解垂直與平行是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及空間想象能力，合作探究能力。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：
1、 通過(guò)討論交流，使學(xué)生獨(dú)立思考能力與合作精神得到和諧發(fā)展。
2、 學(xué)生在具體的情境中感受“垂直與平行”來(lái)源于生活，在知識(shí)形成過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。
【教學(xué)重點(diǎn)】
正確理解“同一個(gè)平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行線” “垂線”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。
【教學(xué)難點(diǎn)】
正確判斷兩條直線之間的位置關(guān)系(尤其是對(duì)看似不相交而實(shí)際上是相交現(xiàn)象的理解)和對(duì)“同一平面”的正確理解。
【教學(xué)用具】
白紙、尺子、三角板、水彩筆一支、小棒、多媒體
教學(xué)過(guò)程：
一、畫(huà)圖感知、研究?jī)蓷l直線在同一平面內(nèi)的位置關(guān)系。
1、 今天這節(jié)課老師請(qǐng)來(lái)了一個(gè)老朋友，他是一條直線，那么直線有什么特點(diǎn)呢? (沒(méi)有端點(diǎn)，可以向兩邊無(wú)限延伸)
師：直線就像孫悟空的…?
生：金箍棒。
2、想象活動(dòng)(想象紙面上兩條直線的位置關(guān)系)
師：老師和同學(xué)們都有同樣的一張紙,現(xiàn)在請(qǐng)大家拿出來(lái)平放在桌上摸一摸這紙，然后談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)。
生：這張紙很薄。
生：這張紙的表面是平平的。
師：也就是說(shuō)我們手中的這張紙的面是一個(gè)平面。 (學(xué)生活動(dòng)感知紙面是一個(gè)平面。)
師：同學(xué)們我們現(xiàn)在來(lái)想象一下，如果把這個(gè)面無(wú)限擴(kuò)大，閉上眼睛想象一下，它是什么樣子?
生：很大很大，越來(lái)越大。 (學(xué)生閉上眼睛想象)
師：如果在這個(gè)無(wú)限大的平面上，出現(xiàn)了一條直線，又出現(xiàn)一條直線，現(xiàn)在請(qǐng)你想一想這兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的?會(huì)有哪幾種不同的情況呢?(學(xué)生想象)
3、在紙上畫(huà)出想象中的兩條直線。 每個(gè)同學(xué)手中都有這樣的白紙，現(xiàn)在咱們就把它當(dāng)成一個(gè)無(wú)限大的平面，把你剛才的想法畫(huà)下來(lái)。注意，一張白紙上只畫(huà)一種情況。開(kāi)始吧。(學(xué)生試畫(huà)，教師巡視)
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的觀察與想象，感知并感受無(wú)限大的平面。為下一步進(jìn)行兩條直線間位置關(guān)系的想象提供一個(gè)可操作的平臺(tái)。想象平面上出現(xiàn)兩條直線，不是讓學(xué)生直接想象兩條直線，而是一條一條的出現(xiàn)，有利于學(xué)生想象出更多的兩條直線間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力。一張紙上只畫(huà)一種情況，目的提高學(xué)生分類時(shí)的可操作性。
二、觀察分類，了解平行與垂直的特征。
(一)展示各種情況。
1、請(qǐng)你的同桌欣賞一下你的作品。
2、將你自己的作品展示給你所在的小組同學(xué)，并選出幾張有代表性的作品(小組交流)。 師：哪個(gè)小組愿意上來(lái)把你們的想法展示給大家看看? (小組展示，將畫(huà)好的圖貼到黑板上)
師：仔細(xì)觀察，你們畫(huà)的跟他們一樣嗎?如果不一樣，可以上來(lái)補(bǔ)充!(如果學(xué)生沒(méi)有把所有的情況都想到教師給予補(bǔ)充) 教師給學(xué)生的作品進(jìn)行編號(hào)。
師預(yù)設(shè)有以幾種兩條直線的位置關(guān)系：
設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生自己確定了想法之后，再在小組中交流。充分利用學(xué)生自己的學(xué)習(xí)能力，然后選出有代表性的情況，展示在黑板上，其他小組觀察后，補(bǔ)充不同的情況，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)就經(jīng)歷了一個(gè)從個(gè)人到小組再到全班的逐層遞進(jìn)的過(guò)程。使在同一平面內(nèi)兩條直線間位置關(guān)系的各種情況，可能地通過(guò)學(xué)生的思考、想象、動(dòng)手操作展現(xiàn)出來(lái)，為分類提供材料。
三、師生共同探究 揭示平行與垂直的概念
(一)揭示平行的概念
1、那剩下的這組直線相交了嗎?(沒(méi)有)想象一下，畫(huà)長(zhǎng)點(diǎn)，相交了嗎?(沒(méi)有)再長(zhǎng)一點(diǎn)，相交了嗎?(沒(méi)有)無(wú)限長(zhǎng)，會(huì)不會(huì)相交?(不會(huì))(邊提問(wèn)邊用課件演示)
2、那么，像這樣在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線畫(huà)得再長(zhǎng)再長(zhǎng)也不會(huì)相交，你們知道這種在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?我們就說(shuō)這兩條直線是平行線，這兩條直線互相平行。(板書(shū)：互相平行)(學(xué)生試說(shuō)不完整的概念)
3、小結(jié)： 象這樣在同一平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說(shuō)這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學(xué)生齊讀概念)
4、你們知道為什么要加“互相”嗎?(學(xué)生回答)
教師用誰(shuí)是誰(shuí)的同桌來(lái)說(shuō)明平行線間的關(guān)系。 課件演示，老師強(qiáng)調(diào)：平行是兩條直線之間的位置關(guān)系，可以說(shuō)直線L1與L2互相平行，或者說(shuō)L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能說(shuō)L1是平行線?
5、你覺(jué)得在這句話中，還應(yīng)注意哪些詞? 學(xué)生回答(同一平面、不相交)
師：“同一平面”是什么意思?(學(xué)生討論)學(xué)生發(fā)言后師舉例幫助學(xué)生理解，強(qiáng)調(diào)：判斷兩條直線是否是平行線時(shí)“在同一個(gè)平面內(nèi)”和“不相交”這兩個(gè)條件缺一不可。指出如果不在同一平面的情況，以教室的幾個(gè)墻面為例。(假如在教室前面的墻面上畫(huà)一條直線，然后在教室的側(cè)面畫(huà)一條直線，它們不相交但它們平行嗎?)
6、辨析練習(xí)：課件出示，請(qǐng)學(xué)生判斷并說(shuō)出原因。
(二)、揭示垂直的概念
1、咱們?cè)賮?lái)看看兩條直線相交的情況。你們發(fā)現(xiàn)了什么?(都形成了四個(gè)角)
2、你認(rèn)為在這些相交的情況中哪種最特殊?(相交形成了四個(gè)直角)
3、兩條直線相交成直角，而其他情況相交形成的都不是直角，有的是銳角，有的是鈍角。
4、你是怎么知道他們相交后形成了四個(gè)直角呢?(學(xué)生驗(yàn)證：三角板、量角器)(板書(shū)：成直角)
5、你們知道在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?誰(shuí)能用自己的話說(shuō)說(shuō)。(學(xué)生試說(shuō)) 課件出示互相垂直的概念，讓學(xué)生齊讀。
6、強(qiáng)調(diào)其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。
出示直線a1和a2互相垂直的情況，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)它們之間的關(guān)系。 即：直線a1是a2的垂線，或者說(shuō)a1垂直于a2， 也可以說(shuō)a2是a1的垂線，或者說(shuō)a2垂直于a1。
7、強(qiáng)調(diào)看兩條直線是否互相垂直的關(guān)鍵是看它們相交所成的角是否直角，與兩條直線放置的方向無(wú)關(guān)。
四、 練習(xí)鞏固，深化垂直與平行的理解。
1、你能在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上找出平行或垂直的現(xiàn)象嗎?(課件出示主題圖)
2、生活中我們常常遇到垂直與平行的現(xiàn)象，你能舉幾個(gè)例子嗎?(學(xué)生舉例后教師適當(dāng)添加學(xué)生沒(méi)想到的例子。)
3、小結(jié)：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了同一平面內(nèi)兩條直線間有兩種關(guān)系一種是相交，一種是不相交。同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說(shuō)這兩條直線互相平行;如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。
4、揭示課題。(板書(shū)課題)
五、拓展延伸，發(fā)展空間觀念。
下面咱們一起來(lái)做個(gè)游戲，(出示小棒)每根小棒代表一條直線。教師在電子白板上畫(huà)圖，學(xué)生用小棒在自己的課桌上擺放小棒。
(1)先擺一根3號(hào)的小棒，再擺一根1號(hào)小棒，使它與3號(hào)小棒平行。再擺一根2號(hào)小棒，使它也跟3號(hào)小棒平行。仔細(xì)觀察1號(hào)和2號(hào)小棒，說(shuō)說(shuō)你們發(fā)現(xiàn)了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?想象一下，有多少條直線跟3號(hào)小棒平行?
(2)先擺一根3號(hào)小棒，再擺一根1號(hào)小棒，使它與3號(hào)小棒垂直。再擺一根2號(hào)小棒，使它也跟3號(hào)小棒垂直。想象一下，有多少條直線跟3號(hào)小棒垂直?仔細(xì)觀察1號(hào)和2號(hào)小棒，說(shuō)說(shuō)你們發(fā)現(xiàn)了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?
六、 總結(jié):
師：這節(jié)課你有什么收獲?
學(xué)生談自己的收獲。結(jié)合學(xué)生所談收獲教師總結(jié)全課。
師：同學(xué)們你們都滿載著收獲，我們的生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)能使我們生活變得更加有序，更加美好，讓我們都做有心人吧!去感受數(shù)學(xué)的美，去感受生活的美。
七、 作業(yè)：
1、回家后繼續(xù)尋找生活中垂直與平行的現(xiàn)象，講給你的父母聽(tīng)，并說(shuō)一說(shuō)它們有什么作用?
2、動(dòng)手折一折：(!)、用一張白紙折出兩條互相垂直的折痕線。
(2)、用一張白紙折出兩條互相平行的平行線。
八、板書(shū)設(shè)計(jì)
垂直與平行
不成直角
相交
同一平面內(nèi)的兩條直線 成直角 互相垂直
不相交 互相平行
數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例三
[教學(xué)目標(biāo)]
1、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、討論、感知生活中的平行與垂直的現(xiàn)象。
2、幫助學(xué)生初步理解平行與垂直是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，初步認(rèn)識(shí)平行線和垂線。
3.培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及空間想象能力，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立合作探究的學(xué)習(xí)意識(shí)。
[教學(xué)重點(diǎn)]
正確理解“互相平行”“互相垂直”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。
[教學(xué)難點(diǎn)]理解“平行與垂直”這兩種關(guān)系的界定前提是“同一平面內(nèi)”。
[教具、學(xué)具準(zhǔn)備]
課件，水彩筆，尺子，三角板，長(zhǎng)方形紙等。
[教學(xué)過(guò)程]
一、談話導(dǎo)入。
師：同學(xué)們，今天老師請(qǐng)來(lái)了一位老朋友，你們想知道它是誰(shuí)嗎?(課件出示一條無(wú)限延長(zhǎng)的直線)誰(shuí)來(lái)介紹一下這位朋友?
師：直線就像孫悟空的…?
生：金箍棒。
二、探索體驗(yàn)，經(jīng)歷過(guò)程
(一)畫(huà)圖感知，確定研究對(duì)象。
過(guò)渡：今天我們繼續(xù)研究有關(guān)直線的知識(shí)，就是兩條直線在同一平面內(nèi)的位置關(guān)系。
板書(shū)：兩條直線
1、想象活動(dòng)，想象紙面上兩條直線的位置關(guān)系。
師：想一想，如果我們?cè)谶@張長(zhǎng)方形紙上畫(huà)兩條直線，這兩條直線會(huì)有怎么樣的位置關(guān)系呢?(學(xué)生想象)
2、動(dòng)手操作。
(學(xué)生試畫(huà)，教師巡視)
3、收集展示。
4、觀察分類，了解平行與垂直的特征。
師：同學(xué)們的想象力可真豐富，畫(huà)出這么多種情況。根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系你能給它們分分類嗎?
5、匯報(bào)分類情況。
在分類過(guò)程中通過(guò)課件展示重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生弄清看似兩條直線不相交而事實(shí)上是相交的情況。(課件展示不相交的兩條直線延長(zhǎng)后的情況，完善分類標(biāo)準(zhǔn)。)
教師根據(jù)學(xué)生的分類板書(shū)：相交 不相交
(二)師生共同探究，揭示平行與垂直的概念
1、揭示互相平行的概念。
(1)通過(guò)交流揭示互相平行的概念。
在同一個(gè)平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說(shuō)這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學(xué)生齊讀概念，互說(shuō)概念)
(2)練習(xí)。(辨析練習(xí)：課件出示，請(qǐng)學(xué)生判斷并說(shuō)出原因。)
通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生理解“同一個(gè)平面”、“不相交”等的意思。
(3)小結(jié)
2、通過(guò)交流揭示互相垂直的概念
師：我們?cè)賮?lái)看看兩條直線相交的情況。
(1)觀察。兩條直線相交成的四個(gè)角是什么角?
(2)匯報(bào)：兩條直線有的相交成直角，有的是銳角，有的是鈍角。
成銳角、鈍角
板書(shū)：相交
成直角 垂直
(3)引出互相垂直的概念，你們知道在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?
(4)課件出示互相垂直的的概念。(齊讀概念，互說(shuō)概念)
(5)練習(xí)。(課件出示)
(6)自學(xué)互相平行、互相垂直的表示方法。
a與b互相平行，記作a∥b ，讀作 a平行于b
a與b互相垂直，記作a⊥b ，讀作 a垂直于b
(三)欣賞生活中的平行和垂直現(xiàn)象。
三、鞏固練習(xí)
四、總結(jié)全課
五、作業(yè)
板書(shū)：
平行與垂直
不相交 互相平行
兩條直線的位置關(guān)系 成銳角、鈍角
(同一平面內(nèi) ) 相交
關(guān)鍵詞：新課程；溝通；自主探究；合作學(xué)習(xí)
新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程。課堂教學(xué)作為教師活動(dòng)的主陣地，是學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)的主渠道，也是學(xué)生獲得知識(shí)與技能的主要途徑。怎樣才能較好地提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量?筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為：關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)師生之間和生生之間的良好溝通，讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命的活力，是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在。
一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。增進(jìn)師生和生生之間的多向溝通
問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是思維的起點(diǎn)。創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主探索的問(wèn)題情境，是學(xué)生課堂溝通探究的首要條件。教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)際，精心設(shè)計(jì)能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲的問(wèn)題，使學(xué)生積極思維與探究。
例如，引入“探索三角形全等的條件(一)”時(shí)，教師設(shè)計(jì)問(wèn)題情境：為了創(chuàng)建文明和諧的校園環(huán)境，學(xué)校決定在進(jìn)行校園綠化時(shí)，在道路兩旁增設(shè)兩個(gè)全等的三角形草坪。施工單位已經(jīng)完工，校方想驗(yàn)證這兩個(gè)草坪是否符合要求，你認(rèn)為該如何檢驗(yàn)?zāi)?談?wù)勀愕南敕?。?wèn)題一提出，立刻引起了學(xué)生的討論、猜測(cè)，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的興趣，這就激起了學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和當(dāng)前研究課題的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生從不同角度探索解決問(wèn)題的辦法。
問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)可從實(shí)際生活中取材，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，實(shí)際問(wèn)題與學(xué)生生活密不可分，學(xué)生面對(duì)這些問(wèn)題往往躍躍欲試，想學(xué)以致用；問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)也可以從趣味問(wèn)題、數(shù)學(xué)家的故事、典故等引出，這樣可加強(qiáng)對(duì)學(xué)生科學(xué)精神的培養(yǎng)，激勵(lì)學(xué)生堅(jiān)持真理，勇于創(chuàng)新；問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)還可從鞏固舊知識(shí)上引發(fā)新問(wèn)題，用知識(shí)的聯(lián)系來(lái)啟發(fā)思維，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想……問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)應(yīng)注意從學(xué)生生活實(shí)際出發(fā)，與教學(xué)的內(nèi)容緊密聯(lián)系，并且還應(yīng)有適當(dāng)?shù)碾y度，否則就不能激發(fā)學(xué)生溝通的興趣。
二、營(yíng)造動(dòng)手實(shí)踐、自主探究與合作交流的氛圍。為學(xué)生溝通創(chuàng)造有利條件
新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)、技能、數(shù)學(xué)思想與方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。而且事實(shí)上學(xué)生通過(guò)在做一做中探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律并與同伴溝通交流，達(dá)到學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)共享，長(zhǎng)期堅(jiān)持可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)與交流能力，在交流中鍛煉自己，把思想表達(dá)清楚，并聽(tīng)懂、理解同伴的描述，提高表達(dá)能力和理解接受能力。
例如在七年級(jí)上冊(cè)的第三章“字母能表示什么”中，先給出圖形。
(1)按照?qǐng)D1所給的方式，搭1個(gè)正方形需要幾根火柴棒?搭2個(gè)和3個(gè)正方形各需幾根?
(2)搭10個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒?你是怎樣得到答案的?
(4)如果用x表示所搭正方形的個(gè)數(shù)，那么搭x個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒?
讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手搭正方形，通過(guò)親身操作與思考找出正確答案，讓每個(gè)學(xué)生都有成功的體驗(yàn)。同時(shí)，在經(jīng)歷探索正方形的個(gè)數(shù)與火柴棒的根數(shù)之間的規(guī)律的過(guò)程中，通過(guò)小組合作交流使學(xué)生運(yùn)用自己的語(yǔ)言表達(dá)自己的方法，讓學(xué)生體會(huì)探索一般規(guī)律的必要性，最終形成符號(hào)表達(dá)式，形成初步的符號(hào)感。在這一過(guò)程中，每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)發(fā)表自己的觀點(diǎn)和看法，無(wú)論這看法正確與否。其次在設(shè)計(jì)小組合作學(xué)習(xí)的步驟時(shí)，應(yīng)由易到難，讓不同層次的學(xué)生都有所思、有所得。
三、構(gòu)建以學(xué)生為中心的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在溝通中發(fā)展
學(xué)生是課堂的主體，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。數(shù)學(xué)新課程提倡在課堂上生與生、師與生之間溝通互動(dòng)、共同發(fā)展。教師的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程大致是：(1)精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，完善課程設(shè)計(jì)，積累教育素材，提高教育水平；(2)提供背景材料，引導(dǎo)、布置探索內(nèi)容，參與討論；(3)協(xié)調(diào)學(xué)生之間的交流；(4)完善評(píng)價(jià)體系和實(shí)施評(píng)價(jià)。學(xué)生應(yīng)進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。在這些過(guò)程中，數(shù)學(xué)教育從“文本教學(xué)”回歸到“人本教育”，教師不再是真理的化身、絕對(duì)的權(quán)威，而是學(xué)生的朋友和伙伴，是智慧的指路人。教師主動(dòng)走進(jìn)學(xué)生的心靈，一方面要“尊重”、“保護(hù)”、“關(guān)愛(ài)”學(xué)生，另一方面又要“喚醒”、“激勵(lì)”、“發(fā)展”學(xué)生。教師要像對(duì)待荷葉上的露珠一樣，小心翼翼地保護(hù)學(xué)生幼小的心靈、智慧的火花。
在北師大版九年級(jí)上冊(cè)“池塘里有多少條魚(yú)”的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)：
問(wèn)題1：一個(gè)口袋里裝有8顆黑棋，20顆白棋，任意摸出1顆，摸到黑棋的概率有多大?若任意摸出l0顆，你能推斷這l0顆中可能有幾顆黑棋嗎?為什么?(教師演示后，學(xué)生順利作答。)
問(wèn)題2：一個(gè)裝有若干圍棋子的口袋里，只知道有8顆黑棋，那么有沒(méi)有辦法估計(jì)口袋里的白棋數(shù)?(關(guān)鍵條件：其中已知有8顆黑棋，其余均為白棋。學(xué)生分組討論。)
師提示：根據(jù)規(guī)則，棋子不能全部摸出來(lái)數(shù)，也就是說(shuō)，棋子可以摸一顆后放回，也可以摸一部分后放回(教師可以做一些動(dòng)作演示)。
(由學(xué)生分組討論，確定一名中心發(fā)言人交流。)
經(jīng)過(guò)各組的討論總共有三種方法：
生1：可以從口袋中每次任意摸出一顆棋子，記下顏色后放回，多摸幾次后，以黑白次數(shù)比估計(jì)全體黑棋與全體白棋的數(shù)目比，從而推斷口袋中的白棋數(shù)目。
生2：可以從口袋中每次任意摸出一把棋子，記下黑白數(shù)目比后放回，以黑棋或白棋出現(xiàn)的數(shù)目與總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比來(lái)估計(jì)全體黑棋或白棋與總棋子的數(shù)目比，從而推斷口袋中的白棋數(shù)目。
生3：取8顆棋，稱一下其重量，放回后，再稱一下棋的總重量，根據(jù)其比例關(guān)系就可估計(jì)出白棋的數(shù)量。師：三個(gè)組的同學(xué)的回答都非常精彩，請(qǐng)大家思考一下，這三組同學(xué)分別用了什么樣的思想方法來(lái)解決問(wèn)題。
把學(xué)生的結(jié)論上升到理論高度，讓學(xué)生知道方法正確與否必須有理論的支持。最后大家得出結(jié)論：生l組的方法是利用頻率來(lái)估計(jì)概率的方法；而生2組是利用抽樣，即通過(guò)抽取樣本進(jìn)行分析來(lái)估計(jì)全體的方法；生3組是對(duì)重量估計(jì)也屬于抽樣的方法，該方法在物理和化學(xué)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用比較廣泛，在摸棋子實(shí)驗(yàn)中可行，但換作其他重量不等的實(shí)物時(shí)，該方法有一定的局限性，不屬于本節(jié)課研究的方法，但對(duì)學(xué)生能融會(huì)貫通各科知識(shí)要加以肯定。
師：為了鼓勵(lì)他們，我們就用他們的名字命名這兩種方案，分別稱為“生1法”和“生2法”，大家說(shuō)好不好?
生齊答：好。
師：那大家想不想分別用這兩種方法試驗(yàn)試驗(yàn)?
生：(躍躍欲試)
師：那好。首先我們?cè)囋嚒吧?法”(實(shí)驗(yàn)一)再試試“生2法”(實(shí)驗(yàn)-)
因此，要把學(xué)生作為課堂學(xué)習(xí)的主體，把理解學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程的基本規(guī)律作為教學(xué)策略的基礎(chǔ)，把師生的和諧溝通作為引領(lǐng)和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的基本過(guò)程，讓學(xué)生在溝通中發(fā)展。
四、合理調(diào)控活動(dòng)過(guò)程。讓學(xué)生在溝通中提高
合理調(diào)控活動(dòng)過(guò)程，對(duì)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)至關(guān)重要。例如在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上“平行”一課時(shí)，教師在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景引入后引導(dǎo)學(xué)生討論理解平行的定義，可以進(jìn)行如下設(shè)計(jì)和課堂調(diào)控：
生：在同一個(gè)平面內(nèi)永不相交的直線叫做平行線(其他學(xué)生補(bǔ)充)
師：“不相交的兩條直線叫做平行線”，這一句話是否正確?(或者問(wèn)：去掉“在同一平面內(nèi)”是否可以?)引導(dǎo)學(xué)生思考，小組合作交流。
生：小組討論，并回答，用兩只筆演示直線既不相交也不平行的圖形。
最后教師強(qiáng)調(diào)說(shuō)明“在同一平面內(nèi)”，因?yàn)樵诳臻g里存在既不平行也不相交的直線，同時(shí)強(qiáng)調(diào)平行線定義包含的三層含義：(1)“在同一平面內(nèi)”是前提條件；(2)“不相交”就是說(shuō)兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)；
(3)平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或兩條線段。
教師板書(shū)：“平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。”
生：(體會(huì)記憶)
師：在空間里存在既不相交也不平行的兩條直線——異面直線。
反饋調(diào)控預(yù)設(shè)：若反饋出學(xué)生對(duì)定義中“在同一平面內(nèi)”的理解仍不夠透徹，可使用多媒體直觀展示正方體、立交橋等實(shí)物圖形引導(dǎo)學(xué)生理解空間里既不相交也不平行的直線的存在方式。
師生總結(jié)：在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系是：相交或平行。
反饋調(diào)控預(yù)設(shè)：如有學(xué)生提出重合或垂直的位置關(guān)系，教師應(yīng)及時(shí)指正。并舉例說(shuō)明在同一平面內(nèi)，兩直線重合應(yīng)看作是一條直線；兩直線垂直是兩直線相交的特殊情況。:
教師的指導(dǎo)與調(diào)控指的是數(shù)學(xué)課堂上的師生互動(dòng)。
關(guān)鍵詞：一題多解 研究性學(xué)習(xí) 創(chuàng)新思維能力
美國(guó)心理學(xué)家吉爾福特說(shuō)：“人的創(chuàng)造力主要依靠發(fā)散思維，它是創(chuàng)造思維的主要成分?！彼季S是智力的核心，思維能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)和未來(lái)的發(fā)展均有重要意義。而研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)正是解放學(xué)生思想，讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)中研究、在活動(dòng)中探索、在研究和探索中獲得知識(shí)。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要讓學(xué)生獲得新的知識(shí)，更重要的是如何利用數(shù)學(xué)的學(xué)科優(yōu)勢(shì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。
現(xiàn)以一道初中數(shù)學(xué)幾何題的教學(xué)談?wù)勓芯啃詫W(xué)習(xí)活動(dòng)中應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力：
問(wèn)題：如圖（1），已知AD是ΔABC的中線，E是AD中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交AB于F點(diǎn)，求AF∶AB的值。
分析：對(duì)于這類問(wèn)題，一般是采用相似三角形法，得用三角形的相似比獲得目標(biāo)解。請(qǐng)同學(xué)們充分發(fā)揮想象力，應(yīng)該如何構(gòu)造相似三角形呢？
生1：（利用中點(diǎn)）過(guò)D點(diǎn)作AB的平行線。
生2：（利用中點(diǎn)）過(guò)D點(diǎn)作AC的平行線也可以證明。
教師：那么我們就請(qǐng)這兩位同學(xué)上黑板書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程好嗎？
大家回答：好！
生1、生2寫(xiě)證明過(guò)程。
教師：利用中點(diǎn)D是不是只有以上兩種證法了呢？
學(xué)生思考……
生3：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使ED=GD，連接BG，如圖所示，在ΔBGD和ΔCED中：
BD=CD
∠BDG=∠CDE
GD=ED
ΔBGD≌ΔCED；∠GBD=∠ECD；BG∥CE，即EF∥BG；AF∶AB=AE∶AG=1∶3。
教師：是不是還有其他的證明方法呢？
生4：過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交AB于點(diǎn)G也可以證明。
教師：請(qǐng)同學(xué)們思考生6的想法，看是不是能達(dá)到目的？
生5自動(dòng)走上黑板書(shū)寫(xiě)道：
過(guò)E點(diǎn)作GE∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖所示，得ΔGEF∽ΔBCF。點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，EG是ΔABD的中位線，即AG=BG；又AD是ΔABC的邊BC上的中線，GE∶BC=GF∶BF=1∶4。設(shè)GF=x，則BF=4x；而B(niǎo)G=BF-GF=3x，AF=AG-FG=2x，AF∶AB=（2x+2x+x+3x）=1∶3。
生6：這個(gè)證明太過(guò)于復(fù)雜了，我還有比這個(gè)簡(jiǎn)單的證明。
教師：請(qǐng)生7說(shuō)說(shuō)你的證明方法。
生7：老師，我是這樣想的，延長(zhǎng)CF至點(diǎn)G，使EG=EC，連接AG，如圖所示，在ΔDCE和ΔAGE中：
EA=ED
∠AEG=∠DECΔDCE≌ΔAGEAG=DC，∠AGE=∠DCE
EG=EC
AG∥BC。又AD是BC邊上的中線，BD=CD=1/2 BC，AG=1/2BC；而ΔAGF∽ΔBCF，AF∶BF=AG∶BC=1∶2，AF∶AB=1∶3。
教師：同學(xué)們看，生7的證明是不是明顯要比生6的證明簡(jiǎn)單些？（稍停片刻）是不是還有其他的證明方法呢？
……
教師：回顧本問(wèn)題中的已知條件“點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，AD是AB邊上的中線”，你會(huì)否想到實(shí)際就是“AE∶DE=1∶1，AD∶DC=1∶1”呢？
當(dāng)然，經(jīng)過(guò)這樣一點(diǎn)化，同學(xué)們都是容易理解的。教師緊接著引導(dǎo)：（1）如果把條件改為“AE∶DE=BD∶DC=1∶n（n是正實(shí)數(shù)）”，結(jié)果又什么樣呢？（2）如果又把條件改為“AE∶DE=BD∶DC=m∶1（m是正實(shí)數(shù)）”呢？（3）如果把條件升級(jí)為“AE∶DE=BD∶DC=m∶n（m、n都是正實(shí)數(shù)）”，其結(jié)果又會(huì)怎么樣呢？
