發(fā)布時(shí)間：2023-06-22 09:32:08
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的函數(shù)最值的應(yīng)用樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
一、函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[-1，3.2]上的最大值和最小值的動(dòng)態(tài)演示
1.利用幾何畫(huà)板畫(huà)出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制好A點(diǎn)（-1，0）和B點(diǎn)（3.2，0），即區(qū)間[-1，3.2].在線段AB上構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)C，度量出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記為x，再計(jì)算出f（x），繪制好D（x，f（x））；選擇C、D【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的圖像.
2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡(jiǎn)潔.過(guò)D點(diǎn)作y軸的垂線段交y軸于E點(diǎn).C點(diǎn)在線段AB上移動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)與E點(diǎn)的縱坐標(biāo)一樣.通過(guò)E點(diǎn)的值的變化可以清晰地反映函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[-1，3.2]上的最大值和最小值.
3.選擇點(diǎn)E【編輯】|【操作類(lèi)按鈕】|【動(dòng)畫(huà)】，制作好按鈕.只要按就可以讓F點(diǎn)在圖像上運(yùn)動(dòng)起來(lái)，觀察出何時(shí)取最大值和最小值，最后將E、F的標(biāo)簽改為x、f（x），如圖1.
圖1
二、函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[t，t+2]上的最大值和最小值的動(dòng)態(tài)演示
1.利用幾何畫(huà)板畫(huà)出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制一點(diǎn)A，度量A的橫坐標(biāo)，記為t，計(jì)算t+2；繪制點(diǎn)B（t+2，0），構(gòu)造線段AB，在線段AB取一點(diǎn)P，度量其橫坐標(biāo)，記為x，計(jì)算f（x），繪制點(diǎn)M（x，f（x））；選擇P、M【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像.
2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡(jiǎn)潔.作出函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線段，作出線段PM，再過(guò)M作y軸的垂線段（虛線），最后將A、B、P、M的標(biāo)簽改為t，t+2，x，f（x），如圖2.
圖2
3.拖動(dòng)點(diǎn)t讓函數(shù)f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像動(dòng)起來(lái).觀察函數(shù)在區(qū)間[t，t+2]的最大值和最小值，并從中總結(jié)出需要的結(jié)論.
4.當(dāng)t≤-1時(shí)，函數(shù)的最大值為f（t），最小值為f（t+2）；當(dāng)-1
三、函數(shù)f（x）=x2-2tx+2在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值的動(dòng)態(tài)演示
1.在x軸上構(gòu)造一點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)構(gòu)造x軸的垂線，再在垂線上構(gòu)造一點(diǎn)B，度量其縱坐標(biāo)，記為t，并將B點(diǎn)標(biāo)簽改為t.
2.繪制函數(shù)f（x）=x2-2tx+2圖像；繪制點(diǎn)C（-1，0）、D（1，0），構(gòu)造線段CD，在線段CD上取一點(diǎn)E，度量其橫坐標(biāo)，記為x，計(jì)算f（x），繪制點(diǎn)F（x，f（x））；選擇E、F【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的圖像.
3.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡(jiǎn)潔.作出對(duì)稱(chēng)軸，并作出線段EF，再過(guò)F作y軸的垂線段（虛線）.將點(diǎn)E、F的標(biāo)簽改為x，f（x）.
編者按：最值問(wèn)題遍及高中數(shù)學(xué)的所有知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，是高考的必考內(nèi)容.同時(shí)，最值問(wèn)題可以將各種知識(shí)作為背景來(lái)進(jìn)行考查，形式多樣，不容易被考生所掌握.如果考生從最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型、求解策略以及解答時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)三個(gè)角度來(lái)備考并加以掌握，其實(shí)最值問(wèn)題也沒(méi)想象中那么難.
近幾年高考中的最值問(wèn)題，在考查內(nèi)容上，涉及的知識(shí)點(diǎn)廣泛，如求函數(shù)的值域，求數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，求數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題中有關(guān)用料最省、成本最低、利潤(rùn)最大等問(wèn)題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數(shù)的性質(zhì)法、數(shù)形結(jié)合法等.
1.二次函數(shù)的最值
求解二次函數(shù)的最值一般是先配方，再借助二次函數(shù)的圖像解答.數(shù)學(xué)中的很多最值問(wèn)題最后常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.
例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為
難度系數(shù) 0.70
解 選C.
小結(jié) 二次函數(shù)的最值問(wèn)題是其他很多最值問(wèn)題（如三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、應(yīng)用性最值問(wèn)題）的基礎(chǔ).最值問(wèn)題要特別強(qiáng)調(diào)“定義域優(yōu)先”的原則，本題實(shí)質(zhì)上是求給定區(qū)間內(nèi)的二次函數(shù)的值域問(wèn)題.
2.導(dǎo)數(shù)法求最值
導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)最值的求解開(kāi)辟了一條新路，我們通常用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值要比用初等方法簡(jiǎn)便得多，因此導(dǎo)數(shù)法求最值也是一種不可忽視的方法.
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，求的最大值與最小值的步驟如下：
①求函數(shù)在內(nèi)的極值；
②將函數(shù)的各極值與， 進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）設(shè)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.
難度系數(shù) 0.60
解 （1）解答過(guò)程省略.
（2）令，可得兩根所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區(qū)間上的最大值為
小結(jié) 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí).導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.應(yīng)用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點(diǎn)A，B ，l2與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點(diǎn)C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a，b.當(dāng)m 變化時(shí)，的最小值為
難度系數(shù) 0.55
解 由題意得選B.
小結(jié) 本題除了考查考生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時(shí)應(yīng)注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進(jìn)行求解.
4.輔助角型三角函數(shù)最值
求函數(shù)y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉(zhuǎn)化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數(shù)的有界性可求.
例4 （2011年高考新課標(biāo)理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .
難度系數(shù) 0.65
解 最大值為2
小結(jié) 本題考查正弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)和公式的應(yīng)用，熟練運(yùn)用化一公式并利用函數(shù)的有界性處理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.
不等式的恒成立問(wèn)題
不等式的恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數(shù)的最小值為0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的有成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；
（Ⅲ）證明難度系數(shù) 0.50
解 （Ⅰ）據(jù)題意可知函數(shù) 的定義域?yàn)橛僧?dāng)x變化時(shí)的變化情況如下表：
因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合題意.當(dāng)時(shí)，令，即，于是
令，得
①當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減.從而對(duì)任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.
②當(dāng)時(shí)，對(duì)于，故在上單調(diào)遞增.因此，當(dāng)取時(shí)，，即不成立.故不合題意.
綜上可知，k的最小值為.
（Ⅲ）證明過(guò)程省略.
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；多角度；區(qū)間
二次函數(shù)求最值類(lèi)的問(wèn)題千變?nèi)f化，然而只要掌握一定的技巧，學(xué)會(huì)多角度分析，定能找到解題思路，以不變應(yīng)萬(wàn)變，順利解決難題。本文以二次函數(shù)求最值問(wèn)題的題型為基礎(chǔ)，進(jìn)行了解題模式的探討。
一、確定區(qū)間，結(jié)合圖象性質(zhì)
數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力武器，在解決二次函數(shù)求最值的問(wèn)題中也不例外，通過(guò)結(jié)合圖象性質(zhì)，快速準(zhǔn)確地確定區(qū)間，開(kāi)辟出解題思路。
1.定軸定區(qū)間，直接判斷
當(dāng)二次函數(shù)所給的函數(shù)區(qū)間固定，對(duì)稱(chēng)軸固定時(shí)，我們可以通過(guò)做出函數(shù)圖形，清晰直觀地判斷和計(jì)算出函數(shù)的最值。這類(lèi)題型比較簡(jiǎn)單，所以我在教學(xué)中，主要教會(huì)大家準(zhǔn)確地做出函數(shù)圖形，從而解決問(wèn)題。
比如，對(duì)于定軸定區(qū)間函數(shù)求最值問(wèn)題：求函數(shù)y=-x2+4x-3在區(qū)間[1，4]的最大值及最小值。首先我們分析二次函數(shù)的表達(dá)式，二次項(xiàng)系數(shù)小于零，說(shuō)明函數(shù)圖象開(kāi)口向下，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x==2。然后我們根據(jù)區(qū)間范圍，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口方向可以做出該二次函數(shù)的草圖。通過(guò)觀察這一函數(shù)的圖象，我們可以得出二次函數(shù)的最大值應(yīng)在對(duì)稱(chēng)軸處取得，二次函數(shù)的最小值在端點(diǎn)x=4處取得，通過(guò)將x軸的坐標(biāo)軸代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出相應(yīng)的最大值與最小值，從而得解。
講完例題后我向?qū)W生強(qiáng)調(diào)了這類(lèi)題型的易錯(cuò)點(diǎn)。定軸定區(qū)間類(lèi)的二次函數(shù)求最值問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)是最簡(jiǎn)單的求最值問(wèn)題，然而學(xué)生因?yàn)榇中拇笠庖矔?huì)發(fā)生錯(cuò)誤，比如畫(huà)錯(cuò)開(kāi)口方向，大家一定要記住二次項(xiàng)系數(shù)大于零開(kāi)口向上，二次項(xiàng)系數(shù)小于零開(kāi)口向下。然后端點(diǎn)處和對(duì)稱(chēng)軸處的函數(shù)值只要將對(duì)應(yīng)的x值代入函數(shù)表達(dá)式，便可準(zhǔn)確地求出，進(jìn)而做出函數(shù)圖象。
在這部分知識(shí)的教學(xué)中，我通過(guò)強(qiáng)調(diào)做函數(shù)圖象的細(xì)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在做題時(shí)通過(guò)直接地觀察，準(zhǔn)確地得到最值，提高了課堂的效率。
2.定軸動(dòng)區(qū)間，相對(duì)位置
定軸動(dòng)區(qū)間類(lèi)的二次函數(shù)其對(duì)稱(chēng)軸確定，然而閉區(qū)間是不確定的。這類(lèi)問(wèn)題考查的是對(duì)稱(chēng)軸與函數(shù)區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，當(dāng)函數(shù)區(qū)間發(fā)生變化時(shí)，隨著與對(duì)稱(chēng)軸的相對(duì)位置發(fā)生變化，函數(shù)的最值也可能會(huì)發(fā)生變化，所以學(xué)生要掌握分類(lèi)討論的思想，討論不同情況下的函數(shù)最值。
例如，求函數(shù)y=x2+2x-1在區(qū)間[t，t+2]上的最大值與最小值。這道題的類(lèi)型屬于定軸動(dòng)區(qū)間類(lèi)問(wèn)題，首先我們確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1。隨著t的取值不同，我們發(fā)現(xiàn)可以將這一問(wèn)題分為三種情況進(jìn)行討論，一是當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間[t，t+2]的函數(shù)右側(cè)時(shí)，二是當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間[t，t+2]的函數(shù)內(nèi)時(shí)，三是當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間[t，t+2]的函數(shù)的左側(cè)時(shí)，進(jìn)而可以將t的值也劃分為三個(gè)范圍進(jìn)行討論。在第一種情況下，t+2
在上述例題的教學(xué)中，我通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)討論，將問(wèn)題分為各種情況然后求出最值，思路清晰，條理明確，能夠完整準(zhǔn)確地確定該類(lèi)二次函數(shù)的最值，取得了很好的教學(xué)效果。
3.定區(qū)間動(dòng)軸，考慮變量
對(duì)于定區(qū)間動(dòng)軸類(lèi)的二次函數(shù)問(wèn)題，由于區(qū)間固定而對(duì)稱(chēng)軸不確定，因此函數(shù)的最值也會(huì)隨著對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的相對(duì)位置變化而發(fā)生變化，因此解決這類(lèi)問(wèn)題同樣需要進(jìn)行分類(lèi)討論，與定軸動(dòng)區(qū)間類(lèi)最值問(wèn)題相似。
例如，求二次函數(shù)y=x2-ax+1在區(qū)間[0，2]上的最小值。我引導(dǎo)學(xué)生依照定軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題的求解思路，將該問(wèn)題分成三種情況進(jìn)行討論。通過(guò)計(jì)算，可得到二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=，當(dāng)區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)位于對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即a>4時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，2]內(nèi)是單調(diào)遞減的，因此二次函數(shù)在x=2處取得最小值，為5-2a。當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸包含在區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)時(shí)，即0≤a≤4，由于該二次函數(shù)開(kāi)口向上，所以在對(duì)稱(chēng)軸處取得最小值，為-+1。分析到這一步的時(shí)候我向?qū)W生強(qiáng)調(diào)了求最大值的做法，這道題僅讓求最小值，而恰好對(duì)稱(chēng)軸處為最小值，若這道題還要求求出最大值的話，學(xué)生也應(yīng)按照定軸動(dòng)區(qū)間類(lèi)問(wèn)題中這種情況下的解題思路再次進(jìn)行分類(lèi)討論。當(dāng)區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，即a>0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，2]內(nèi)是單調(diào)遞增的，因此，二次函數(shù)在x=0處求得最小值1。
在上述問(wèn)題的教學(xué)中，我通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用定軸動(dòng)區(qū)間類(lèi)最值問(wèn)題的求解技巧與思路，順利地探求出動(dòng)軸定區(qū)間類(lèi)問(wèn)題的求解方法，通過(guò)這樣類(lèi)比與分類(lèi)的討論思想，讓學(xué)生成功地理解與學(xué)會(huì)了這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)，高效地完成了教學(xué)目標(biāo)。
二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位置、函數(shù)區(qū)間都會(huì)對(duì)二次函數(shù)的最值造成影響，學(xué)生在解題時(shí)，一定要看清題目對(duì)對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的要求，多角度分析問(wèn)題，采取正確的解題策略。
二、含有系數(shù)，字母視為常數(shù)
有時(shí)求最值問(wèn)題所給的二次函數(shù)的系數(shù)是用字母表示的，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的求解方法是將字母視為常數(shù)，并根據(jù)字母所表示的系數(shù)的位置不同，可能需要進(jìn)行分類(lèi)討論。
二次函數(shù)的表達(dá)式可寫(xiě)作y=ax2+bx+c，當(dāng)所給函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)用字母表示時(shí)，自然將其視為常數(shù)處理。例如，求二次函數(shù)y=x2+2x+a在區(qū)間[0，1]上的最大值。二次函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，x=1時(shí)函數(shù)的最大值為3+a。當(dāng)所給函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)用字母表示時(shí)，這類(lèi)問(wèn)題就是上述所講的動(dòng)軸定區(qū)間類(lèi)問(wèn)題，將字母視為常數(shù)，再結(jié)合自變量的范圍，按照分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解。當(dāng)所給函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)用字母表示時(shí)，例如，求二次函數(shù)y=ax2+4x-3（a≠0）在區(qū)間[1，3]內(nèi)的最大值。對(duì)這一例題進(jìn)行分析，a的大小首先影響的是開(kāi)口大小，因此首先分為a>0和a
在上述教學(xué)中，我通過(guò)教授學(xué)生將含有字母的系數(shù)視為常數(shù)的思想，引導(dǎo)學(xué)生攻克了含有參數(shù)的二次函數(shù)求最值問(wèn)題，加深了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的理解與運(yùn)用。
三、實(shí)際應(yīng)用，正確列函數(shù)式
二次函數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)生活中也有很廣泛的應(yīng)用，通過(guò)利用二次函數(shù)求最值的方法，我們能夠解決最優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于二次函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行分析，正確列出函數(shù)表達(dá)式是非常關(guān)鍵的步驟。
例如，某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺(tái)。為了響應(yīng)國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策，商場(chǎng)決定降價(jià)。冰箱售價(jià)每降低50元，平均每天能多售出4臺(tái)。那么每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種冰箱的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少？求解這道題，我們首先應(yīng)當(dāng)確定冰箱的利潤(rùn)y與每臺(tái)冰箱降價(jià)x的函數(shù)表達(dá)式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我們可以做出該函數(shù)的圖象，對(duì)稱(chēng)軸為x=150。
然后結(jié)合自變量x的取值范圍，我們可以求得二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最大值，也就是說(shuō)，當(dāng)冰箱降價(jià)150元時(shí)，商場(chǎng)的利潤(rùn)最大為5000元。然后我對(duì)二次函數(shù)應(yīng)用題進(jìn)行了總結(jié)，這類(lèi)問(wèn)題學(xué)生首先應(yīng)該讀清題意，確定正確的函數(shù)表達(dá)式，然后應(yīng)用定軸定區(qū)間二次函數(shù)求最值的求解方法，即可求得應(yīng)用題中的最優(yōu)結(jié)果。
在上述教學(xué)中，我對(duì)如何將實(shí)際生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)二次函數(shù)極值問(wèn)題的處理方法進(jìn)行了講解，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)有效地結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解題，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，成功地求解出應(yīng)用題的正確答案，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的掌握。
多角度分析是促進(jìn)思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述，學(xué)生只要切實(shí)掌握確定函數(shù)區(qū)間的技巧，把握住含有系數(shù)的二次函數(shù)與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解法，就能成功地克服部分二次函數(shù)難題?？傊?，從多角度分析和解決問(wèn)題，有助于迅速找到解題思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
參考文獻(xiàn)：
[1]徐薇.淺談初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問(wèn)題的求解[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2015（13）：26.
關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 生活 應(yīng)用
中圖分類(lèi)號(hào)： O172？ 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）05（c）-0000-00
對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們可以建立數(shù)學(xué)模型，就是列出變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式（函數(shù)解析式），求出函數(shù)的最大值或最小值，從而達(dá)到解決最優(yōu)化問(wèn)題.
我們知道在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值，這在理論上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函數(shù)的最值呢？首先假設(shè)函數(shù)的最大（?。┲翟陂_(kāi)區(qū)間內(nèi)取得，那么最大（?。┲狄惨欢ㄊ呛瘮?shù)的極大（?。┲?，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。另外函數(shù)的最值也可能在區(qū)間端點(diǎn)上取得。因此我們只需把函數(shù)的駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一一算出，并加以比較，便可求得函數(shù)的最值。
例1 有一個(gè)鐵路線上段的距離為100，某工廠距點(diǎn)為20，，要在線上選定一點(diǎn)向工廠修筑一條公路.已知鐵路線上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為，為了使貨物從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)點(diǎn)應(yīng)選在何處？
分析 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求函數(shù)的最值非常簡(jiǎn)單.
解析 設(shè)點(diǎn)選在距離點(diǎn)處，，則
設(shè)鐵路上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為，則公路上每千米的運(yùn)費(fèi)為（為常數(shù)）.設(shè)從點(diǎn)到需要的總運(yùn)費(fèi)為，則，即
.
下面求在區(qū)間上的值，使函數(shù)的值最小.
上式兩邊求導(dǎo)數(shù)，得
令，得，，故.
因?yàn)椋?，這時(shí)，與閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相比較，由于，，因此，當(dāng)時(shí)，的值最小，即點(diǎn)應(yīng)選在距離點(diǎn)處，這時(shí)，貨物的總運(yùn)費(fèi)最省.
點(diǎn)評(píng) 以導(dǎo)數(shù)為工具分析和解決一些函數(shù)問(wèn)題，以及一些實(shí)際問(wèn)題中的最大（?。┲祮?wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.
例2 某市旅游部門(mén)開(kāi)發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是元，銷(xiāo)售價(jià)是元，月平均銷(xiāo)售件.通過(guò)改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)提高的百分率為，那么月平均銷(xiāo)售量減少的百分率為.記改進(jìn)工藝后，旅游部門(mén)銷(xiāo)售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)是（元）.（1）寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門(mén)銷(xiāo)售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.
分析 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)的最值，這是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具的具體體現(xiàn).
解析 （1）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為，月平均銷(xiāo)售量為件，則月平均利潤(rùn)（元），
與的函數(shù)關(guān)系式為
（2）由得，（舍）
當(dāng)時(shí)；時(shí)，函數(shù) 在取得最大值.故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為元時(shí)，旅游部門(mén)銷(xiāo)售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.
答：該商品售價(jià)定為每件30元時(shí)，所獲利潤(rùn)最大為23000元.
點(diǎn)評(píng) 導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了高職數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間.
例3 設(shè)某物體一天中的溫度T是時(shí)間t的函數(shù)，已知，其中溫度的單位是℃，時(shí)間的單位是小時(shí).中午12：00相應(yīng)的，中午12：00以后相應(yīng)的取正數(shù)，中午12：00以前相應(yīng)的取負(fù)數(shù)（如早上8：00相應(yīng)的，下午16：00相應(yīng)的）.若測(cè)得該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度早上8：00與下午16：00有相同的變化率.（1）求該物體的溫度T關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該物體在上午10：00到下午14：00這段時(shí)間中（包括端點(diǎn)）何時(shí)溫度最高？最高溫度是多少？
分析 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值、極值時(shí)，通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，列表求得該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)（極值）、端點(diǎn)值，從而求得最大值.也可以不討論導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，而直接將導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較即可.
解析 （1） 因?yàn)椋?/p>
而， 故，
.
.
（2） ， 由
當(dāng)在上變化時(shí)，的變化情況如下表：
-2
（-2，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，2）
2
+
-
+
58
增函數(shù)
極大值62
減函數(shù)
極小值58
增函數(shù)
62
由上表知當(dāng)，說(shuō)明在上午11：00與下午14：00，該物體溫度最高，最高溫度是62℃.
點(diǎn)評(píng) 列表法是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一種基本方法，雖然列表的過(guò)程稍微有點(diǎn)復(fù)雜，但從表格中可以直接得出極值點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、最值.函數(shù)的極值與函數(shù)的最值時(shí)有區(qū)別和聯(lián)系的：函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，而最值時(shí)某個(gè)區(qū)間的整體性的概念.
本文主要通過(guò)三個(gè)實(shí)際例子說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用，為解決實(shí)際問(wèn)題提供有力的幫助.
參考文獻(xiàn)
【1】王榮成.數(shù)學(xué).蘇州大學(xué)出版社.1998.
（1） 求參數(shù)的取值范圍
多數(shù)給出單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的逆向思維問(wèn)題，靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，建立關(guān)于字母參數(shù)的不等關(guān)系。
（2） 用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式
其步驟一般是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)——研究單調(diào)性或最值——得出不等關(guān)系——整理得出結(jié)論。
（3） 與實(shí)際情景下的最優(yōu)解問(wèn)題以及幾何圖形相關(guān)的最值問(wèn)題
根據(jù)實(shí)際條件或幾何知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)方法求最值。
下面我們具體來(lái)談?wù)剬?dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用技巧。
首先來(lái)了解下導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的基本方法：
（1） 求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是解導(dǎo)數(shù)不等式，若求減區(qū)間，則求不等式f'（x）
（2）證明可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上是證明不等式。
若證明函數(shù)f（x）在（a，b）上遞增，則證明f'（x）≥0在（a，b）上恒成立；若證明函數(shù)f（x）在（a，b）上遞減，則證明f'（x）≤0在（a，b）上恒成立。
（3）求可導(dǎo)函數(shù)的極值，實(shí)質(zhì)上是解方程f'（x）=0，然后列表分析即可。
（4）求函數(shù)的最值，則在求極值的基礎(chǔ)上與端點(diǎn)函數(shù)值比較再確定其最值。
（5） 可導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；可導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，反之亦然。
（6）導(dǎo)數(shù)與方程的根的分布及不等式的綜合，實(shí)質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性、極值與最值得進(jìn)一步應(yīng)用，常結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想解決問(wèn)題。
下面我們用實(shí)際例題具體談?wù)勗诟呖碱}型中如何把握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用。
一、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式
當(dāng)要證明的不等式比較直觀時(shí)，我們可以直接構(gòu)造函數(shù)；然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的，即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性.
例1：證明：對(duì)?坌x≥0有不等式ln（1+x）≥，x∈［0，+∞）.
證：設(shè)f（x）=ln（1+x）-，x∈［0，+∞）.
則f′（x）=-=.顯然對(duì)?坌x＞0，有f′（x）＞0.
故函數(shù)f（x）在［0，+∞）上嚴(yán)格增加，且f（0）=0，從而f（x）≥f（0）=0.
即ln（1+x）≥，x∈［0，+∞）.
下面再來(lái)看需要將不等式變形后構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的類(lèi)型題.
例2：已知a，b∈R，b＞a＞e，求證：a＞b（e為自然對(duì)數(shù)的底）.
證：要證a＞b，只需證lna＞lnb，即證blna-alnb＞0.
現(xiàn)設(shè)
f（x）=xlna-alnx（x＞a＞e），
則f′（x）=lna-.a＞e，x＞a，lna＞1，＜1，f′（x）＞0，因而f（x）在（e，+∞）上遞增.又因?yàn)閎＞a，f（b）＞f（a），blna-alnb＞alna-alna=0，即blna＞alnb.所以a＞b成立.
用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的步驟：
1.確定函數(shù)自變量所在的區(qū)間I；
2.求f′（x），確定f（x）在區(qū)間I上的單調(diào)性；
3.由單調(diào)性得到不等式.
解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，其次要把要證明的不等式變形f（a）＞f（b）為的形式，然后在相應(yīng)的區(qū)間上用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判斷其單調(diào)性，再利用單調(diào)性得到所證明的不等式.用導(dǎo)數(shù)證明不等式，有時(shí)還要注意所構(gòu)造的函數(shù)中區(qū)間端點(diǎn)處是否連續(xù)，即是否要補(bǔ)充函數(shù)中端點(diǎn)處的定義.
二、利用函數(shù)的最值（或極值）證明不等式
由待證不等式建立函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷極大值還是極小值，再求出最大值或最小值，從而證明不等式，這就是利用函數(shù)的最值（或極值）證明不等式的思路.
例3：已知f（x）=x-x，當(dāng)x，x∈［-1，1］時(shí)，求證：|f（x）-f（x）|≤.
證：當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)，f′（x）=x-1≤0；
f（x）在［-1，1］上遞減.故f（x）在［-1，1］上的最大值為f（-1）=；函數(shù)的最小值為f（1）=-，所以f（x）在［-1，1］上的值域?yàn)椋?，］.所以，當(dāng)x，x∈［-1，1］時(shí)，|f（x）|≤，|f（x）|≤.
例4：證明：當(dāng)p＞1，0≤x≤1時(shí)，有不等式2≤x+（1-x）≤1.
證：設(shè)f（x）=x+（1-x），x∈［0，1］，則f′（x）=p［x-（1-x）］.
令f′（x）=0，即x-（1-x）=0，解得x=（可稱(chēng)為駐點(diǎn)）.
函數(shù)f（x）在駐點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值分別為f（）=，f（0）=1，f（1）=1.
由于函數(shù)在［0，1］上連續(xù)，因此函數(shù)在［0，1］上存在最大值與最小值，且分別為1，；于是2≤x+（1-x）≤1.
利用函數(shù)的最值（或極值）證明不等式的步驟：
1.確定函數(shù)自變量所在的區(qū)間；
2.求導(dǎo)，確定在區(qū)間上的極值，并確定最值；
3.由最值得到不等式.
從例題我們可以看出利用函數(shù)的最值證明不等式思路更為清晰，方法更為簡(jiǎn)明，有利于避免不等式證明中的一些轉(zhuǎn)化、放縮等問(wèn)題.在不等式的證明中，轉(zhuǎn)化與放縮恰恰又是難點(diǎn)所在，所以以后遇到當(dāng)函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立的問(wèn)題時(shí)，我們可以把不等式恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.因此利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是不等式證明的一種重要方法.
三、利用Lagrange中值定理證明不等式
在Lagrange中值公式中ξ∈（a，b），我們根據(jù)ξ在（a，b）之間的取值可以估計(jì)f′（ξ）取值范圍，從而得到不等式，這就是應(yīng)用Lagrange中值定理證明不等式的思想.
例5：證明：當(dāng)x＞1時(shí)，e＞ex.
證：現(xiàn)設(shè)f（t）=e，t∈［1，x］，故f（t）在區(qū)間［1，x］上滿足Lagrange中值定理的條件，即存在ξ∈（1，x），使得f′（ξ）=.又f′（t）=e，f′（ξ）=e，從而得到=e.1＜ξ＜x，e＜e＜e，＞e.故有e＞ex.命題得證.
例6：設(shè)e＜a＜b＜e，證明lnb-lna＞（b-a）.
證：令f（x）=lnx，x∈［a，b］（e＜a＜b＜e）.顯然函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，有Lagrange中值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得
f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.
即
lnb-lna=（b-a），a＜ξ＜b.
設(shè)φ（t）=，則φ′（t）=.當(dāng)t＞e時(shí)，φ′（t）＜0，所以函數(shù)φ（t）在（e，+∞）單調(diào)減少，從而φ（t）＞φ（e），t∈（e，e）.即＞=，ξ∈（a，b），亦即（b-a）＞（b-a）.故得到
lnb-lna＞（b-a）.
利用Lagrange中值定理證明不等式的步驟：
1.確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，自變量所在區(qū)間［a，b］；
2.驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足Lagrange中值定理的條件，從而得到
f′（ξ）=，ξ∈（a，b）；
3.對(duì)f（x）求導(dǎo)，從而得到f′（ξ），由此建立一個(gè)等式；
4.由的范圍確定f′（ξ）的范圍，從而驗(yàn)證不等式.
導(dǎo)數(shù)是新課標(biāo)高考中必考的熱點(diǎn)之一，其中正確求導(dǎo)是利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的前提，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是核心.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值是高考命題的重點(diǎn)，在選擇題、填空題、解答題都有涉及.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題是函數(shù)應(yīng)用的延伸，由于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題被概率解答題取代，近幾年很少單獨(dú)命題，但結(jié)合其它知識(shí)，常在最后兩題位置之一考查導(dǎo)數(shù)、含參不等式、方程、解析幾何等方面的綜合應(yīng)用問(wèn)題，難度較大.從近幾年高考看，全國(guó)各地高考試卷都有一個(gè)小題（選擇或填空），5分，考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性方面的單一運(yùn)用，如給出導(dǎo)數(shù)的圖象等信息，研究原函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，以中偏高檔題為主；一個(gè)大題，14分左右，以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或以函數(shù)為載體，主要考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，解方程或解不等式，進(jìn)而研究函數(shù)的零點(diǎn)或證明不等式，兼顧考查分類(lèi)討論.此類(lèi)題難度階梯上升，逐級(jí)增加，具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)考生能力要求較高，不僅需要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.各地文、理科試卷在導(dǎo)數(shù)部分差別較大，理科更注重綜合應(yīng)用.
命題特點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在高考中選擇、填空、解答各種題型均可出現(xiàn)，以解答題為主，難度一般為中高檔題.涉及的題型主要有：函數(shù)的求導(dǎo)和用導(dǎo)數(shù)解決曲線的斜率、傾斜角、切線方程；運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，即從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，建立函數(shù)模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值、最值，進(jìn)一步研究函數(shù)的零點(diǎn)或證明不等式，此類(lèi)題綜合性強(qiáng)、難度大，一般作為高考?jí)狠S題；從最近幾年的高考試題看，解答題必考，這類(lèi)題往往具有“穩(wěn)中求新”、“穩(wěn)中求活”等特點(diǎn)，更多地體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大的工具和魅力，注重對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法的考查.
1. 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值
導(dǎo)數(shù)應(yīng)用注重基礎(chǔ)知識(shí)、通性通法的考查，常與函數(shù)、方程等知識(shí)相結(jié)合，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.
例1 [f（x）]為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，則有（ ）
A. [e2015][f（-2015）]
B. [e2015][f（-2015）]e2015f（0）]；
C. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）
D. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）>e2015f（0）]
解析 構(gòu)造函數(shù)[g（x）=f（x）ex]，則[g ′（x）=f ′（x）-f（x）ex].
因?yàn)閷?duì)任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，且[ex>0]，
[]函數(shù)[g（x）=f（x）ex]在[R]上單調(diào)遞減，
[][g（-2015）>g（0）， g（2015）
即[f（-2015）e-2015>f（0）e0=f（0），][f（2015）e2015
也就是[e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）
答案 C
點(diǎn)撥 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)比較大小的方法，是一道非常精巧的小題，看似簡(jiǎn)單，但技巧性強(qiáng).根據(jù)選項(xiàng)中函數(shù)值的形式準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，再把函數(shù)值的大小比較問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題來(lái)研究是解題的關(guān)鍵，其構(gòu)造方法大家要熟練掌握.
2. 與最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題
恒成立問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，繼而研究函數(shù)最值達(dá)到解題目的.
例2 已知函數(shù)[f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R）]，對(duì)任意的[x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.
（1）當(dāng)b=0時(shí)，記[h（x）=g（x）f（x）]若[h（x）]在[[2，+∞）]上為增函數(shù)，求c的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)[x≥0]時(shí)，[g（x）≤（x+c）2]成立；
（3）若對(duì)滿足條件的任意實(shí)數(shù)b，c，不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]恒成立，求M的最小值.
解析 （1）因?yàn)槿我獾腫x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.
所以任意的[x∈R]恒有[2x+b≤x2+bx+c]，
即[x2+（b-2）x+c-b≥0]恒成立.
由二次函數(shù)知，[Δ=（b-2）2-4（c-b）≤0]，
化簡(jiǎn)得[c≥b24+1]，即[c≥1].
當(dāng)[c≥1，b=0]時(shí)，記[h（x）=g（x）f（x）=12x+c2x]，
因?yàn)閇h（x）]在[2，+∞]上單調(diào)遞增，[h′（x）≥0]在[2，+∞]上恒成立，
即[12-c2x2≥0]恒成立，即[c≤x2]在[2，+∞]上恒成立，
所以[c≤[x2]mim=4]，故c的取值范圍為[1，4].
（2）要證明[g（x）≤（x+c）2]成立，
只需證明[（2c-b）x+c（c-1）≥0]在[x≥0]時(shí)恒成立.
在[c≥1，]的情況下，[c（c-1）≥0]，
而[c≥b24+1≥][2b24×1=|b|]，
可見(jiàn)[2c-b=c+（c-b）>0]，
故當(dāng)[x≥0]時(shí)，一定恒有[（2c-b）x+c（c-1）≥0]，證畢.
（3）由（2）得，[c≥|b|].
當(dāng)[c=|b|]時(shí)，[c=2，b=±2]，
這時(shí)驗(yàn)證不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]成立.
當(dāng)[c>|b|]時(shí)，[c2>b2]，不等式可化為[g（c）-g（b）c2-b2≤M]，
因此需求[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值或者它的值域，
[g（c）-g（b）c2-b2]=[c+2bc+b]=2-[cc+b]=2-[1bc+1]，
而[c
因此[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值為[32]，故M的最小值為[32].
點(diǎn)撥 不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題經(jīng)常采用下面兩種辦法.一是分離參數(shù)求最值，即要使[a≥g（x）]恒成立，只需[a≥g（x）max]，要使[a≤g（x）]恒成立，只需[a≤g（x）min]，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.二是當(dāng)參數(shù)不容易分離時(shí)，可以直接求函數(shù)的最值，建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解，這是通法.例如：要使不等式[f（x）≥0]恒成立，可以求得[f（x）]的最小值[h（a）]，令[h（a）≥0]即可求出a的范圍.
3. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或不等式的解集或方程的根
此類(lèi)問(wèn)題綜合性比較強(qiáng)，通常要構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合.
例3 已知函數(shù)[f（x）]是[（0，+∞）]上的可導(dǎo)函數(shù)，若[xf ′（x）>f（x）]在[x>0]時(shí)恒成立.
（1）求證：函數(shù)[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函數(shù)；
（2）求證：當(dāng)[x1>0，x2>0]時(shí)，有[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].
解析 （1）由[g（x）=f（x）x]得，[g ′（x）=xf ′（x）-f（x）x2].
因?yàn)閇xf ′（x）>f（x）]，
所以[g′（x）>0]在[x>0]時(shí)恒成立，
所以函數(shù)[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函數(shù).
（2）由（1）知函數(shù)[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函數(shù)，
所以當(dāng)[x1>0，x2>0]時(shí)，
有[f（x1+x2）x1+x2>f（x1）x1]，[f（x1+x2）x1+x2>][f（x2）x2]成立.
從而[f（x1）
兩式相加得[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].
備考指南
1. 回歸課本，重視對(duì)基本函數(shù)與導(dǎo)數(shù)定義、圖象、運(yùn)算與性質(zhì)的復(fù)習(xí).對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的考查，試題多數(shù)圍繞函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的概念、圖象、運(yùn)算、性質(zhì)等方面命題，圍繞二次函數(shù)、三次函數(shù)、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等幾個(gè)基本的初等函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算等.所以，我們對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的復(fù)習(xí)，一定要回歸課本，重讀教材，只有把課本中的例、習(xí)題弄明白，夯實(shí)基礎(chǔ)，才能真正掌握、靈活運(yùn)用，達(dá)到事半功倍的效果.
2. 加強(qiáng)對(duì)函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)和訓(xùn)練.高考加大了對(duì)函數(shù)應(yīng)用性問(wèn)題的考查力度，試題貼近生產(chǎn)、生活，情境具有公平性，難度適當(dāng)，設(shè)問(wèn)新穎靈活，而解決這類(lèi)問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)大綱》和《課程標(biāo)準(zhǔn)》上要求掌握的概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)和方法，體現(xiàn)了新課程中“發(fā)展考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”.所以，在備考復(fù)習(xí)中，我們一定要加強(qiáng)對(duì)函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)和訓(xùn)練，對(duì)試題所提供的信息資料進(jìn)行觀察、閱讀、歸納、整理和分析，并與熟悉的函數(shù)模型相比較，先確定函數(shù)的種類(lèi)，再利用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，最后對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)作答.
3. 理解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在其他數(shù)學(xué)知識(shí)中的滲透與整合.高考試題既重視考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又能夠考查考生繼續(xù)學(xué)習(xí)所必需具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，常常與其它知識(shí)結(jié)合起來(lái)，形成層次豐富的各類(lèi)綜合題，成為高考試卷中的把關(guān)題和壓軸題，為考生提供了一個(gè)能力競(jìng)爭(zhēng)的平臺(tái).因此，在備考復(fù)習(xí)中，一定要把基本的初等函數(shù)知識(shí)與三角、數(shù)列、不等式、方程等知識(shí)交叉和融合，還要滲透到解析幾何、立體幾何問(wèn)題中，充分認(rèn)識(shí)和利用導(dǎo)數(shù)的工具性作用，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，全面提高解決綜合性問(wèn)題的能力.
限時(shí)訓(xùn)練
1. 已知函數(shù)[f（x）=（3a2-2a）?2x]在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，[f ′（x）]是函數(shù)[f（x）]的導(dǎo)數(shù)，且[f ′（0）=ln4]，則a的值為 （ ）
A. [-12] B. 2
C. [-12]或2 D. 不存在
2. 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f′（x） （ ）
A. 等于0 B. 大于0
C. 小于0 D. 以上都有可能
3. 設(shè)函數(shù)[f（x）=x-ax-1]，集合M=[{x|f（x）0}]，若M?P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （ ）
A. （-∞，1） B. （0，1）
C. （1，+∞） D. [1，+∞）
4. 已知函數(shù)y=-x2-2x+3在[a，2]上的最大值為[154]，則a等于（ ）
A. -[32] B. [12]
C. - [12] D. [12]或-[32]
5. 設(shè)函數(shù)fn（x）=n2x2（1-x）n（n為正整數(shù)），則fn（x）在[0，1]上的最大值為 （ ）
A. 0 B. 1
C. [（1-22+n）n] D. [4（nn+2）n+1]
6. 已知函數(shù)[f（x）=x3+ax2+bx+c]，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 （ ）
A. [?x0∈R]，[f（x0）=0]
B. 函數(shù)[y=f（x）]的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形
C. 若[x0]是[f（x）]的極小值點(diǎn)，則[f（x）]在區(qū)間（[-∞]，[x0]）上單調(diào)遞減
D. 若[x0]是[f（x）]的極值點(diǎn)，則[f ′（x0）=0]
7. 若函數(shù)f（x）=x3-12x在區(qū)間（k-1，k+1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （ ）
A. k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
B. -3
C. -2
D. 不存在這樣的實(shí)數(shù)
8. 對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f（x）=x3+ax2+7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是（ ）
A. 0≤a≤21 B. a=0或a=7
C. a21 D. a=0或a=21
9. 設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）
A. （-3，0）∪（3，+∞） B. （-3，0）∪（0，3）
C. （-∞，-3）∪（3，+∞） D. （-∞，-3）∪（0，3）
10.設(shè)函數(shù)[fx滿足x2f ′x+2xfx=exx，f2=e28，][則x>0時(shí)，fx] （ ）
A. 有極大值，無(wú)極小值
B. 有極小值，無(wú)極大值
C. 既有極大值又有極小值
D. 既無(wú)極大值也無(wú)極小值
11. 函數(shù)f（x）=5-36x+3x2+4x3在區(qū)間[-2，+∞）上的最大值 ，最小值為 .
12. 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（-1）=2，對(duì)任意x∈R，f′（x）>2，則f（x）>2x+4的解集為 .
13. 已知方程ex-2x+a=0有零點(diǎn)，則a的取值范圍是 .
14.在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知點(diǎn)P是函數(shù)[f（x）=ex（x>0）]的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線l交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是 .
15. 設(shè)函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x2.求f（x）在區(qū)間[-34，14]上的最大值和最小值.
16. 設(shè)f（x）=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線[x=-12]對(duì)稱(chēng)，且f′（1）=0.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值.
17.對(duì)于三次函數(shù)[f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）]，定義：設(shè)[f ″（x）]是函數(shù)[y=f（x）]的導(dǎo)函數(shù)[y=f ′（x）]的導(dǎo)數(shù)，若[f ″（x）=0]有實(shí)數(shù)解[x0]，則稱(chēng)點(diǎn)（[x0]，[f（x0）]）為函數(shù)[y=f（x）]的“拐點(diǎn)”.現(xiàn)已知[f（x）=x3-3x2+2x-2]，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求函數(shù)[f（x）]的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；
（2）求證[f（x）]的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱(chēng)；并寫(xiě)出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論（此結(jié)論不要求證明）.
18. 已知函數(shù)[f（x）=xlnx].
一、函數(shù)關(guān)系式與定義域
函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。
例1：某單位計(jì)劃建筑-矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為100m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式?
解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為(50一x)米，由題意得：
S=x(50-x)故函數(shù)關(guān)系式為：S=x(50-x)．
如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說(shuō)學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：o
即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x(50-x)(0
在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響。若考慮不到這-點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說(shuō)明學(xué)生的解題思維過(guò)程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。
二、 函數(shù)最值與定義域
函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問(wèn)題。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：
例2：求函數(shù)y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最值．
解：•．•y=x2 -2x-3=(x2 -2x+1)-4=(x-1)2 -4
．•．當(dāng)x=1時(shí)，ymin = -4
初看結(jié)論，本題似乎沒(méi)有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒(méi)有注意到已知條件發(fā)生變化。
這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說(shuō)明學(xué)生思維缺乏靈活性。
其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)y=ax2 十bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：
(1)當(dāng)-
(2) 當(dāng)- >p時(shí)，f (x)在[p，q]上單調(diào)遞減函數(shù) f(x)max= f(p),f(x)min=f(q)
(3)當(dāng)p ≤-≤q時(shí)，y=f (x)在[p，q]上最值情況是：f(x)min =f(-)=f(x)max=max{f(p)，f(q) }．即最大值是f(p)，f(q)中最大的一個(gè)值。
故本題還要繼續(xù)做下去：
一2≤1≤5
f(-2)=(-2)2 -2×(-2)-3=-3
f(5)=52 一2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2)，f(5)}=f(5)=12
函數(shù)y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過(guò)程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。
三、 函數(shù)值域與定義域
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。
例3：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域．
錯(cuò)解：令t=,則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+)2 +≥
剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥o，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時(shí)， ymin =1．
故所求的函數(shù)值域是[1，+∞)
利用換元法求值域和最值時(shí)，必須注意換元后要轉(zhuǎn)化變量的范圍，避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。
