發(fā)布時(shí)間：2022-10-30 14:59:58
序言：寫作是分享個(gè)人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的數(shù)學(xué)概念教學(xué)樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念 高中數(shù)學(xué) 新課標(biāo) 數(shù)學(xué)概念課教學(xué)
概念是思維的基本形式，具有確定研究對(duì)象和任務(wù)的作用。數(shù)學(xué)概念則是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映。數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是提高解題能力的前提，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是“雙基”教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，應(yīng)引起足夠重視。
高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重體現(xiàn)基本概念的來(lái)龍去脈。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。
長(zhǎng)期以來(lái)，由于受應(yīng)試教育的影響，不少教師重解題、輕概念，造成數(shù)學(xué)概念與解題脫節(jié)的現(xiàn)象。有些教師僅僅把數(shù)學(xué)概念看作一個(gè)名詞而已，概念教學(xué)就是對(duì)概念作解釋，要求學(xué)生記憶，而沒(méi)有看到像函數(shù)、向量這樣的概念本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。一節(jié)“概念課”教完了，也就完成了它的歷史使命，剩下的是趕緊解題，造成學(xué)生對(duì)概念含糊不清，一知半解，不能很好地理解和運(yùn)用概念，嚴(yán)重影響了學(xué)生的解題質(zhì)量。
如何搞好新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)？筆者結(jié)合參加新課程的實(shí)驗(yàn)，談?wù)勔恍┐譁\的看法。
一、在體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過(guò)程中認(rèn)識(shí)概念
數(shù)學(xué)概念的引入，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題。通過(guò)與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子，使學(xué)生在對(duì)具體問(wèn)題的體驗(yàn)中感知概念，形成感性認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性。如在“異面直線”概念的教學(xué)中，教師應(yīng)先展示概念產(chǎn)生的背景，如長(zhǎng)方體模型和圖形，當(dāng)學(xué)生找出兩條既不平行又不相交的直線時(shí)，教師告訴學(xué)生像這樣的兩條直線就叫做異面直線，接著提出“什么是異面直線”的問(wèn)題，讓學(xué)生相互討論，嘗試敘述，經(jīng)過(guò)反復(fù)修改補(bǔ)充后，給出簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x：“我們把不在任何一個(gè)平面上的兩條直線叫做異面直線?！痹诖嘶A(chǔ)上，再讓學(xué)生找出教室或長(zhǎng)方體中的異面直線，最后以平面作襯托畫出異面直線的圖形。學(xué)生經(jīng)過(guò)以上過(guò)程對(duì)異面直線的概念有了明確的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過(guò)程的體驗(yàn)。
二、在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上理解概念
新概念的引入，是對(duì)已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過(guò)程：（1）用直角三角形邊長(zhǎng)的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義；（3）任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出：（1）三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)；（2）三角函數(shù)線；（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（4）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（5）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等?？梢?，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重，是整個(gè)三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用?！澳サ恫徽`砍柴工”，重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，有利于學(xué)生理解概念。
三、在尋找新舊概念之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上掌握概念
數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系，如平行線段與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數(shù)等等，在教學(xué)中應(yīng)善于尋找，分析其聯(lián)系與區(qū)別，有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)。再如，函數(shù)概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個(gè)取值與惟一確定的函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來(lái)；另一種是高中給出的定義，是從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將原象集合中的每一個(gè)元素與象集合中惟一確定的元素對(duì)應(yīng)起來(lái)。從歷史上看，初中給出的定義來(lái)源于物理公式，而函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)可用圖象、表格、公式等表示，所以高中用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)也一樣，只不過(guò)敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，所以兩種函數(shù)的定義，本質(zhì)是一致的。當(dāng)然，對(duì)于函數(shù)概念真正的認(rèn)識(shí)和理解是不容易的，要經(jīng)歷一個(gè)多次接觸的較長(zhǎng)的過(guò)程。
四、在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題的過(guò)程中鞏固概念
數(shù)學(xué)概念形成之后，通過(guò)具體例子，說(shuō)明概念的內(nèi)涵，認(rèn)識(shí)概念的“原型”，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問(wèn)題中的作用，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生的對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固，以及解題能力的形成。例如，當(dāng)我們學(xué)習(xí)完“向量的坐標(biāo)”這一概念之后，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，提出問(wèn)題：已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。學(xué)生展開充分的討論，不少學(xué)生運(yùn)用平面解析幾何中學(xué)過(guò)的知識(shí)（如兩點(diǎn)間的距離公式、斜率、直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等），結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，提出了各種不同的解法。有的學(xué)生應(yīng)用共線向量的概念給出了解法；還有一些學(xué)生運(yùn)用所學(xué)過(guò)向量坐標(biāo)的概念，把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和向量D聯(lián)系起來(lái)，巧妙地解答了這一問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考，盡快地投入到新概念的探索中去，從而激發(fā)了學(xué)生的好奇以及探索和創(chuàng)造的欲望，使學(xué)生在參與的過(guò)程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。除此之外，教師通過(guò)反例、錯(cuò)解等進(jìn)行辨析，也有利于學(xué)生鞏固概念。
一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的階段
數(shù)學(xué)概念教學(xué)要經(jīng)過(guò)四個(gè)階段：1.活動(dòng)階段；2.探究階段；3.對(duì)象階段；4.圖式階段。
以上四個(gè)階段反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng)。其中的“活動(dòng)階段”是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過(guò)“活動(dòng)”讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系；“探究階段”是學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過(guò)程，學(xué)生在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)；“對(duì)象階段”是通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到了概念本質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)思維中的具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)；“圖式階段”的形成要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過(guò)程、定義及符號(hào)，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。
二、概念教學(xué)案例——“代數(shù)式”
代數(shù)式（字母表示數(shù)）概念一直是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)過(guò)程中的難點(diǎn)，有很多學(xué)生學(xué)過(guò)后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質(zhì)在于將求知數(shù)和數(shù)字可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。
1.活動(dòng)階段——理解具體的代數(shù)式
問(wèn)題一：讓學(xué)生用火柴棒按下面的方式搭不同的正方形；
問(wèn)題二：有一些矩形，長(zhǎng)是寬的3倍，如何表示它們之間的關(guān)系？
通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生初步體會(huì)了 “同類意義”的數(shù)表示的各種關(guān)系。
2.探究階段——體驗(yàn)代數(shù)式中過(guò)程
針對(duì)活動(dòng)階段的情況，可提出一些問(wèn)題讓學(xué)生討論探究：
①問(wèn)題一中3n+1，與具體的數(shù)有什么樣的關(guān)系？
②把各具體字母表示的式子作為一個(gè)整體，具有什么樣的特征和意義？
這一階段還包括列代數(shù)式和對(duì)代數(shù)式求值，可設(shè)計(jì)下題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式的特征：
①每包書有12冊(cè)，n包書有？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖冊(cè)。
②溫度由t℃下降2℃后是？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖℃。
③一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x，那么它的面積是？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖。
3.對(duì)象階段——對(duì)代數(shù)式的形式化表述
這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)、合并同類項(xiàng)、因式分解及解方程等運(yùn)算。學(xué)生在運(yùn)算中就意識(shí)到運(yùn)算的對(duì)象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù)，代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)關(guān)系，而不只是運(yùn)算過(guò)程。這一階段，學(xué)生必須理解字母的意義，識(shí)別代數(shù)式。
4.圖式階段——建立綜合的心理圖式
通過(guò)以上三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立起如下的代數(shù)式的心理表征：具體的實(shí)例、運(yùn)算過(guò)程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學(xué)思想、代數(shù)式的定義，并能加以運(yùn)用。
三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略
心理學(xué)研究表明，學(xué)生獲得概念的方式有兩種，即概念形成與概念同化。概念形成是指同類事物的關(guān)鍵屬性，可以由學(xué)生從大量的同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，從而獲得概念的方式。用概念形成的方式進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，教師必須對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)進(jìn)行精心設(shè)計(jì)和組織，將書本上的概念轉(zhuǎn)換成問(wèn)題。這些問(wèn)題必須符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將問(wèn)題置于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生進(jìn)入角色，通過(guò)學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)，完成數(shù)學(xué)概念建構(gòu)活動(dòng)。
1.概念形成策略
概念形成過(guò)程實(shí)質(zhì)上是歸納出某一類對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征的過(guò)程。其過(guò)程一般有五個(gè)步驟：一是辨別各種刺激模式，分化出各種刺激模式的屬性。這些刺激模式可以是學(xué)生自己在日常生活中的經(jīng)驗(yàn)或事實(shí)，也可以是由教師提供的有代表性的典型事例。二是概括出各個(gè)刺激模式的共同屬性，并提出它們的共同關(guān)鍵屬性的種種假設(shè)。三是概括、形成概念。驗(yàn)證了假設(shè)以后，把關(guān)鍵屬性概括出來(lái)，并區(qū)分出有從屬關(guān)系的關(guān)鍵屬性。四是把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去。在這個(gè)過(guò)程中，可以用一些概念的等值語(yǔ)言來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行判斷和推理。五是用習(xí)慣的形式符號(hào)表示新概念。通過(guò)概念形成的上述步驟，學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵和外延都有了比較準(zhǔn)確的理解。這時(shí)，就應(yīng)該及時(shí)地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)。
中科院蘭州分院中學(xué)王瑞芳
概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體，所以概念教學(xué)尤為重要在概念教學(xué)中，教師既要啟發(fā)學(xué)生對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行分析、綜合、抽象，還要講清概念的形成過(guò)程，闡明其必要性和合理性。
一、講清概念的來(lái)源數(shù)學(xué)概念都是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來(lái)的如：正負(fù)數(shù)、數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、函數(shù)等概念，都是由于科學(xué)與實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的．講清它們的來(lái)源，學(xué)生既不會(huì)感到抽象，而且有利于形成生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)氛圍就數(shù)軸而言，它是規(guī)定了方向、原點(diǎn)和長(zhǎng)度單位的直線單純地這樣講，學(xué)生不易接受其實(shí)，人們?cè)缇投迷鯓佑弥本€上的點(diǎn)表示數(shù)如秤桿上用點(diǎn)表示物體的重量，溫度計(jì)上用點(diǎn)表示溫度的高低．秤桿、溫度計(jì)都具有三個(gè)要素：1度量的起點(diǎn)；2度量的單位；3明確的增減方向這些實(shí)物啟發(fā)人們用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，從而引出了數(shù)軸的概念
二、講清概念的意義課本中經(jīng)常出現(xiàn)一般形式、最簡(jiǎn)形式、標(biāo)準(zhǔn)形式和基本性質(zhì)等，講清它們的意義，有利于學(xué)生掌握一般規(guī)律，更好地理解概念對(duì)于方程、函數(shù)等概念，先總結(jié)出一般形式，再進(jìn)行討論為什么要定義一般形式？因?yàn)閷?duì)一般形式討論，就能得到一般結(jié)論，用它可以解決各種各樣的具體問(wèn)題例如，討論一元二次方程的一般形式就能得到求根公式、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)于多項(xiàng)式、分式、根式等，為什么要規(guī)定一個(gè)最簡(jiǎn)形式呢？因?yàn)槿藗儗?duì)所研究的對(duì)象，為了突出其本質(zhì)屬性，總要在外形上盡量簡(jiǎn)化例如，合并同類項(xiàng)后的多項(xiàng)式叫做最簡(jiǎn)多項(xiàng)式，沒(méi)有最簡(jiǎn)多項(xiàng)式這個(gè)概念，關(guān)于多項(xiàng)式的許多問(wèn)題就難以研究如定理“如果兩個(gè)最簡(jiǎn)多項(xiàng)式恒等，則它們的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等”是待定系數(shù)法的理論根據(jù)這里“最簡(jiǎn)”的條件是必不可少的，沒(méi)有“最簡(jiǎn)”的條件，本質(zhì)上完全相同的多項(xiàng)式在外形上千差萬(wàn)別，討論起來(lái)很不方便對(duì)于橢圓、雙曲線、拋物線等，為什么要規(guī)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程呢？因?yàn)樵诓煌淖鴺?biāo)里，同一個(gè)曲線會(huì)有多種形式不同的方程，所以把某種坐標(biāo)系下的方程規(guī)定為標(biāo)準(zhǔn)方程在標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們就會(huì)得到曲線的某種性質(zhì)和作法另外通過(guò)坐標(biāo)變換可以把其它坐標(biāo)系下的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣對(duì)曲線的研究大為簡(jiǎn)化
表象 線索
【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A
【文章編號(hào)】0450-9889（2013）11A-
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概念是小學(xué)數(shù)學(xué)理論體系的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，那些反映數(shù)和形本質(zhì)屬性的符號(hào)、圖形、數(shù)字、定義、術(shù)語(yǔ)、法則都屬于數(shù)學(xué)概念。教會(huì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、形成空間觀念都是有著至關(guān)重要的意義。因此，概念教學(xué)一直都是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。為了教會(huì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，老師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生掌握概念核心。為此，筆者在實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，試論述概念核心在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。
一、以概念核心為基礎(chǔ)，建立概念表象
概念教學(xué)往往比較抽象，如何讓學(xué)生理解概念？筆者認(rèn)為，根據(jù)小學(xué)生的思維特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)以概念核心為基礎(chǔ)，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)具體事物的感知，建立數(shù)學(xué)概念的表象。
如，在蘇教版四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)平行線》教學(xué)中，為了幫助學(xué)生理解“平行線”這一概念，教師應(yīng)根據(jù)“平行線”的內(nèi)涵，準(zhǔn)確把握其概念的核心是“永不相交”。為此，教師應(yīng)先安排學(xué)生去感知實(shí)物，如讓學(xué)生去觀察桌子、黑板上的邊框，通過(guò)“長(zhǎng)”與“寬”的關(guān)系理解兩條“邊長(zhǎng)”與兩條“邊寬”的關(guān)系；并從這些表象認(rèn)識(shí)中，建立起關(guān)于平行線這一概念的表象，就是“在同一平面內(nèi)，兩條無(wú)限延長(zhǎng)永不相交的直線”。
數(shù)學(xué)概念本質(zhì)是對(duì)一類事物本質(zhì)、共同屬性的概括。教師可以在課堂上列舉一些體現(xiàn)概念特征的具體事物，讓學(xué)生從這些事物中得到了概念的表象認(rèn)識(shí)，然后從這些具體事物中概括抽象概念的核心，從而得到對(duì)概念的深刻認(rèn)識(shí)。
如，在教學(xué)蘇教版二年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)直角》時(shí)，教師可以用多媒體課件，給學(xué)生舉例觀察，黑板上“長(zhǎng)”與“寬”這兩條線的角度、埃及金字塔的塔頂兩條線的角度、埃菲爾鐵塔兩條線的角度等例子。讓學(xué)生得到“直角的兩條線互相垂直”這一表象，并理解這一直角概念核心就是“垂直”。
二、以概念核心為線索，引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念
實(shí)質(zhì)上，概念的形成是一個(gè)過(guò)程。教師可以以概念核心為線索，引導(dǎo)學(xué)生在循序漸進(jìn)的過(guò)程中理解概念，并在理解的過(guò)程中感知概念的本質(zhì)特征。
如，在教學(xué)蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》時(shí)，教師可以抓住分?jǐn)?shù)這個(gè)概念的核心是“平均分”為線索，向?qū)W生講述分?jǐn)?shù)的性質(zhì)。有一個(gè)農(nóng)民把一塊地分給了三個(gè)兒子，第一個(gè)兒子分得這塊地的■，第二個(gè)兒子分得這塊地的■，第三個(gè)兒子分得這塊地的■。二兒子和三兒子都覺(jué)得非常吃虧，于是為了這塊地大吵了起來(lái)。剛好聰明的阿凡提經(jīng)過(guò)，聽了他們吵架的原因后，哈哈大笑說(shuō)，其實(shí)你們的父親是很公平的。
之后，為了讓學(xué)生理解農(nóng)民分地的方法很公平，教師可以抓住“平均分”這一線索，讓學(xué)生在黑板上畫三個(gè)圖。
通過(guò)圖形，學(xué)生觀察到■與■的份額，與■的份額是一樣的。然后以“平均分”為線索，指出分?jǐn)?shù)就是把單位一給平均分，所以，當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子與分母同時(shí)乘以或者除以同一個(gè)數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。
三、以概念核心為本質(zhì)，突破概念認(rèn)識(shí)上的難點(diǎn)
數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，是一個(gè)在感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，借助于比較、綜合、概括、抽象等思維活動(dòng)，對(duì)概念進(jìn)行去粗取精、去偽存真的辨證思維加工過(guò)程。為此，教師在教學(xué)時(shí)，如果以“概念本質(zhì)”為核心，往往能掃除學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)上的盲區(qū)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率。這就需要數(shù)學(xué)教師在課上舍棄數(shù)學(xué)材料的現(xiàn)實(shí)意義，保留數(shù)量、空間等方面的本質(zhì)信息，指導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的核心過(guò)程中，理解數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)。
數(shù)學(xué)能力
【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A
【文章編號(hào)】0450-9889（2013）08A-
0029-02
數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)之本、解題之源，學(xué)好它既是基礎(chǔ)又是關(guān)鍵。對(duì)它的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生計(jì)算能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，關(guān)系到學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生要掌握正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，既依賴于其自身的認(rèn)知狀況，又依賴于教師的教學(xué)措施。加強(qiáng)概念教學(xué)，能使學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)各種數(shù)學(xué)能力。
一、數(shù)學(xué)概念生活化
數(shù)學(xué)課標(biāo)指出，教學(xué)必須使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源，對(duì)于小學(xué)生而言，很多數(shù)學(xué)知識(shí)并非新知識(shí)，而是他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中早已學(xué)過(guò)的舊知識(shí)，利用學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，引入概念，著力實(shí)施“學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)”，是數(shù)學(xué)課改的理念之一。生活化教學(xué)可以有效地幫助教師改變自己的教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性。從生活中引入概念符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，容易引起學(xué)生的共鳴。
例如，在教學(xué)“平移和旋轉(zhuǎn)”的概念時(shí)，筆者讓學(xué)生觀察一些生活中熟悉的實(shí)例，如桌子、門框的上下兩條邊，鐵軌、電梯的運(yùn)行現(xiàn)象，風(fēng)車、電扇、水車的旋轉(zhuǎn)等，學(xué)生通過(guò)觀察這些生活中常見的具體、形象、生動(dòng)的物體實(shí)例，就可以很容易地根據(jù)各自的屬性，從中找出共同的屬性，最后抽象出本質(zhì)屬性，認(rèn)識(shí)“平移和旋轉(zhuǎn)”的定義。又如教學(xué)《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，教師可以讓學(xué)生觀察超市里的商品價(jià)格，如一支鉛筆0.5元、一個(gè)書包23.7元、一條毛巾9.80元，讓學(xué)生把商標(biāo)上的價(jià)格與整數(shù)進(jìn)行比較從而引入“小數(shù)”的概念，并根據(jù)小數(shù)與整數(shù)的不同點(diǎn)認(rèn)識(shí)“小數(shù)點(diǎn)”“整數(shù)部分”“小數(shù)部分”各個(gè)部分，抽象出“小數(shù)”的概念。教學(xué)“角”的概念時(shí)，筆者首先讓學(xué)生找一找在生活中哪些地方見到過(guò)角，充分利用學(xué)生已經(jīng)見過(guò)、使用過(guò)的各種各樣的三角形物品，像紅領(lǐng)巾、三角板、屋頂?shù)任矬w幫助學(xué)生建立“角”的表象，接著由實(shí)物抽象成各種各樣的角，讓學(xué)生觀察這些角，概括出角的最基本特點(diǎn)，形成角的概念。又如，在教學(xué)《年、月、日》一課時(shí)，筆者用故事情境導(dǎo)入新課：“小紅今年12歲，但她只過(guò)了3個(gè)生日。同學(xué)們，你們知道這是為什么嗎？”正當(dāng)學(xué)生疑惑不解的時(shí)候，筆者順勢(shì)提問(wèn)：“你們想知道其中的奧妙嗎？”以此引起學(xué)生的懸念，激起學(xué)生的求知欲，從而導(dǎo)入新課。
從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)行概念教學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，從而達(dá)到概念教學(xué)的有效性。
二、數(shù)學(xué)概念形象化
學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)課堂枯燥無(wú)味，對(duì)數(shù)學(xué)缺乏興趣，很大一部分原因是不能理解數(shù)學(xué)中的概念。因此，在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，教師需要用生動(dòng)形象的語(yǔ)言對(duì)其循循善誘，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)概念的記憶和理解。
例如，教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”概念時(shí)，可以讓學(xué)生講永遠(yuǎn)講不完的故事：“從前，山上有座廟，廟里有個(gè)老和尚；從前山上有座廟，廟里有個(gè)老和尚；再說(shuō)從前山上有座廟……”通過(guò)實(shí)例初步感知“不斷重復(fù)”，再引出“循環(huán)”的概念。又如，在教學(xué)“銳角、直角、鈍角”的概念時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)兒歌“銳角銳角比直角小、鈍角鈍角比直角大”來(lái)記住“銳角、直角、鈍角”的特點(diǎn)。再如，在教學(xué)“年、月、日”時(shí)，可以讓學(xué)生朗讀記大、小月的歌訣：“一、三、五、七、八、十、臘，三十一天永不差。四、六、九、冬三十整，四個(gè)小月永不忘”“7個(gè)大月心中裝，七前單數(shù)七后雙，月大三十一，月小三十整”。這樣生動(dòng)形象的語(yǔ)言教學(xué)，不僅使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的興趣濃厚，更會(huì)帶給學(xué)生具體深刻的理解。
三、數(shù)學(xué)概念具體化
有句話說(shuō)得好：“聽過(guò)不如看過(guò)，看過(guò)不如做過(guò)?！敝睦韺W(xué)家皮亞杰說(shuō)：“兒童的思維是從動(dòng)作開始的，切斷動(dòng)作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展?！毙W(xué)生以具體形象思維為主，因而在認(rèn)知過(guò)程中很難從教師的講授和得出的結(jié)論中獲取其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。從培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力中引導(dǎo)學(xué)生比較、分析、綜合，在感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象概括，既符合小學(xué)生由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡的特點(diǎn)，又能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)與學(xué)生動(dòng)手操作有著密切的關(guān)系，學(xué)生數(shù)學(xué)體驗(yàn)的獲取主要通過(guò)動(dòng)手操作?，F(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為，實(shí)際操作是兒童智力活動(dòng)的源泉。學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作引入概念，可以使抽象的概念具體化，使學(xué)生在動(dòng)手操作中認(rèn)識(shí)概念、理解概念、鞏固概念。
教學(xué)時(shí)，教師要使學(xué)生正確、清晰、完整地理解數(shù)學(xué)概念，就要讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，通過(guò)“畫一畫、折一折、量一量、擺一擺”，來(lái)獲得第一手感性材料，繼而抽象出概念。如教學(xué)《圓的認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師拿一細(xì)線拴一球，握住線的另一端使白球轉(zhuǎn)動(dòng)形成“圓”，讓學(xué)生初步感知圓是“到一定點(diǎn)為定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”，引出圓的概念。再讓學(xué)生動(dòng)手畫一個(gè)圓并將圓對(duì)折、再對(duì)折，折過(guò)若干次之后，讓學(xué)生觀察折痕并進(jìn)行討論。學(xué)生從討論中發(fā)現(xiàn)這些折痕相交于圓內(nèi)一點(diǎn)――即圓心。再讓學(xué)生量一量圓心到圓上任一點(diǎn)的長(zhǎng)度，知道了在同一個(gè)圓內(nèi)，所有的半徑都相等，同樣得出所有的直徑也都相等，從而掌握了圓的特征。這樣的教學(xué)，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，經(jīng)歷了“圓”的概念形成的全過(guò)程。又如在教學(xué)“長(zhǎng)度、重量”這些內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)“量一量、掂一掂、比一比”等形式，結(jié)合生活實(shí)際形成正確的概念表象；教學(xué)《秒的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，可以讓學(xué)生通過(guò)“做一做、寫一寫、數(shù)一數(shù)”等形式體驗(yàn)一秒的時(shí)間長(zhǎng)短，把秒的概念由抽象到具體，讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中形成正確、清晰的數(shù)學(xué)概念。在教學(xué)“認(rèn)識(shí)物體”這一內(nèi)容時(shí)，教師可以組織學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，合作交流。讓學(xué)生一起搭積木，在游戲中感知物體是有不同形狀的；再引導(dǎo)學(xué)生把其中一些物體進(jìn)行分類，依次觀察每類物體，然后分別抽象出長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球的直觀圖形，初步認(rèn)識(shí)這些形狀；再讓學(xué)生依次摸一摸，感知每類物體的主要特征，并在小組里說(shuō)一說(shuō)每類物體的特點(diǎn)，形成不同物體形狀的表象。學(xué)生通過(guò)積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷了觀察分類到形成表象的過(guò)程，加深了對(duì)不同形狀物體的認(rèn)識(shí)及數(shù)學(xué)概念的理解。
動(dòng)手操作不是目的，只是一種手段、方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注意引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作中進(jìn)行仔細(xì)觀察、分析，而且要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，真正實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)渡，完成從形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)變。
四、數(shù)學(xué)概念情境化
教學(xué)情境是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與生活實(shí)際的紐帶，是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁。一個(gè)好的教學(xué)情境能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，它所蘊(yùn)含的大量數(shù)學(xué)信息能給學(xué)生提供很多數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。因此，精心創(chuàng)設(shè)情境是提高教學(xué)有效性的一項(xiàng)重要教學(xué)策略。教師應(yīng)該在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)誘發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的教學(xué)情境，把學(xué)生的不隨意注意吸引到學(xué)習(xí)中來(lái)，引導(dǎo)他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題積極思考與探索，從而達(dá)到掌握知識(shí)、發(fā)展智能的目的。
例如，在教學(xué)《認(rèn)識(shí)人民幣》一課時(shí)，根據(jù)教材創(chuàng)設(shè)三個(gè)小朋友到商店購(gòu)物的活動(dòng)情境，讓學(xué)生模擬購(gòu)物。如買1元鉛筆時(shí)，使學(xué)生體會(huì)到“10角就是1元”，并通過(guò)數(shù)出10角的活動(dòng)，抽象出“1元=10角”。同時(shí)，讓學(xué)生在取幣、換幣、付幣、找?guī)诺然顒?dòng)中，認(rèn)識(shí)并熟悉人民幣，學(xué)會(huì)人民幣的簡(jiǎn)單計(jì)算，感受人民幣的實(shí)際價(jià)值，從情境活動(dòng)中認(rèn)識(shí)、理解人民幣的概念。又如《角的初步認(rèn)識(shí)》一課，一位教師創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：早晨上學(xué)的時(shí)候，粗心的“小馬虎”三角形把一條邊忘在了家里（多媒體展示中將三角形的一條邊移走），教師通過(guò)提問(wèn)引入課題“角的初步認(rèn)識(shí)”，為后面學(xué)習(xí)“角的概念”奠定基礎(chǔ)。在教學(xué)《找規(guī)律》一課時(shí)，教師可創(chuàng)設(shè)一個(gè)慶祝六一兒童節(jié)的情境，讓學(xué)生布置教室，有規(guī)律地掛汽球、燈籠、旗，男女同學(xué)有規(guī)律地排隊(duì)唱歌跳舞，學(xué)生有規(guī)律地拍掌等，讓學(xué)生在歡樂(lè)的活動(dòng)情境中認(rèn)識(shí)和理解“規(guī)律”，并形成概念。在教學(xué)《統(tǒng)計(jì)與可能》一課時(shí)，教師為學(xué)生設(shè)計(jì)了摸彩球游戲，即在袋中放入各色小球讓學(xué)生逐一去摸，并統(tǒng)計(jì)結(jié)果。接著教師追問(wèn)學(xué)生出現(xiàn)這樣結(jié)果的原因，學(xué)生便展開熱烈的討論，課堂上知識(shí)的傳授也水到渠成了。這樣引入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生主動(dòng)去探究對(duì)稱圖形的共同特征。在《長(zhǎng)、短》的教學(xué)中，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)故事情境激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣：“國(guó)慶節(jié)快到了，智慧爺爺特意為我們帶來(lái)了許多禮品袋，你們想知道里面裝了些什么東西嗎？?jī)蓚€(gè)人一袋，把它們倒出來(lái)看看?！边@樣一來(lái)，既充分抓住了學(xué)生的好奇心，又能使學(xué)生迅速地進(jìn)入最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)。為了進(jìn)一步激起學(xué)生參與學(xué)習(xí)體驗(yàn)的熱情，當(dāng)學(xué)生倒出袋子里的尺子、鉛筆、彩紙之際，可以又一次利用兒童好動(dòng)好玩的天性，用一句“請(qǐng)大家擺一擺，看看你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么”來(lái)創(chuàng)設(shè)一個(gè)寬松的課堂氣氛，讓學(xué)生在動(dòng)中玩，樂(lè)中學(xué)，從而使學(xué)生全身心地參與到學(xué)習(xí)中，在歡樂(lè)的情境活動(dòng)中掌握“長(zhǎng)、短”的概念。
再如，在教學(xué)《圓的認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)”的情境，讓不同的動(dòng)物騎上不同形狀車輪的賽車，讓學(xué)生猜想誰(shuí)得了第一名，討論：“人們把車輪做成圓的，為什么不做成三角形、橢圓形或方的？”學(xué)生對(duì)這種貼近生活的問(wèn)題很感興趣，就會(huì)運(yùn)用已學(xué)知識(shí)來(lái)思考和分析，最后得出結(jié)論，對(duì)圓的概念也有了更深刻的理解。這樣的教學(xué)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中處處感受著教師精心創(chuàng)設(shè)的情境，他們的思維被充分激活，能積極地對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索與思考，不斷產(chǎn)生新穎、獨(dú)到的見解。
[存在問(wèn)題]
小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段的概念包羅萬(wàn)象，它們有的需要用一定的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，有的需要一定的概括能力，有的又需要一定的抽象思維，掌握起來(lái)并不那么容易了。在第一學(xué)段的概念教學(xué)中存在著如下幾方面問(wèn)題：
來(lái)自學(xué)生的：對(duì)于第一學(xué)段的孩子來(lái)說(shuō)，其抽象思維能力較弱，對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解和表達(dá)有一定的難度，而這將直接影響孩子們對(duì)概念的鞏固和運(yùn)用。
來(lái)自教師的：教師對(duì)數(shù)學(xué)概念本身就沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的、清晰的認(rèn)識(shí)，只是跟著教材、教參走，結(jié)果在某些問(wèn)題上自己也拿捏不準(zhǔn)，自然會(huì)使得孩子們數(shù)學(xué)概念越來(lái)越不確定，越來(lái)越糊涂。同時(shí)由于課堂教學(xué)在空間、時(shí)間上的限制，使得概念教學(xué)顯得枯燥、乏味，教學(xué)也往往只浮于表面。
來(lái)自概念本身的：數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，具有抽象概括性；數(shù)學(xué)概念又是以語(yǔ)言和符號(hào)為中介的，這和我們對(duì)生活的理解是不同的，造成了生活概念和數(shù)學(xué)概念的混淆。比如大部分孩子對(duì)于“角”就僅停留在角的頂點(diǎn)上，并需要依托具體的實(shí)物才能進(jìn)行描述，而數(shù)學(xué)中的“角”則是“角是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的幾何圖形”，這對(duì)于孩子們來(lái)說(shuō)是費(fèi)勁的。
[解決策略]
怎樣讓這些枯燥、抽象的概念變得生動(dòng)有趣，使課堂教學(xué)更有效，減輕孩子們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，讓概念在孩子們心中得到完美內(nèi)化呢？或許我們可以從以下幾方面入手。
一、概念的引入講述宜直觀形象
針對(duì)第一學(xué)段孩子的抽象思維能力較弱，對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的概念理解較為困難，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該多用形象的描述，創(chuàng)設(shè)有趣的問(wèn)題情境，打些合理的比方等，努力讓孩子們理解所學(xué)概念，可以采用以下一些方式來(lái)進(jìn)行教學(xué)。
夸張的手勢(shì)，豐富的肢體語(yǔ)言，理解運(yùn)算所蘊(yùn)含的意義，區(qū)分概念的差別。在讓一年級(jí)的孩子認(rèn)識(shí)加減法的時(shí)候，我舉起雙手像音樂(lè)指揮家一樣，左邊一部分，右邊一部分，兩部分合在一起就用加號(hào)，加號(hào)就是橫一部分，豎一部分組起來(lái)的，減法則反過(guò)來(lái)展示。孩子們看得有趣，記得形象，不但記住了加減號(hào)還明白了加減號(hào)的用法。在教二年級(jí)孩子感受厘米和米時(shí)，我讓孩子們學(xué)會(huì)用手勢(shì)來(lái)表示1厘米和1米，使得孩子們?cè)诠烙?jì)具體物體的長(zhǎng)度時(shí)有據(jù)可依。形象生動(dòng)的講解，讓孩子們自然接受數(shù)學(xué)符號(hào)。教師的語(yǔ)言講解也要力求符合學(xué)生實(shí)際，特別是第一次描述時(shí)，教師一定要斟字酌句地用孩子能理解的語(yǔ)言盡可能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔地描述。因?yàn)閷?duì)于第一次接觸新概念的孩子們來(lái)說(shuō)，第一印象是最為深刻的。當(dāng)然在適當(dāng)?shù)?/p>
時(shí)候我們也可以選擇讓孩子們根據(jù)自己的理解來(lái)說(shuō)一說(shuō)來(lái)試著對(duì)概念進(jìn)行解釋，一方面同齡人的解釋會(huì)讓孩子們概念的理解更為容易；另一方面也可以鍛煉一下孩子的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。我們要記?。汉⒆觽兊臄?shù)學(xué)概念應(yīng)該是逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的（當(dāng)然要避免不必要的重復(fù)），以符合學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律。很多時(shí)候第一學(xué)段的孩子對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)概念，只要能意會(huì)不必強(qiáng)求定要學(xué)會(huì)言傳。
二、概念的學(xué)習(xí)宜多感官參與
心理學(xué)家皮亞杰指出：“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開始?！睍系臄?shù)學(xué)概念是平面的，現(xiàn)實(shí)卻是豐富多彩的，照本宣科，簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)自然無(wú)法讓這些數(shù)學(xué)概念成為孩子們數(shù)學(xué)知識(shí)的堅(jiān)固基石。如果我們能夠讓孩子們的多種感官參與學(xué)習(xí)，讓平面的書本知識(shí)變得多維、立體，讓孩子們的感覺(jué)和思維同步，相信能取得很好的教學(xué)效果。
教學(xué)《認(rèn)識(shí)鐘表》時(shí)，鑒于時(shí)間是一個(gè)非常抽象的概念，時(shí)間單位具有抽象性，時(shí)間進(jìn)率具有復(fù)雜性，所以在教學(xué)時(shí)我以學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生通過(guò)具體感知，調(diào)動(dòng)孩子的多種感官參與學(xué)習(xí)，在積累感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，建立時(shí)間觀念，安排了以下一些教學(xué)環(huán)節(jié)。1.動(dòng)耳聽故事，調(diào)動(dòng)情感引入。講了一個(gè)發(fā)生在孩子們身邊的故事：豆豆由于不會(huì)看時(shí)間，結(jié)果錯(cuò)過(guò)了最愛(ài)看的動(dòng)畫片。2.動(dòng)眼看鐘面，聽介紹，初步了解鐘面，形成“時(shí)、分”概念。動(dòng)畫是孩子們的最愛(ài)，讓鐘表爺爺來(lái)介紹鐘面、時(shí)針、分針，生動(dòng)有趣的講解，讓孩子們的心立刻專注地進(jìn)行于課堂上。3.動(dòng)嘴說(shuō)時(shí)間，喜好分明。4.動(dòng)手撥時(shí)間。5.動(dòng)腦畫時(shí)間（此時(shí)在前幾項(xiàng)練習(xí)的基礎(chǔ)上增加了一定難度，如出示一些沒(méi)有數(shù)字的鐘面，只有12、3、6、9四
點(diǎn)的鐘面，讓孩子們對(duì)時(shí)針、分針的位置進(jìn)行估計(jì)）。
通過(guò)這些活動(dòng)，使孩子們口、手、耳、腦并用，自主地鉆入到數(shù)學(xué)知識(shí)的探究中去，讓時(shí)間從孩子們的生活中伶伶俐俐地變成數(shù)學(xué)知識(shí)，形成了數(shù)學(xué)概念。同時(shí)也讓學(xué)生充分展示自己的思維過(guò)程，展現(xiàn)自己的認(rèn)識(shí)個(gè)性，從而使課堂始終處于一種輕松、活躍的狀態(tài)。
另外，教師在教學(xué)的過(guò)程中也應(yīng)該對(duì)所教概念的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，今后的發(fā)展（落腳點(diǎn)）有一個(gè)全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，才能使得所教概念不再那么單薄，變得厚重起來(lái)。孩子對(duì)概念的來(lái)龍去脈有一個(gè)更清晰完整的了解，理解起來(lái)也就變得輕松。
如果我們能讓一個(gè)概念變得豐滿，變得多彩，讓它能從書的平面描述中凸現(xiàn)出來(lái)，那么孩子們掌握概念的過(guò)程便也會(huì)變得立體、多維，他們的學(xué)習(xí)過(guò)程也就變得積極、主動(dòng)，而這不正是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需要的嗎？
三、概念的練習(xí)宜生動(dòng)有趣
第一學(xué)段初期的孩子從心理狀態(tài)上來(lái)說(shuō)較難適應(yīng)學(xué)校的教學(xué)生活，在學(xué)習(xí)中總是會(huì)感到疲勞乏味，碰到相對(duì)枯燥的概念教學(xué)時(shí)這種疲憊更是由內(nèi)而外。德國(guó)教育家福祿培爾在其代表作《幼兒園》中認(rèn)為，游戲活動(dòng)是兒童活動(dòng)的特點(diǎn)，游戲和語(yǔ)言是兒童生活的組成因素，通過(guò)各種游戲，組織各種有效的活動(dòng)，兒童的內(nèi)心活動(dòng)和內(nèi)心生活將會(huì)變?yōu)楠?dú)立的、自主的外部自我表現(xiàn)，從而獲得愉快、自由和滿足。將游戲用于教學(xué)，將能使兒童由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)，積極地汲取知識(shí)。
游戲、活動(dòng)是孩子們的最愛(ài)，讓他們?cè)谟螒蚧顒?dòng)中獲取知識(shí)，這樣的知識(shí)必定是美好而快樂(lè)的。有了這樣的感覺(jué)，孩子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣一定是濃厚的，我們?cè)僮寯?shù)學(xué)的魅力適度展示，讓他們感覺(jué)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不但是一件輕松、快樂(lè)的事更是一件有意義的事。我想他們繼續(xù)進(jìn)行探索、學(xué)習(xí)新知的動(dòng)力就來(lái)自于此了。
四、概念的拓展宜實(shí)在有效
美國(guó)實(shí)用主義哲學(xué)家、教育家杜威從他的“活動(dòng)”理論出發(fā)，強(qiáng)調(diào)兒童“從做中學(xué)”“從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)”，讓孩子們?cè)谥鲃?dòng)作業(yè)中運(yùn)用思想、產(chǎn)生問(wèn)題、促進(jìn)思維和取得經(jīng)驗(yàn)。確實(shí)，在一些親力親為的數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)中，孩子們表現(xiàn)出了一種自然的主動(dòng)的學(xué)習(xí)情緒。他們以充沛的精力在這些小實(shí)驗(yàn)、小研究中主動(dòng)地討論所發(fā)生的事，想出種種方案去解決問(wèn)題，使智力獲得了充分的應(yīng)用和發(fā)展。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，設(shè)計(jì)一些孩子能力所能致的小研究活動(dòng)，可以讓孩子對(duì)這些抽象的數(shù)學(xué)概念得到進(jìn)一步體驗(yàn)、內(nèi)化，得到課堂教學(xué)所不能抵達(dá)的效果。
關(guān)鍵詞：概念；概念教學(xué)；概念屬性；教學(xué)策略；無(wú)理數(shù)
中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2013）01-062-01
一、數(shù)學(xué)概念教與學(xué)的研究意義
概念可以使人們?cè)跊](méi)有直接經(jīng)驗(yàn)的條件下獲抽象觀念，而這些觀念可以用于新的情景分類，也可以用做同化或發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的固著點(diǎn)，同時(shí)概念之間可以組成具有潛在意義的命題，因此，概念的學(xué)習(xí)是最重要的學(xué)習(xí)課題之一。
二、無(wú)理數(shù)概念教與學(xué)案例分析
在無(wú)理數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，在引入無(wú)理數(shù)的概念時(shí)候，先通過(guò)計(jì)算√2的值，用計(jì)算器計(jì)算√2=1.414213562，用平方關(guān)系驗(yàn)算所得結(jié)果為1.999999999，所以計(jì)算得的是近似數(shù)，用計(jì)算機(jī)算的√2是個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。那么√2到底是怎樣的一個(gè)數(shù)呢？有沒(méi)有具體的數(shù)值呢？可以說(shuō)懸念的設(shè)置也是教學(xué)中很技巧的一個(gè)環(huán)節(jié)。
無(wú)理數(shù)是新名詞，在給出無(wú)理數(shù)的概念前可先講無(wú)理數(shù)的典故，更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2500多年前，古希臘有一位偉大的數(shù)學(xué)家——畢達(dá)哥拉斯。在數(shù)學(xué)史上，畢達(dá)哥拉斯最偉大的貢獻(xiàn)就是發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”。其后不久，希巴斯通過(guò)勾股定理，發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)度并不是有理數(shù)。這下可惹禍了。因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯一向認(rèn)為“萬(wàn)物兼數(shù)”，而他所說(shuō)的“數(shù)”，僅僅是整數(shù)與整數(shù)之比。當(dāng)希巴斯提出他的發(fā)現(xiàn)之后，畢達(dá)哥拉斯大吃一驚，原來(lái)世界上真的有“另類數(shù)”存在。
畢達(dá)哥拉斯無(wú)法承受自己的理論將被，于是他下令：“關(guān)于另類數(shù)的問(wèn)題，只能在學(xué)派內(nèi)部研究，一律不得外傳，違者必究?！笨墒窍０退钩鲇趯?duì)科學(xué)的尊重，并沒(méi)有根據(jù)老師的指令嚴(yán)守秘密，而是把他的發(fā)現(xiàn)公之于眾了。這一舉動(dòng)，令畢達(dá)哥拉斯怒不可遏，他下令嚴(yán)懲希巴斯。希巴斯不得不駕船出逃，結(jié)果還是被追上來(lái)的人活捉，擲進(jìn)了大海。然而，真理畢竟是淹沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希巴斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無(wú)理數(shù)”——這便是“無(wú)理數(shù)”的由來(lái)。
減少無(wú)關(guān)屬性的數(shù)量，可以比較容易的學(xué)得概念，在無(wú)理數(shù)的教學(xué)時(shí)，提出下面兩點(diǎn)無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)該注意的幾點(diǎn)，
1、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)，應(yīng)滿足：（1）是小數(shù)；（2）是無(wú)限小數(shù)；（3）不循環(huán) 。
2、聽完了典故，知道為什么要學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)：無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)的重要組成部分，如果沒(méi)有無(wú)理數(shù)，數(shù)學(xué)的研究就不能發(fā)展，就連生活、生產(chǎn)中的一些實(shí)際問(wèn)題都不能解決.如正方形的邊長(zhǎng)為1米，它的對(duì)角線長(zhǎng)是多少米呢？此時(shí)如果沒(méi)有無(wú)理數(shù)，那么誰(shuí)也回答不了。
有了無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)，我們可以應(yīng)該抓住概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)行分類比較，正確地形成數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生自覺(jué)地掌握數(shù)學(xué)概念。教師必須充分揭示矛盾，善于提出巧妙的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，才能搞好概念教學(xué)。在形成概念時(shí)，教師還要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、分析、綜合、抽象、概括等方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行定義、分類和正確表達(dá)等能力，以廣度求深度，在尋找一事物與他事物的關(guān)聯(lián)中不斷深化認(rèn)識(shí)。
三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略分析
無(wú)理數(shù)的教學(xué)中，抽象而又全新的名詞雖容易激發(fā)學(xué)生的求知欲望，但更多的是因無(wú)法理解而產(chǎn)生焦慮情緒，甚至放棄學(xué)習(xí)這個(gè)概念，典故的引入正是為了解決這一點(diǎn)，但是典故并非單純的在講故事，重點(diǎn)在于無(wú)理數(shù)這一概念有什么特點(diǎn)，為什么要引入無(wú)理數(shù)，數(shù)學(xué)的抽象概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，為什么要學(xué)習(xí)比怎樣學(xué)習(xí)更重要，而且概念的學(xué)習(xí)技能隨年齡的增長(zhǎng)而發(fā)展的，概念的抽象程度應(yīng)該與學(xué)生的思維發(fā)展水平想適應(yīng)。怎樣講無(wú)理數(shù)講得通俗易懂是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)了。在教與學(xué)的同步進(jìn)行中，反饋是互相了解的一個(gè)重要手段，尤其是學(xué)生的反饋，教師可以通過(guò)學(xué)生的反饋了解學(xué)生的理解程度以及當(dāng)前的知識(shí)結(jié)構(gòu)反饋越完整，學(xué)習(xí)的效果越好。學(xué)生能經(jīng)常意識(shí)到自己的學(xué)習(xí)進(jìn)程，知道錯(cuò)誤和正確的原因，將有助于概念學(xué)習(xí)。
關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) 概念 教學(xué)
新課標(biāo)指出，我們要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展推理能力和初步的演繹推理能力。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程就是一個(gè)不斷地運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過(guò)程。要掌握正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，既依賴于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知狀況，又依賴于教師的教學(xué)措施。針對(duì)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和對(duì)概念掌握的物點(diǎn)來(lái)看，在概念教學(xué)中要采用一定的教學(xué)策略，以下就略談我在這方面的點(diǎn)滴體會(huì)。
一、從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)引入概念。
生活中有許多地方用到了數(shù)學(xué)，通過(guò)實(shí)物、教具、學(xué)具讓學(xué)生觀察、演示或操作來(lái)闡明概念，可以收到良好的效果。如讓學(xué)生只用一把直尺畫一個(gè)圓，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)考驗(yàn)。用圓規(guī)學(xué)生都能畫圓，用一根線固定于一點(diǎn)也能畫一個(gè)圓，那么為什么要求學(xué)生用一把直尺來(lái)畫圓呢？這就是滲透圓的定義，雖然在小學(xué)階段很多數(shù)學(xué)概念是描述性的，但也要盡可能的讓學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)更有利于知識(shí)建構(gòu)。通過(guò)這樣的操作，會(huì)在學(xué)生頭腦中留下這樣的表象：圓就是所有到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。哪怕學(xué)生無(wú)法用語(yǔ)言來(lái)表述，但是頭腦中有了這樣的表象對(duì)后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)是相當(dāng)有利的。
二、以舊概念的復(fù)習(xí)引入新概念。
一個(gè)概念并不是孤立的，它總是處在一定的概念系統(tǒng)中，處在與其它概念的相互聯(lián)系中，學(xué)生的學(xué)習(xí)都是通過(guò)概念同化習(xí)得新概念的。學(xué)習(xí)復(fù)雜概念之前，先學(xué)習(xí)更一般更簡(jiǎn)單的概念（即上位概念），以這個(gè)上位概念作為新概念的的先行組織者，聯(lián)系學(xué)生已學(xué)過(guò)的有關(guān)概念來(lái)闡明新概念的是教學(xué)的重要方法之一。如利用整除的概念闡明約數(shù)與倍數(shù)的概念。在公約數(shù)與公倍數(shù)的概念中，再添上“最大”、“最小”的限制，而得出最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念。
實(shí)踐表明，用先前的一個(gè)概念推導(dǎo)出新的概念，這樣的既能使學(xué)生較好地理解新的概念，又能使知識(shí)結(jié)構(gòu)形成的更完善，學(xué)生掌握得更牢固，更重要的是幫助學(xué)生樹立起聯(lián)系的思維方法，形成邏輯思維能力。
三、抓住本質(zhì)，講清概念。
要使學(xué)生理解和掌握概念，關(guān)鍵在于揭示概念的本質(zhì)特征，也就是反映事物的根本屬性及其主要表現(xiàn)，是該事物區(qū)別于其他事物或該概念區(qū)別于其他概念的根本之處。有些老師常埋怨學(xué)生知識(shí)學(xué)得死，不會(huì)靈活運(yùn)用，究其原因就是學(xué)生沒(méi)有很好地把握概念的本質(zhì)。如有些學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)必須是端端正正，成水平型的，當(dāng)變換位置后就和他們理解平行四邊形的概念相抵觸了，分析造成這種情況的原因和教師提供事例的方式有關(guān)，呈現(xiàn)給學(xué)生的都是這樣固定不變的平行四邊形，就使學(xué)生不易區(qū)別平行四邊形的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，而把非本質(zhì)的屬性也納入到概念的內(nèi)涵中去。
因此教師要在講清概念時(shí)要十分準(zhǔn)確地講清概念的含義。有些性質(zhì)、法則和公式中包含著的某些基礎(chǔ)概念，辦中一個(gè)詞，但它所表示的含義也是極其明確的，在教學(xué)中要特別注意把這些含義準(zhǔn)確而清晰地表達(dá)出來(lái)。抓住關(guān)鍵講解概念，就能使學(xué)生明確新概念的本質(zhì)屬性及它的意義。如在教學(xué)分?jǐn)?shù)意義時(shí)就要強(qiáng)調(diào)“平均分”。
教師還要恰當(dāng)?shù)刂v清概念的運(yùn)用范圍。如2是質(zhì)數(shù)但不能說(shuō)它是一個(gè)質(zhì)因數(shù)，只能說(shuō)它是某個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。又如在用字母表示數(shù)時(shí)，爸爸的年齡用A表示，小明的年齡用A―28表示，這里A并不能表示任意一個(gè)數(shù)，而是有一定的范圍的。
四、分析比較，區(qū)別異同。
有些概念表面看起來(lái)有類似之處，實(shí)際上似是而非，能過(guò)對(duì)比本質(zhì)屬性，使學(xué)生弄清它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，可以加深對(duì)概念的理解。如質(zhì)數(shù)與質(zhì)因數(shù)、互質(zhì)數(shù)、數(shù)位與位數(shù)、整除與除盡等概念十分相似和相近，教學(xué)時(shí)要通過(guò)各種情況的反復(fù)比較，指明它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生掌握概念實(shí)質(zhì)。又如在教學(xué)小數(shù)的性質(zhì)――“在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零，小數(shù)的大小不變，”這里“小數(shù)的末尾”就不能說(shuō)成是“小數(shù)點(diǎn)后面”，也不能說(shuō)成是“小數(shù)部分”?！澳┪病边@個(gè)概念是“最后”的意思。
在運(yùn)用對(duì)比法教學(xué)時(shí)，采有變式也是一種很好的方法，能過(guò)變式教學(xué)可以使學(xué)生排除概念中非本質(zhì)特征，學(xué)生能抓住本質(zhì)特征，才能增強(qiáng)運(yùn)用概念的靈活性。如在出示幾何圖形時(shí)位置要變化，不要讓其“經(jīng)典式出場(chǎng)”。
當(dāng)然在使用比較的方法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，必須在這個(gè)概念已經(jīng)建立得比較清楚、牢固的基礎(chǔ)上，再引入其他相關(guān)概念進(jìn)行比較。否則，不僅不會(huì)加深學(xué)生對(duì)概念的理解，反而容易產(chǎn)生混淆現(xiàn)象。
五、啟發(fā)思維，歸納概括。
有的學(xué)生邏輯思維能力差，習(xí)慣于死記硬背，做習(xí)題時(shí)，只能依樣畫葫蘆，遇到問(wèn)題的條件或形式稍有變化，就束手無(wú)策，因此在概念教學(xué)中要注意發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生自己去獲得知識(shí)的能力。如在教學(xué)梯形的認(rèn)識(shí)時(shí)，可以將平行四邊形與梯形放在一起，通過(guò)讓學(xué)生分類的方法來(lái)體會(huì)到梯形就是只有一組對(duì)邊平行的四邊形。學(xué)生經(jīng)歷了這樣的探索過(guò)程，形成了清晰的概念并提高了解決問(wèn)題的能力。
六、前后聯(lián)系，因“時(shí)”施教。
教學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性與系統(tǒng)性。有些概念之間的聯(lián)系起來(lái)十分緊密，后者以前者為基礎(chǔ)，從已有的概念引出新概念。有些概念隨著知識(shí)的逐步積累，認(rèn)識(shí)的逐步深入，而趨向于完善。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)系教材按照兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律和教學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，把教學(xué)內(nèi)容劃分為幾個(gè)階段，每個(gè)階段有每個(gè)階段的不同要求，有每個(gè)階段各自的重點(diǎn)，這就決定了概念教學(xué)的階段性。
如對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，一年級(jí)學(xué)生就接觸過(guò)了，只要在幾具圖形中能找到圓就行了；到六年級(jí)再認(rèn)識(shí)就更深一步了，了解圓的各部分名稱和它們之間的關(guān)系，并進(jìn)行求圓的周長(zhǎng)與面積的計(jì)算教學(xué)；到中學(xué)階段還要學(xué)圓的有關(guān)知識(shí)，這時(shí)候?qū)Φ膱A的定義是：圓是所有到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。又如商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)這三個(gè)基本性質(zhì)，形式不一樣，但本質(zhì)屬性是相通的。如果不注意前階段的教學(xué)內(nèi)容和要求，講后階段的內(nèi)容時(shí)，就不能把新舊知識(shí)有機(jī)地銜接起來(lái)，融會(huì)貫通；如果不了解后階段的教學(xué)內(nèi)容要求，講前面的概念就不可能講到恰在此時(shí)當(dāng)好處，也容易把概念講死。
七、溫故知新，形成系統(tǒng)。
