發(fā)布時(shí)間：2023-03-21 17:08:57
序言：寫作是分享個(gè)人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的高等數(shù)學(xué)論文樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)；應(yīng)用
IntegrationofMathematicsModelingThoughtintheHigherMathematicsTeaching
ZHANGMing1,HUWen-yi2,WANGXia1
(1.DepartmentofBasicsofComputerScience，ChengduMedicalCollege，Chengdu610083，China；2.ChengduUniversityofTechnology，Chengdu610059，China)
Abstract：Thepurposeofstudyinghighermathematicsistosolvepracticalproblemswiththemathematicsmethod.Itwillimprovethestudent''''sthought,knowledgeandtheabilitytosolvepracticalproblemsbyintegratingthemathematicalmodelinginhighermathematicsteaching.
Keywords：highermathematics；mathematicalModeling；teaching；application
1引言
數(shù)學(xué)教學(xué)貫穿了小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)等諸階段的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)了學(xué)生以高度抽象的方式來學(xué)習(xí)、理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的能力［1］。從基本的概念和定義出發(fā)，簡練地、合乎邏輯地推演出結(jié)論的教學(xué)過程，是學(xué)生逐漸形成縝密思維方式的過程。但不可否認(rèn)的是，在醫(yī)用高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，卻因?yàn)槟承┰蛑率共糠謱W(xué)生是為了“學(xué)數(shù)學(xué)”而學(xué)數(shù)學(xué)，導(dǎo)致興趣索然，對數(shù)學(xué)望而生畏；或者雖然對常規(guī)的數(shù)學(xué)題目“見題就會，一做就對”，但是對發(fā)生在身邊的實(shí)際問題，卻無法引進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想、思路以及基本方法，建立正確的數(shù)學(xué)模型。因此為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次的應(yīng)用性人才［1］，怎樣將數(shù)學(xué)建模思想貫穿于醫(yī)用高等數(shù)學(xué)的整個(gè)教學(xué)過程中，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。
2對數(shù)學(xué)建模在培養(yǎng)學(xué)生能力方面的認(rèn)識
數(shù)學(xué)建模是一種微小的科研活動，它對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作無疑會有深遠(yuǎn)的影響，同時(shí)它對學(xué)生的能力也提出了更高的要求［2］。數(shù)學(xué)建模思想的普及，既能提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和合作意識，也能促進(jìn)高校課程建設(shè)和教學(xué)改革，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲和創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)建模教學(xué)著眼于培養(yǎng)大學(xué)生具有如下能力：
2.1培養(yǎng)“表達(dá)”的能力，即用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出通過一定抽象和簡化后的實(shí)際問題，以形成數(shù)學(xué)模型(即數(shù)學(xué)建模的過程)。然后應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行推演或計(jì)算得到結(jié)果，并用較通俗的語言表達(dá)出結(jié)果。
2.2培養(yǎng)對已知的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行綜合應(yīng)用的能力，形成各種知識的靈活運(yùn)用與創(chuàng)造性的“鏈接”。
2.3培養(yǎng)對實(shí)際問題的聯(lián)想與歸類能力。因?yàn)閷τ诓簧偻耆煌膶?shí)際問題，在一定的簡化與抽象后，具有相同或相似的數(shù)學(xué)模型，這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的表現(xiàn)。
2.4逐漸發(fā)展形成洞察力，也就是說一眼抓住(或部分抓住)要點(diǎn)的能力。
3有關(guān)數(shù)學(xué)建模思想融入醫(yī)學(xué)生高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個(gè)事例3.1在關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想
在講導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，給出引例：求變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度［3,4］，在求解過程中融入建模思想，與學(xué)生一起體會模型的建立過程及解決問題的思想方法。通過師生共同分析討論，有如下模型建立過程：
3.1.1建立時(shí)刻t與位移s之間的函數(shù)關(guān)系：s=s(t)。
3.1.2平均速度近似代替瞬時(shí)速度。根據(jù)已有知識，僅能解決勻速運(yùn)動瞬時(shí)速度的問題，但可以考慮用某段時(shí)間中的平均速度來近似代替這段時(shí)間中某時(shí)刻的瞬時(shí)速度。對于勻速運(yùn)動，平均速度υ是一常數(shù)，且為任意時(shí)刻的速度，于是問題轉(zhuǎn)化為：考慮變速直線運(yùn)動中瞬時(shí)速度和平均速度之間的關(guān)系。我們先得到平均速度。當(dāng)時(shí)間由t0變到t0+Δt時(shí)，路程由s0=s(t0)變化到s0+Δs=s(t0+Δt)，路程的增量為：Δs=s(t0+Δt)－s(t0)。質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)間段Δt內(nèi)，平均速度為：
υ=Δs/Δt=s(t0+Δt)－s(t0)/Δt(1）
當(dāng)Δt變化時(shí)，平均速度也隨之變化。
3.1.3引入極限思想，建立模型。質(zhì)點(diǎn)M作變速運(yùn)動，由式（1）可知，當(dāng)｜Δt｜較小時(shí)，平均速度υ可近似看作質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的“瞬時(shí)速度”。顯然，當(dāng)｜Δt｜愈小，其近似程度愈好，引入極限的思想來表示｜Δt｜愈小，即：Δt0。當(dāng)Δt0時(shí)，若趨于確定值（即極限存在），該值就是質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度υ，于是得出如下數(shù)學(xué)模型：
υ=limΔt0υ=limΔt0Δs/Δt=limΔt0s(t0+Δt)－s(t0）/Δt
要求解這個(gè)模型，對于簡單的函數(shù)還比較容易計(jì)算，而對于復(fù)雜的函數(shù)，極限值很難求出。但觀察到，當(dāng)拋開其實(shí)際意義僅從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看，這個(gè)數(shù)學(xué)模型實(shí)際上表示函數(shù)的增量與自變量增量比值、在自變量增量趨近于零時(shí)的極限值，我們把這種形式的極限定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。有了導(dǎo)數(shù)的定義，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和相關(guān)的求導(dǎo)法則，前面的這個(gè)模型就從求復(fù)雜函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為單純求導(dǎo)數(shù)的問題，從而很容易求解。
3.2在定積分定義及其應(yīng)用教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想對于理解與掌握定積分定義及其在幾何、物理、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的應(yīng)用，關(guān)鍵在于對“微元法”的講解。而要掌握這個(gè)數(shù)學(xué)模型，就一定要理解“以不變代變”的思想。以單位時(shí)間內(nèi)流過血管截面的血流量為例，我們來具體看看這個(gè)模型的建立與解決實(shí)際問題的整個(gè)思想與過程。
假設(shè)有一段長為l、半徑為R的血管，一端血壓為P1，另一端血壓為P2(P1＞P2)。已知血管截面上距離血管中心為γ處的血液流速為
V(r)=P1－P2/4ηl(R2－r2)
式中η為血液粘滯系數(shù)，求在單位時(shí)間內(nèi)流過該截面的血流量［3,4］（如圖1（a））。
圖1
Fig.1
要解決這個(gè)問題，我們采用數(shù)學(xué)模型：微元法。
因?yàn)檠菏怯姓承缘?，?dāng)血液在血管內(nèi)流動時(shí)，在血管壁處受到摩擦阻力，故血管中心流速比管壁附近流速大。為此，將血管截面分成許多圓環(huán)來討論。
建立如圖1（b）坐標(biāo)系，取血管半徑γ為積分變量，γ∈［0,R］于是有如下建模過程：
①分割：在其上取一個(gè)小區(qū)間［r,r+dr］，則對應(yīng)一個(gè)小圓環(huán)。
②以“不變代變”（近似）：由于dr很小，環(huán)面上各點(diǎn)的流速變化不大，可近似看作不變，所以可用半徑為r處圓周上流速V(r)來近似代替。此圓環(huán)的面積也可以近似看作以圓環(huán)周長2πr為長，dr為寬的矩形面積2πrdr，則該圓環(huán)內(nèi)的血流量可近似為：ΔQ≈V（r）2πrdr，則血流量微元為：dQ=V(r)2πrdr
③求定積分：單位時(shí)間內(nèi)流過該截面的血流量為定積分：Q＝R0V(r)2πrdr。
以上實(shí)例，體現(xiàn)了微元法先分割，再近似，然后求和，最后取極限的建模過程，并成功把所求量表示成了定積分的形式，最終可以應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識求出所求量的建模思想。
4結(jié)語
高等數(shù)學(xué)課的中心內(nèi)容并不是建立數(shù)學(xué)模型，我們只是通過數(shù)學(xué)建模強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理論知識的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性和主動性。所以在授課時(shí)應(yīng)從簡潔、直觀、結(jié)合實(shí)際入手，達(dá)到既有助于理解教學(xué)內(nèi)容，又可以通過對實(shí)際問題的抽象、歸納、思考，用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識給予解決。所選的模型，最好盡可能結(jié)合醫(yī)學(xué)實(shí)際問題，且具一定的趣味性，從而使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活實(shí)際，又應(yīng)用于生活實(shí)際之中，以激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的決心，提高他們應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力［5］。
總之，高等數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其專業(yè)課打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，可使學(xué)生的想象力、洞察力和創(chuàng)造力得到培養(yǎng)和提高的同時(shí)，也提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、知識、方法解決實(shí)際問題的能力。
【參考文獻(xiàn)】
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從長遠(yuǎn)發(fā)展的角度看，這一改變是非常有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和進(jìn)步的。數(shù)學(xué)是一門非常具有邏輯性和連續(xù)性的學(xué)科，對于高等代數(shù)來說尤為如此。所以在學(xué)生高等代數(shù)的學(xué)習(xí)上，更不能出現(xiàn)高中老師認(rèn)為“這是大學(xué)老師該講的內(nèi)容”、而大學(xué)老師卻認(rèn)為“這是高中已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容”的現(xiàn)象發(fā)生。這對于學(xué)生來講是非常不負(fù)責(zé)任的。所以我們應(yīng)該正確的看待新課改所給高中數(shù)學(xué)中的高等代數(shù)帶來的影響，改變是進(jìn)步的必經(jīng)之路，只有不斷創(chuàng)新，才能不斷發(fā)展。
二、新課改對于高中高等代數(shù)學(xué)習(xí)的影響分析
高中數(shù)學(xué)的新課改讓學(xué)生們對高等代數(shù)有了一定的初步認(rèn)識和了解，這對于大學(xué)所學(xué)的高數(shù)內(nèi)容來看有很大的鋪墊意義。多項(xiàng)式因式分解的理論與方法、線性方程組理論意義、行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用、矩陣與幾何變換、歐氏空間與中學(xué)幾何、向量的線性關(guān)系的幾何意義、集合與映射等等，這些有關(guān)高等代數(shù)的內(nèi)容的學(xué)習(xí)既可以向?qū)W生們展示高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思路和學(xué)習(xí)內(nèi)容，又可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)邏輯性的認(rèn)識，從而充分的發(fā)揮數(shù)學(xué)優(yōu)勢，利用高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法和邏輯思維去解決問題，提高學(xué)生的思想性和認(rèn)識性。在中學(xué)代數(shù)里，多項(xiàng)式中的x只能代表數(shù)，而在高等代數(shù)里，多項(xiàng)式中的文字x可作允許的各種解釋（如x可以代表矩陣、線性變換等）。再比如，線性空間中定義了一種加法運(yùn)算，它可以是數(shù)的加法，多項(xiàng)式的加法，矩陣的加法。在高等代數(shù)中，由于概念的高度抽象性，作為概念之間規(guī)律性聯(lián)系的定理，也一般是大量事實(shí)的高度概括。不管怎么說，高中數(shù)學(xué)為高等代數(shù)的許多學(xué)習(xí)內(nèi)容奠定了基石，同時(shí)，高等代數(shù)也讓高中數(shù)學(xué)知識在大學(xué)得到了深入的提高和延伸，并且有效地解釋了許多高中數(shù)學(xué)沒能解釋清的問題，從這一點(diǎn)上看，高中數(shù)學(xué)的新課改對于運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法指導(dǎo)高等代數(shù)教學(xué)具有非凡的現(xiàn)實(shí)意義。新課改對高等代數(shù)學(xué)習(xí)有明顯的有益影響，對于初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的融合，數(shù)學(xué)各部分的融合，幾何概念和算術(shù)概率的融合，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的融合，感性與理性的融合等，不僅在數(shù)學(xué)教育中，更是在整個(gè)現(xiàn)代化教育中為學(xué)生的德育和優(yōu)育做好的由學(xué)習(xí)思維引發(fā)的德操思維的轉(zhuǎn)化。當(dāng)然，有利必有弊，高中數(shù)學(xué)的新課改也會給高等代數(shù)的學(xué)習(xí)帶來一些弊端。由于在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容上所涉及到的高數(shù)知識凌亂而不系統(tǒng)，這會給高中學(xué)生本身的學(xué)習(xí)造成很大困擾。因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中，這些高等代數(shù)的知識不講來龍去脈、演變歸納，只是讓人利用公式解決問題，這一點(diǎn)上對于高中學(xué)生來說是一個(gè)很大的困難。高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容上對三角函數(shù)的內(nèi)容大幅度減少了，學(xué)生也很難去求解，而在大學(xué)時(shí)，高等代數(shù)求解必須重新學(xué)習(xí)三角函數(shù)，對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)造成很不利的影響。盡管課改還存在著不足和缺憾，但是相信隨著課改的深入和時(shí)代的發(fā)展，一定會變得更好，更有利于對學(xué)生的教育和啟發(fā)思考。
三、結(jié)束語
關(guān)鍵詞：高職教育；高等數(shù)學(xué)；課程建設(shè)
目前，中國的高職教育已進(jìn)入“大眾化”階段，其發(fā)展?fàn)顩r如何將直接關(guān)系到整個(gè)社會經(jīng)濟(jì)]的發(fā)展。而高職教育必須至少抓好三項(xiàng)建設(shè)，即實(shí)訓(xùn)基地建設(shè)、專業(yè)建設(shè)和課程建設(shè)，其中課程建設(shè)是基礎(chǔ)［1］。高職院校的課程建設(shè)雖然是以“飯碗課”為主，但是高等數(shù)學(xué)是高職院校的一門主要基礎(chǔ)課程，不僅為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實(shí)際問題提供了必不可少的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，而且也有助于培養(yǎng)學(xué)生思維、分析解決問題和自學(xué)的能力，以及使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方法；對于日后計(jì)算機(jī)運(yùn)用、數(shù)控機(jī)床和單片機(jī)編程能力等方面都將發(fā)揮著不可替代的功效。因此不管是從精品課程建設(shè)的需要，還是從提高教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生能力與素質(zhì)的角度來看，可以說高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的好壞在一定程度上直接影響后續(xù)課程的教學(xué)質(zhì)量。因此，要培養(yǎng)高質(zhì)量的人才，充分發(fā)揮高等數(shù)學(xué)課程在高職教育中的作用，就必須全面系統(tǒng)地做好高等數(shù)學(xué)的課程建設(shè)。
一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀
許多人以為，高等數(shù)學(xué)沒有什么用。這一想法的由來是對純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的認(rèn)識不清。目前在高職中所開設(shè)的數(shù)學(xué)課一般都是大學(xué)一年級的高等數(shù)學(xué)，其內(nèi)容和純數(shù)學(xué)基本相同，仍然是變量數(shù)學(xué)。但在高職中需要解決的是工程與實(shí)踐中的現(xiàn)實(shí)問題，是應(yīng)用性問題，而不再是純數(shù)學(xué)理論。例如，同樣是講述“函數(shù)”，高職中更應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是如何建立現(xiàn)實(shí)問題中變量之間的關(guān)系，即函數(shù)方面的數(shù)學(xué)建模，而不再是純粹強(qiáng)調(diào)定義域和對應(yīng)法則問題。但即便是高職中的高等數(shù)學(xué)也不是應(yīng)用數(shù)學(xué)，它要求學(xué)生理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用。其實(shí)數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有的特殊地位是毋庸置疑的，它能使學(xué)生表達(dá)清晰，思考有條理，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界等。另一方面，目前的這種狀況也給所有從事數(shù)學(xué)教學(xué)的同仁們敲了一次警鐘，使我們認(rèn)識到數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)到了必須改革的時(shí)候了。
二、高職高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)應(yīng)注意的問題
高職院校在人才規(guī)格、人才培養(yǎng)目標(biāo)等各方面的特殊性決定了其課程建設(shè)也不同于其他院校的課程建設(shè)，在建設(shè)中應(yīng)注意以下幾方面的問題：
1.崗位群要求綜合知識多但不深
高職培養(yǎng)的學(xué)生一般是適合某一崗位或是崗位群。這一培養(yǎng)目標(biāo)就決定了其對于知識的學(xué)習(xí)要多，但并不需要很深，這也就是平時(shí)所說的“必需、夠用”。例如同樣數(shù)控專業(yè)的學(xué)生將來并不都是從事數(shù)控編程，也可能是操作機(jī)床或是銷售、維修工作，這些不同就導(dǎo)致了對知識的需求有所差別。因此為適合崗位群的要求，在學(xué)習(xí)中就必須涉及到該專業(yè)的所有可能知識。同時(shí)由于學(xué)生就業(yè)的憑證是“技能”，所以對理論知識不需要太深。
2.基礎(chǔ)課學(xué)時(shí)少、訓(xùn)練少、習(xí)題少，但培養(yǎng)學(xué)生能力方面要求卻很高
同樣由于高職培養(yǎng)目標(biāo)決定了對于基礎(chǔ)課程的學(xué)時(shí)較少，由此帶來的學(xué)生訓(xùn)練的機(jī)會較少，而且結(jié)合專業(yè)可供使用的實(shí)踐性習(xí)題也不多，但是對于知識的要求卻并不低。
3.專業(yè)需求對于知識點(diǎn)的要求不一，眾口難調(diào)
不同的專業(yè)對高等數(shù)學(xué)的需求是不一樣的，有些專業(yè)要求僅以一元函數(shù)微積分為基礎(chǔ)，而有些專業(yè)則還需要多元函數(shù)的微積分，對于有些專業(yè)復(fù)變函數(shù)的知識比較重要，而有的則側(cè)重于線性代數(shù)等等，眾口難調(diào)。
4.學(xué)生水平參差不齊，吃不飽和學(xué)不了的是兩個(gè)大頭
目前許多人對于高職院校還存在著看法，總認(rèn)為其就業(yè)出路是工人，所以只有在上不了大學(xué)的情況下才會選擇高職，造成高職院校的學(xué)生基礎(chǔ)普遍較差。當(dāng)然也不乏一部分對高職前景看好的基礎(chǔ)較好的學(xué)生，這些構(gòu)成了高職學(xué)生的主體，基礎(chǔ)水平參差不齊。基礎(chǔ)好的吃不飽，基礎(chǔ)差的學(xué)不了。
5.要考慮少數(shù)人的需求
高職中有一部分學(xué)生的去向是專升本，雖然這部分學(xué)生數(shù)量較少，但作為培養(yǎng)單位的學(xué)校也同樣應(yīng)考慮他們的需求，因此開設(shè)的課程中，應(yīng)考慮為他們將來的升本科打好基礎(chǔ)。
三、對高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)的幾點(diǎn)建議
1.一綱多用，同時(shí)建立不同專業(yè)的課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)
既然高等職業(yè)院校以能力本位教育為基礎(chǔ)，而非學(xué)科本位為基礎(chǔ)，就應(yīng)該建立與人才培養(yǎng)方案相一致的教學(xué)大綱和課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。統(tǒng)一制訂適合高職特點(diǎn)的教學(xué)大綱。同時(shí)根據(jù)不同專業(yè)的要求制訂相關(guān)的課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，使一個(gè)大綱能為多個(gè)專業(yè)所用，而不同的專業(yè)又有不同的側(cè)重點(diǎn)，即不同的課程模塊。除此之外，高等數(shù)學(xué)要想真正建設(shè)好，還必須聯(lián)合不同專業(yè)共同制訂本專業(yè)的課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。其實(shí)課程評價(jià)已經(jīng)不再是某一學(xué)校的事，在以市場標(biāo)準(zhǔn)取向的前提下，高等職業(yè)教育質(zhì)量的鑒定應(yīng)實(shí)現(xiàn)內(nèi)部評價(jià)和外部評價(jià)的互動統(tǒng)一,也稱為“內(nèi)審與外審”。其中“外審”則是社會“第三方”或上級教育機(jī)構(gòu)對學(xué)校的各種評估或檢查，以確定其社會認(rèn)可度；“內(nèi)審”則要求學(xué)院建立相應(yīng)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和監(jiān)督機(jī)制對課程本身進(jìn)行審核［2］。因此，一綱多用，同時(shí)建立不同專業(yè)的課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是提高高職院校內(nèi)涵的一項(xiàng)實(shí)質(zhì)性工作。高等數(shù)學(xué)作為一門公共基礎(chǔ)課程，在統(tǒng)一的教學(xué)大綱指導(dǎo)下，各有側(cè)重地建立該專業(yè)課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以促進(jìn)高等數(shù)學(xué)更好地為專業(yè)服務(wù)。
2.圍繞課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)大膽整合數(shù)學(xué)課程
課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是針對職業(yè)院校不同專業(yè)而建立的，其效用等同于具體的教學(xué)大綱，但是又比教學(xué)大綱更具有靈活性。由于作為基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱只有一個(gè)，但是課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是因?qū)I(yè)而設(shè)置，而且一經(jīng)建立，勢必促使教師根據(jù)不同的專業(yè)需求對數(shù)學(xué)課程進(jìn)行大規(guī)模整合。因?yàn)橐环矫娓鱾€(gè)專業(yè)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求不一樣，另一方面能力本位的指導(dǎo)思想不可能在基礎(chǔ)課程上花太多的課時(shí)。而為了達(dá)標(biāo)，必須對高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等模塊進(jìn)行整合，使其能夠滿足不同的專業(yè)需求。而且確定的課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也限定了不同的專業(yè)有不同的教學(xué)重點(diǎn)。例如，“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”中經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)應(yīng)側(cè)重曲線的單調(diào)性、凸凹性的特點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)分析邊際問題和彈性問題的應(yīng)用；而模具專業(yè)就應(yīng)該側(cè)重于曲線凸凹性以及利用導(dǎo)數(shù)分析曲率的相關(guān)問題上等。同時(shí)還應(yīng)結(jié)合不同的教學(xué)內(nèi)容，所布置的作業(yè)同樣應(yīng)有所針對性，以滿足不同的專業(yè)需求。
數(shù)學(xué)美古已有之，早在古希臘時(shí)代，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)論及數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系，畢達(dá)哥拉斯本人既是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，又是音樂理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點(diǎn)。我國當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家徐利治指出：“數(shù)學(xué)美的含義十分豐富，如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性與普適性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容”。
1數(shù)學(xué)意境的形象美
高等數(shù)學(xué)中有些概念比較抽象，學(xué)生在理解上會有一定的困難．在教學(xué)中通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，將抽象的概念具體化、形象化，這樣易于學(xué)生理解。例如，講授極限的概念時(shí)先介紹劉徽的割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。又如，《莊子天下篇中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。
同時(shí)再輔以多媒體技術(shù)，學(xué)生一定會在感官上感受到極限的美妙。
2數(shù)學(xué)探索的創(chuàng)新美
數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開人們對于美的追求，數(shù)學(xué)家也是美的追求者。實(shí)際上，人們在研究數(shù)學(xué)時(shí)，都在自覺不自覺地應(yīng)用美學(xué)原則，愛斯坦科學(xué)思想的偉大繼承人狄拉克說：“我沒有試圖直接解決某個(gè)物理問題，而只是試圖尋求某種優(yōu)美的數(shù)學(xué)”，他認(rèn)為：“如果物理學(xué)方程在數(shù)學(xué)上不美，那就標(biāo)志著一種不足，意味著理論有缺陷，需要改進(jìn)，有時(shí)候，數(shù)學(xué)美比實(shí)驗(yàn)相符更重要”。
高斯在回顧二次互反律的證明過程時(shí)說：“尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我去研究的主要動力”。
“美是真理的光輝“這句拉丁格言的意思是說，探索者最初是借助這種光輝來認(rèn)識真理的．歷史的事實(shí)給我們以深刻的啟迪，為了培養(yǎng)高素質(zhì)的創(chuàng)新人才，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)美的教育。
3數(shù)學(xué)語言的簡潔美
數(shù)學(xué)家將自己的勞動成果用最合理的形式（一般是用式子）來表達(dá)，這就是數(shù)學(xué)美中很重要的一種美——簡潔美。數(shù)學(xué)語言借助數(shù)學(xué)符號把數(shù)學(xué)內(nèi)容扼要地表現(xiàn)出來，體現(xiàn)了準(zhǔn)確性、有序性、概括性、簡單性與條理性。如數(shù)列極限與函數(shù)極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過無限多個(gè)相對確定性來實(shí)現(xiàn)，ε的確定性決定了N 和ε的存在性。這種定義精細(xì)地刻劃了極限過程中變量之間的動態(tài)關(guān)系，表達(dá)了極限概念的本質(zhì)，并且為極限運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)，學(xué)過微積分的人無不贊賞它的完美，評價(jià)它是最嚴(yán)密、最精煉、最優(yōu)美的語言。
4數(shù)學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)一美
數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美是指在不同的數(shù)學(xué)對象或者同一對象的不同組成部分之間存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律。
歐拉公式：1+Eiπ=0，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)等式”稱號。歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個(gè)常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣莫弗～歐拉公式cosθ+i sinθ=e把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數(shù)三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了。對它們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆確是“天作之合”，因?yàn)椋伤鼈兊慕Y(jié)合能派生出許多美的、有用的結(jié)論來。
愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論。他用簡潔的表達(dá)式E=mc2揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不能不說是一件統(tǒng)一的藝術(shù)品。人類在不斷探索者紛繁復(fù)雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點(diǎn)認(rèn)識世界，宇宙沒有盡頭，統(tǒng)一美也需要永恒的追求。
數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程。統(tǒng)一的目的也正如希爾伯特所說的：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡潔的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系的，這些工具和方法同時(shí)會有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊?！?/p>
5數(shù)學(xué)方法的簡捷美
解題方法的簡單、巧妙是一種理性的美，簡捷的解題方法和明快的思維令人心曠神怡，在心里激起愉快的情感體驗(yàn)和愉悅的美感，在成功的喜悅中對數(shù)學(xué)審美和數(shù)學(xué)創(chuàng)新會有更迫切的要求。
例如，求極限：cos x coscos……cos該極限直接計(jì)算是無法得到結(jié)果的，但只要我們注意到三角函數(shù)的倍角公式2sinαcosα=sin2α和=1，就可以將極限號內(nèi)的無限多個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為有限多個(gè)函數(shù)，于是就有：
cos x coscos……cos
=cos x coscos……cossin/
=cos x coscos……（2cossin）
=cos x coscos……cossin
=…==1，這就是一種美妙而簡單的解法。
又如求極限，完全可以利用它與重要極限公式=1的相似性來解=1，而獲得成功。
利用數(shù)學(xué)的美感激發(fā)創(chuàng)新靈感，迸發(fā)創(chuàng)造性思維火花，產(chǎn)生許多新穎別致又簡捷的解題方法和技巧，解題者因此得到愉快的心靈感受，從內(nèi)心自覺地產(chǎn)生發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的渴望，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的濃厚興趣，不斷提高數(shù)學(xué)能力。
6數(shù)學(xué)理論的奇異美
數(shù)學(xué)中許多理論與人們的直覺相背離，有時(shí)讓人覺得不可思議，給人以無盡的遐想，有時(shí)又帶給人一種“山窮水復(fù)疑無路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國數(shù)學(xué)家徐利治所說的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。
例如，有無限個(gè)連續(xù)點(diǎn)（無理點(diǎn)）和無限個(gè)間斷點(diǎn)（有理點(diǎn)）的黎曼函數(shù)f（x）=x=（為既約真分?jǐn)?shù)）0x=0，1及（0，1）內(nèi)的無理數(shù)；在任一點(diǎn)都不連續(xù)狄利克雷函數(shù)f（x）=0x∈Q1x∈；處處連續(xù)但處處不可微的魏爾斯特拉斯函數(shù)f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數(shù)，0＜b＜1，ab＞1+π)，這些函數(shù)我們都無法準(zhǔn)
確地描繪出它的圖像。但是黎曼函數(shù)、狄利克雷函數(shù)和魏爾斯特拉斯函數(shù)的美就恰似一幅幅神奇的抽象畫，雖奇異古怪，卻是數(shù)學(xué)家們依靠想象而產(chǎn)生的藝術(shù)精品。
下面通過舉出一些常用數(shù)學(xué)公式的編輯來介紹編輯公式的方法：
要想用Word97編輯數(shù)學(xué)公式，在安裝Word97時(shí)要選“自定義安裝”中Office工具里的公式編輯器MicrosoftEquation30，若選“典型安裝”，則需要在安裝后從控制面板中選“添加/刪除程序”再把公式編輯器添加上去。在Word文檔中用鼠標(biāo)單擊“插入”菜單，選擇“對象”選項(xiàng)，在“新建”標(biāo)簽中選中“MicrosoftEquation30”就可以調(diào)出公式編輯器，同時(shí)屏幕上出現(xiàn)兩個(gè)虛框，分別稱為公式編輯框和輸入框，如圖(1)。
輸入框中閃動的光標(biāo)處等待輸入公式中的各種符號。輸入時(shí)，輸入框隨著輸入公式長短而發(fā)生變化，整個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式都被放置在公式編輯框中。公式窗口浮動在文本中，其中囊括了幾乎所有數(shù)學(xué)符號，例如：關(guān)系符號、運(yùn)算符號、修飾符號、邏輯符號、各種集合符號以及希臘字母(大小寫)等。一些常用的數(shù)學(xué)公式模板，如圖(2)。
1)按上面所述方法調(diào)出公式編輯器。
2)單擊圍欄模板，選其中的符號如圖(3)。
3)在輸入框中輸入x，然后單擊上下標(biāo)模板，選其中的符號如圖(4)。
4)在輸入框內(nèi)輸入下標(biāo)1。
5)輸入＋號。
6)重復(fù)步驟3)。
7)在輸入框內(nèi)輸入下標(biāo)2，再輸入＋號。
8)單擊希臘字母模板，選其中的λ。
9)重復(fù)步驟3)。
10)最后輸入=0。
第一行輸入完成后，按回車鍵自動進(jìn)入第二行輸入狀態(tài)。同時(shí)圖(3)所示的符號自動拉長，用來適應(yīng)方程組的需要。用這樣的方法可以輸入和編輯任意階線性方程組。
例2：矩陣(行列式)
利用矩陣模板，可編輯m×n階矩陣和n階行列式，編輯步驟如下：
2)單擊圍欄模板，選其中的符號如圖(5)或圖(6)(編輯矩陣選圖(5)編輯行列式選圖(6))。
3)單擊矩陣模板，選其中的符號如圖(7)，這是編輯框中出現(xiàn)16個(gè)輸入框。(編輯5行5列以上的矩陣或行列式，選其中的符號如圖(8)，這是屏幕彈出一個(gè)矩陣對話框，自選其中的行列數(shù)，可編輯任意階矩陣(或行列式))。
4)在第一個(gè)輸入框中輸入－1。
5)按TAB鍵將光標(biāo)移動到下一個(gè)輸入框，再輸入0。
6)重復(fù)步驟5)可以完成矩陣的輸入。
注：其中分?jǐn)?shù)1/2的輸入方法如下：單擊公式和根式模板，選其中的符號如圖(9)，在輸入框中分別輸入1和2即可。
2)單擊上下標(biāo)模板中的符號如圖(10)，在上面的輸入框中輸入lim。
3)用鼠標(biāo)單擊下面的輸入框，將光標(biāo)移動到這個(gè)輸入框中，輸入x。
4)單擊公式編輯器中的箭頭模板，選擇。
5)單擊公式編輯器中的其他符號模板選擇其中的∞。
6)單擊已輸入完的部分，使光標(biāo)回到原位如圖(11)。
7)輸入后面的式子(略)。
2)單擊求和模板，選擇其中的符號如圖(12)，這時(shí)編輯框中出現(xiàn)三個(gè)輸入框。
3)單擊下面的輸入框，使光標(biāo)移到這個(gè)輸入框中，輸入n=1。
4)單擊上面的輸入框，使光標(biāo)移到這個(gè)輸入框中，輸入∞。
5)單擊右面的輸入框，使光標(biāo)移到這個(gè)輸入框中，單擊公式編輯器中的分式根式模板，選擇其中的分式和根式符號，輸入級數(shù)中的分式和根式。
1.師資力量與學(xué)生需求不對應(yīng)。這是造成的素描教學(xué)效果不佳的一個(gè)關(guān)鍵原因，近年來我國高等藝術(shù)院校師資隊(duì)伍建設(shè)雖然一直在穩(wěn)步推進(jìn)，但是與急劇增長的學(xué)生需求相比還存在很大差距。學(xué)生數(shù)量的增長造成了教師數(shù)量和質(zhì)量的相對不足。師資力量物理支撐藝術(shù)院校的素描教學(xué)，教師沒有充足的時(shí)間和精力學(xué)習(xí)新的教學(xué)理念和理論，從而給素描教學(xué)工作的創(chuàng)新發(fā)展造成很大的不良影響。另外在當(dāng)前的素描教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)需求也在不斷變化，傳統(tǒng)的教育理念和教學(xué)模式已經(jīng)無法適應(yīng)是新時(shí)期的學(xué)生需求。學(xué)生積極性無法調(diào)動，導(dǎo)致整個(gè)教學(xué)工作長期處于低效運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)，這對教學(xué)工作的發(fā)展具有非常重要的影響作用。
2.學(xué)生缺乏對藝術(shù)的執(zhí)著精神。學(xué)生的基礎(chǔ)素質(zhì)不高，文化知識貧瘠，缺少對藝術(shù)的執(zhí)著精神是造成當(dāng)前素描教學(xué)工作發(fā)展的一個(gè)重要阻力。高等藝術(shù)院校生源質(zhì)量不高，學(xué)生入學(xué)成績對文化課程的要求低，且進(jìn)入高校之后文化課程教學(xué)的實(shí)效性不高。這使得學(xué)生的基礎(chǔ)文化素質(zhì)與素描教學(xué)的需求存在很大差距，以此造成了素描教學(xué)吃力。教師即使知道問題出在哪里也沒有有效的辦法解決這種問題。另外，學(xué)生基礎(chǔ)素質(zhì)不高對教學(xué)影響還體現(xiàn)在對教學(xué)理念的認(rèn)知不足上，無法正確理解素描教學(xué)各階段的意義和價(jià)值，也不能在自己的學(xué)習(xí)中主動配合教師教學(xué)計(jì)劃。
3.現(xiàn)代藝術(shù)觀念的負(fù)面影響。自印象派以來，無論是中國傳統(tǒng)藝術(shù)還是西方傳統(tǒng)藝術(shù)不斷被否定，繼而代之的是現(xiàn)代、后現(xiàn)代不斷的推陳出現(xiàn)。更為重要的是隨著現(xiàn)代商業(yè)的繁榮活躍使得藝術(shù)與商業(yè)之間建立了畸形的很多關(guān)系。藝術(shù)創(chuàng)作一再妥協(xié)最終淪為商業(yè)附庸。在這種形式的影響下藝術(shù)家的境界和品格也受到極大挑戰(zhàn)，一些終身鉆研藝術(shù)、辛勞一生的藝術(shù)家卻默默無聞。窮困潦倒。這種時(shí)代環(huán)境對當(dāng)代的素描教學(xué)也產(chǎn)生了很大影響。學(xué)生的功利心影響了他們對藝術(shù)的追求和認(rèn)知。
二、改變當(dāng)前素描現(xiàn)狀的幾點(diǎn)建議
1.素描教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識、技能?；A(chǔ)知識不足是影響當(dāng)前教學(xué)進(jìn)展不大的一個(gè)重要原因。為此在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重對學(xué)生基礎(chǔ)素質(zhì)的強(qiáng)化教學(xué)。針對高等藝術(shù)院校學(xué)生文化課成績不理想的現(xiàn)狀，在教學(xué)當(dāng)中應(yīng)當(dāng)對學(xué)生的文化綜合素質(zhì)開展測評。摸清學(xué)生真實(shí)的基礎(chǔ)文化素質(zhì)，對他們開展有針對性的文化課不惜。同時(shí)在素描教學(xué)中還應(yīng)當(dāng)重視基本技法的訓(xùn)練。由于這種訓(xùn)練簡單枯燥招致學(xué)生的抵觸，為此教師應(yīng)當(dāng)積極探索新的教學(xué)方法，以盡量滿足學(xué)生需求的具體情況滿足學(xué)生需求。
2.提升師資力量水平。師資力量不足是影響當(dāng)前素描教學(xué)工作的一個(gè)重要問題。為此高等藝術(shù)院校應(yīng)當(dāng)根據(jù)自身發(fā)展?fàn)顩r制定教師成長和教師隊(duì)伍培養(yǎng)戰(zhàn)略。首先應(yīng)當(dāng)研究師生數(shù)量匹配，根據(jù)學(xué)生數(shù)量的變化情況和速度制定教師發(fā)展目標(biāo)。其次要提升當(dāng)前教師隊(duì)伍的數(shù)量和質(zhì)量，增強(qiáng)教師隊(duì)伍素質(zhì)，做好這項(xiàng)工作應(yīng)當(dāng)從兩個(gè)方面著手努力。首先通過外部引進(jìn)的方式選聘優(yōu)秀素描教師，其次對現(xiàn)有教學(xué)人員開展專業(yè)培訓(xùn)，制定教師專業(yè)發(fā)展激勵計(jì)劃，動員廣大教師通過自我教育和終身學(xué)習(xí)的方式保持與素描教學(xué)發(fā)展的同步性。
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；一致性；連續(xù)性；函數(shù)
一、高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性的基本概念
高等數(shù)學(xué)中的一致連續(xù)性是從函數(shù)連續(xù)的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個(gè)微小變化的界限區(qū)間，如果函數(shù)定義域以內(nèi)的任意兩點(diǎn)間的距離永遠(yuǎn)不超過這個(gè)界限范圍，則這兩點(diǎn)相對應(yīng)的函數(shù)值之差就能夠達(dá)到任意小、無限小，這就是所謂的函數(shù)一致連續(xù)性概念。一直以來，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)的概念都是教學(xué)過程中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一，在多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過程中，筆者深刻感受到學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)一致連續(xù)概念時(shí)的疑惑和困難。甚至有不少學(xué)生會有這樣的疑問：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別究竟體現(xiàn)在哪里？
帶著上述問題，我們對函數(shù)一致連續(xù)性進(jìn)行研究和分析。函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)重要的特征和性質(zhì)，它標(biāo)志著一個(gè)連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”現(xiàn)象，并對其連續(xù)性進(jìn)行歸納總結(jié)。函數(shù)一致連續(xù)性，要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都保持著連續(xù)的特點(diǎn)，不允許出現(xiàn)“突變”現(xiàn)象，同時(shí)還進(jìn)一步要求它在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近有大體上呈現(xiàn)均勻變化的趨勢。換句話說，函數(shù)一致連續(xù)性的定義為：對于任給定的正數(shù)ε，要求存在一個(gè)與自變量x無關(guān)的正數(shù)δ，使對自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意2個(gè)值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數(shù)一致連續(xù)性的條件要比函數(shù)連續(xù)的條件強(qiáng)。在目前采用的高等數(shù)學(xué)的教材中，只是給出一致連續(xù)的基本定義，以及利用該定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而呈現(xiàn)出了函數(shù)一致連續(xù)的完美邏輯結(jié)果。這種教學(xué)理念是很好的，但是，從實(shí)踐教學(xué)效果上看，又很不利于學(xué)生對定義的理解，尤其不利于學(xué)生對定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學(xué)工作者將函數(shù)一致連續(xù)性概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學(xué)生更快更好地充分理解一致連續(xù)的概念和意義。高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的基本定義為：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對ε＞0，對于每一點(diǎn)x∈I，都存在相應(yīng)δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)。該定義說明了函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)的基本特征。函數(shù)一致連續(xù)的基本概念是：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對ε＞0，存在δ（＞0），使得對任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。要特別注意的是，連續(xù)概念中δ與一致連續(xù)概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數(shù)一致連續(xù)性概念，現(xiàn)將函數(shù)函數(shù)不一致連續(xù)的概念進(jìn)行一下描述：存在某個(gè)ε0，無論δ 是怎么樣小的正數(shù)，在I上總有兩點(diǎn)x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數(shù)不一致連續(xù)的概念，理解和學(xué)習(xí)函數(shù)不一致連續(xù)的相關(guān)知識，有利于我們更好地學(xué)習(xí)和研究函數(shù)一致連續(xù)性問題。
二、高等數(shù)學(xué)引入一致性連續(xù)性的意義和價(jià)值
高等數(shù)學(xué)教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性，以及函數(shù)列的收斂性與一致收斂性等，都是初學(xué)者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)問題。在工程數(shù)學(xué)中，這些概念非常重要，筆者認(rèn)為，搞清楚和弄明白函數(shù)的一致連續(xù)的基本概念，以及掌握判斷函數(shù)是否具有一致連續(xù)特性的基本方法，無疑都將是理工科學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性理論知識的核心環(huán)節(jié)，也是日后成熟運(yùn)用該數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)和前提。通過學(xué)習(xí)和比較，我們能夠得出一個(gè)很明顯的結(jié)論：一致連續(xù)要比連續(xù)條件強(qiáng)。高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)是一個(gè)很重要的概念，在微積分學(xué)以及其他工程學(xué)科中常常會用到一致連續(xù)的知識，而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切的相互關(guān)系。實(shí)際上，我們在進(jìn)行函數(shù)列的收斂問題研究時(shí)，常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂等概念及其關(guān)系。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問題，證明某一個(gè)函數(shù)是否具有一致連續(xù)性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學(xué)感到無從下手。為了解決這一難點(diǎn)，達(dá)到化抽象為簡單的教學(xué)目的，筆者建議給出一致連續(xù)性的幾種常見等價(jià)形式，能夠很好地幫助學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)更易于理解和掌握函數(shù)一致連續(xù)性這一知識要點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)，也是教學(xué)大綱中的重點(diǎn)。因此，牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論知識，對于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。
函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義非常非常重要。數(shù)學(xué)分析抽象而且復(fù)雜難懂，這門學(xué)科本身就有著極強(qiáng)的邏輯思維和嚴(yán)密特征，主要體現(xiàn)在它能夠采用最簡明的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確表述其他語言無法量化的復(fù)雜多變的事物發(fā)展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動態(tài)發(fā)展過程。其幾何意義將在高等數(shù)學(xué)課程入門中起到一個(gè)有利引導(dǎo)作用，清晰明朗地向?qū)W生展示高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法和思維方式，幫助學(xué)生理解抽象概念，提高學(xué)生培養(yǎng)自身的創(chuàng)新思維能力。另外，探討函數(shù)一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系，同時(shí)在有界區(qū)間上給出一致連續(xù)和一致收斂的等價(jià)關(guān)系，有利于學(xué)生在今后研究連續(xù)、收斂問題中擁有更多的參考依據(jù)。
三、解決高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的對策
1.一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性
由于用函數(shù)一致連續(xù)的定義判定函數(shù) 是否一致連續(xù)，往往比較困難。于是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡單的判別法。
定理1 若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 在 上一致連續(xù)。
這個(gè)定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊中，運(yùn)用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來證明。
分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)知，要證 在 上一致連續(xù)，即是要證對 ，可以分區(qū)間 成有限多個(gè)小區(qū)間，使得 在每一小區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于 。
證明：若上述事實(shí)不成立，則至少存在一個(gè) ，使得區(qū)間 不能按上述要求分成有限多個(gè)小區(qū)間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個(gè)不能按上述要求分為有限多個(gè)小區(qū)間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續(xù)下去，就得到一個(gè)閉區(qū)間套 ，n=1，2，…，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點(diǎn)c滿足
（2-13）
且屬于所有這些閉區(qū)間，所以 ，從而 在點(diǎn) 連續(xù)，于是 ，當(dāng)時(shí)，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對于 上任意點(diǎn) ，都有 。因此，對于 上的任意兩點(diǎn) ，由（2-14）都有 。（2-15）
這表明 能按要求那樣分為有限多個(gè)小區(qū)間，這和區(qū)間 的取法矛盾，從而得證。定理1對開區(qū)間不成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況：（1）對于有限開區(qū)間，這時(shí)端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn)；（2）對于無限區(qū)間，這時(shí)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。
定理2函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)，且 與 都存在。
證明：若 在 內(nèi)一致連續(xù)，則對 ，當(dāng) 時(shí)，有
，（2-16）
于是當(dāng) 時(shí)，有
。（2-17）
根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續(xù)， 與 都存在。
若 在 連續(xù)，且 和 都存在，則
令（2-18）
于是有 在閉區(qū)間 上連續(xù)，由Contor定理， 在 上一致連續(xù)，從而 在 內(nèi)一致連續(xù)。
根據(jù)定理2容易得以下推論：
推論1 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
推論2 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
當(dāng) 是無限區(qū)間時(shí)，條件是充分不必要的。
2.一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性
定理3 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 都存在。
證明：（1）先證 在 上一致連續(xù)。
令 ，由柯西收斂準(zhǔn)則有對 使對 ，有
。 （2-19）
現(xiàn)將 分為兩個(gè)重疊區(qū)間 和 ，因?yàn)?在 上一致連續(xù)，從而對上述 ，使 ，且 時(shí)，有
。 （2-20）
對上述 ，取 ，則 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
（2）同理可證函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
由（1）、（2）可得 在 內(nèi)一致連續(xù)。
若將 分為 和 ，則當(dāng) 與 分別在兩個(gè)區(qū)間時(shí)，即使有 ，卻不能馬上得出 的結(jié)論。
由定理3還容易得出以下推論：
推論3 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論4 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
推論5 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論6 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
參考文獻(xiàn)：
[1]王大榮，艾素梅；分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的求導(dǎo)方法芻議[J]；滄州師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)；2005年03期
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［關(guān)鍵詞］藝術(shù)理論教學(xué)重要地位制約問題改革完善
［中圖分類號］G642.0［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）09-0137-02自人類有藝術(shù)以來，藝術(shù)理論[1]一直與藝術(shù)作品相伴相生，是藝術(shù)重要的構(gòu)成部分。近年來，隨著藝術(shù)學(xué)科的不斷快速發(fā)展，藝術(shù)理論在藝術(shù)學(xué)科中的重要地位日益凸顯。但是，在藝術(shù)教育的實(shí)際過程中，由于受到多種因素的制約，教學(xué)產(chǎn)生了極其不良的后果。有鑒于此，筆者針對藝術(shù)理論課程教學(xué)中存在的各種問題，從多個(gè)環(huán)節(jié)探討解決的方法，以期改變現(xiàn)狀，使藝術(shù)理論課程的價(jià)值和作用得到彰顯和實(shí)現(xiàn)。
一、藝術(shù)理論課程教學(xué)的現(xiàn)狀
目前，藝術(shù)理論課程的重要性已得到大多數(shù)人的認(rèn)同，但藝術(shù)理論課程的教學(xué)卻仍然存在諸多問題，不容樂觀。
第一，部分院校的藝術(shù)教師因?qū)λ囆g(shù)理論課程中藝術(shù)概論課的認(rèn)識不夠，抱有偏見，以音樂概論、美術(shù)概論等課程替代藝術(shù)概論。這種觀念純粹從藝術(shù)技術(shù)出發(fā)，以技術(shù)為評判一切的杠桿，忽視了藝術(shù)理論存在的合理性和重要性，而且破壞了藝術(shù)理論課程教學(xué)的完整性，同時(shí)也間接地對學(xué)生造成了誤導(dǎo)，使學(xué)生也陷入藝術(shù)概論無足輕重的觀念誤區(qū)。
第二，藝術(shù)理論教師的師資隊(duì)伍極為匱乏。教師作為教學(xué)的主體，是知識內(nèi)容的傳授者，是審美體驗(yàn)的引領(lǐng)者。藝術(shù)理論課程教學(xué)的成敗與師資隊(duì)伍建設(shè)休戚相關(guān)。但是目前，大多數(shù)高等院校的藝術(shù)師資隊(duì)伍中很少有專門的理論教師，多為音樂、舞蹈等門類的技巧教師，他們的興趣點(diǎn)和理論儲備都與理論教學(xué)不相吻合。這種現(xiàn)狀就使藝術(shù)理論課程的教學(xué)缺少相應(yīng)的和足夠的專職教師，導(dǎo)致藝術(shù)理論課程的教學(xué)效果不理想。
第三，藝術(shù)理論課程的教學(xué)內(nèi)容還有待進(jìn)一步充實(shí)完善。教材是教師進(jìn)行教學(xué)的基本依據(jù)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一手資料，但是教材一旦出版后就固定化、停滯化，這樣就不利于將藝術(shù)學(xué)科領(lǐng)域的新問題、新現(xiàn)象及時(shí)、快速地轉(zhuǎn)化到教材中。另外，在教材上還存在教材內(nèi)容以部門藝術(shù)等為界限的割裂局面。徐子方先生曾就此問題指出，“藝術(shù)論和藝術(shù)史的教材建設(shè)大多仍沿用西方傳統(tǒng)，分處在哲學(xué)和視覺藝術(shù)的范疇而不自知”，不對這些問題進(jìn)行革新，“藝術(shù)學(xué)在中國的學(xué)科錯位命運(yùn)就不得到根本性改變” 。[2]時(shí)至今日，教材和教學(xué)內(nèi)容上存在的弊端，對藝術(shù)理論教育已經(jīng)產(chǎn)生了不良的影響，急需引起重視，進(jìn)行改變。
第四，藝術(shù)理論教學(xué)方式方法傳統(tǒng)單一，難以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性。首先，某些藝術(shù)理論課程的教學(xué)基本以書面性知識內(nèi)容為主，照本宣科地講述理論知識，造成講授方法過于理論化。學(xué)生對純理論性的教學(xué)方法和課程中大量的理論知識望而生畏，產(chǎn)生厭學(xué)情緒。其次，有的藝術(shù)理論教學(xué)的課堂上基本以教師講授為主，一堂課的時(shí)間教師從頭講到尾，進(jìn)行填鴨式的滿堂灌教學(xué)。這種教學(xué)方法以教師為主體，以課本內(nèi)容為規(guī)矩，忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動性，缺少師生之間的交流和互動。
第五，藝術(shù)理論教學(xué)手段傳統(tǒng)刻板，未能有效利用現(xiàn)代教育技術(shù)。傳統(tǒng)教學(xué)一般多采用板書式教學(xué)，通過板書來輔助講解。學(xué)生長時(shí)間地聽教師講授理論內(nèi)容，容易產(chǎn)生枯燥感。另外，隨著多媒體技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，也有的藝術(shù)理論教學(xué)課堂采用了多媒體技術(shù)，通過多媒體課件進(jìn)行知識的傳授。但是部分教師并沒有掌握多媒體教學(xué)的精髓，只是把以前在黑板上書寫的內(nèi)容，原封不動地搬到多媒體課件上。這種教學(xué)刻板僵化，并沒有實(shí)現(xiàn)多媒體技術(shù)的優(yōu)勢，依舊無法調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
二、課程教學(xué)改革模式研究
鑒于目前藝術(shù)理論課程教學(xué)與社會需求、與其重要地位相脫節(jié)的種種現(xiàn)象，我們針對這些問題認(rèn)真探討，深入研究，建議從以下幾方面進(jìn)行改進(jìn)。
第一，對部門藝術(shù)院校重門類藝術(shù)理論輕藝術(shù)概論的現(xiàn)象，學(xué)界已經(jīng)做出評判并提出意見。周星教授曾談到，當(dāng)前在藝術(shù)學(xué)科建設(shè)中存在的一個(gè)突出問題就是單個(gè)藝術(shù)形式中強(qiáng)大的技巧意識造成的學(xué)科建設(shè)之間的壁壘。[3]對此問題，藝術(shù)學(xué)界的專家在2010年的藝術(shù)學(xué)學(xué)科設(shè)置論證會上達(dá)成了一致意見，認(rèn)為應(yīng)該加強(qiáng)不同藝術(shù)門類之間慣縱性規(guī)律的研究，克服藝術(shù)學(xué)以門類為界，拘于一隅、不相往來的傾向。同時(shí)學(xué)界也提出在藝術(shù)教育課程改革中將理論教育和技巧教育相結(jié)合，既注重理論課程的學(xué)習(xí)，又強(qiáng)化技巧的學(xué)習(xí)，確保兩大類課程之間的平衡關(guān)系。
第二，藝術(shù)理論教師的師資隊(duì)伍建設(shè)是一個(gè)極為緊迫的事情。只有加強(qiáng)理論教師的培養(yǎng)，組建有規(guī)模的理論教師隊(duì)伍，才能為藝術(shù)理論課程的教學(xué)提供最基礎(chǔ)的師資保障。具體來說，首先要使藝術(shù)理論教師的數(shù)量達(dá)到一定規(guī)模，能夠滿足各門理論課程教學(xué)所需；其次，在此基礎(chǔ)上也可以建立藝術(shù)理論教研室或理論系等個(gè)體單位，教師之間可以相互切磋探、討如何改進(jìn)教學(xué)，也可以針對理論問題舉辦講座、召開研討會等，提高師生的理論興趣。
第三，藝術(shù)理論教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中及時(shí)補(bǔ)充新材料、新觀點(diǎn)、新成果、新動態(tài)，并加以總結(jié)歸納，多角度、全方位地進(jìn)行綜合性講授，從而拓寬學(xué)生的視野，活躍學(xué)生的思維，使學(xué)生在固定的教材內(nèi)容之外了解、關(guān)注藝術(shù)理論的前沿知識和現(xiàn)象，把握藝術(shù)發(fā)展動向，激發(fā)其將書本知識與社會知識聯(lián)系、理論與實(shí)踐聯(lián)系的積極性，從而更好地引導(dǎo)學(xué)生自身藝術(shù)實(shí)踐活動的方向。
第四，藝術(shù)理論課程的教學(xué)方式方法應(yīng)由傳統(tǒng)的滿堂灌、教師講授為主轉(zhuǎn)換為講授、提問、討論等相結(jié)合的教學(xué)方式，并且將純理論講授轉(zhuǎn)換為理論和實(shí)例相結(jié)合。這樣一方面可以讓學(xué)生參與課堂教學(xué)中，由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；另一方面，適當(dāng)引入精美經(jīng)典的藝術(shù)實(shí)例，通過實(shí)例分析、講解理論知識，將抽象、枯燥的理論知識形象化、具體化，更方便學(xué)生的接受和掌握。此外，援引藝術(shù)實(shí)例還是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入審美的捷徑。余秋雨先生曾講道：“正因?yàn)槿魏嗡囆g(shù)原理的講授只有與學(xué)生的審美經(jīng)驗(yàn)連接起來才能取得良好效果，所以藝術(shù)理論教師有責(zé)任在課堂上不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入審美過程，激發(fā)審美經(jīng)驗(yàn)?！盵4]生動的藝術(shù)實(shí)例還有利于提高學(xué)生的藝術(shù)鑒賞能力，使學(xué)生在審美體悟的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象的理論歸納、概括，將枯燥、抽象的理論教學(xué)變?yōu)楦行詫徝琅c抽象理論水融的教學(xué)。
第五，藝術(shù)理論課程在教學(xué)手段上施行教學(xué)手段現(xiàn)代化、多樣化。在教學(xué)手段上，除傳統(tǒng)的方式之外，還可以利用現(xiàn)代多媒體教學(xué)技術(shù)，輔以播放圖片、視頻、音頻等方式和帶領(lǐng)學(xué)生實(shí)地參觀藝術(shù)展覽、觀看藝術(shù)演出等活動。這些教學(xué)手段一方面圖、文、聲并茂，另一方面生動有趣，更加吸引學(xué)生求知的欲望，帶給學(xué)生更強(qiáng)的藝術(shù)震撼。通過這些現(xiàn)代、多樣的教學(xué)手段，全面調(diào)動學(xué)生的視、聽等多種感官，加深學(xué)生對理論知識的理解和把握。
總之，藝術(shù)理論課程既是技能課程的基礎(chǔ)，又對技能課程進(jìn)行了理論總結(jié)與提升，是藝術(shù)教育中必不可少的重要課程。“萬物必有其內(nèi)在規(guī)律和表現(xiàn)態(tài)勢，科學(xué)技術(shù)研究就是通過現(xiàn)象的深窺察照寓涵的本質(zhì)，觀念無法脫離載體，技法也無從憑空產(chǎn)生” 。[5]我們有必要對藝術(shù)理論課程進(jìn)行教學(xué)改革研究與實(shí)踐，明確其重要價(jià)值和意義，改進(jìn)教學(xué)方法，豐富教學(xué)手段，推動藝術(shù)理論課程教學(xué)的充實(shí)與完善。
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