發(fā)布時間：2023-06-18 10:42:46
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的數(shù)學除與除以的區(qū)別樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
一、運用比較法，訓練形象思維，豐富感知
小學生由于生活接觸面窄，社會實踐經(jīng)驗少，感性知識比較貧乏，空間想象力差，采用比較的方法進行教學，可使學生對感性知識獲得較深刻的印象。如在教學毫米和分米的認識（人教版小學數(shù)學第五冊）時，因為學生已經(jīng)認識了“1厘米”，為了使學生對“1毫米、1分米”有比較正確的認識，可以讓學生拿著尺子，對著“1毫米”和“1厘米”的刻度進行比較，再拿“1分米”和“1厘米”比較，然后讓學生用手勢表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的長度，最后讓學生填空：課桌寬大約是60（），一塊橡皮的長大約是30（），數(shù)學教本的長度大約是2（）。通過這樣的比較，學生對這些長度單位就有了比較深刻的印象。同樣，用比較的方法教學面積單位、體積單位，也會取得很好的教學效果。
二、運用比較法，理解內(nèi)涵，掌握概念
為了使學生正確地理解和掌握概念，就要揭示概念的本質(zhì)屬性，充分理解其內(nèi)涵，而對事物進行比較是揭示概念本質(zhì)屬性和理解內(nèi)涵的重要學習方法。如教學“整除”這個概念時，讓學生對一些除法算式進行比較，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道單有“商是整數(shù)而沒有余數(shù)”這個條件，還不能判斷一個數(shù)能被另一個數(shù)整除，還必須有“被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)”這個條件才行。通過比較，學生正確地理解了整除的含義。再如教學“求比值”和“化簡比”，要從意義、方法和結(jié)果三方面進行比較，“求比值”也就是求商，而“化簡比”是把一個比較復雜的比化成一個最簡單的整數(shù)比；“求比值”和“化簡比”的方法可以通用，都可以用除法計算；“求比值”和“化簡比”的結(jié)果是不同的，“求比值”的結(jié)果是一個“數(shù)”，可以寫成分數(shù)、小數(shù)，有時能寫成整數(shù)，而“化簡比”的結(jié)果則是一個“比”，可以寫成真分數(shù)或假分數(shù)的形式，但是不能寫成帶分數(shù)、小數(shù)或整數(shù)。比較以后，學生才能充分理解“求比值”和“化簡比”的內(nèi)涵。
三、運用比較法，新舊知識聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)
在教學一個新知識點時，如果能與以往學過的舊知識相聯(lián)系，進行比較，弄清新舊知識的聯(lián)系與區(qū)別，不但容易學會新知，還鞏固了舊知，并且使知識系統(tǒng)化，形成知識網(wǎng)絡(luò)。如教學“比的意義”時，將“比”“除法”和“分數(shù)”進行比較，可列表如下：通過這樣比較，使學生明確比和除法分數(shù)的關(guān)系和區(qū)別，把比、除法、分數(shù)聯(lián)系起來，形成知識網(wǎng)，為后面學習“比”的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。
四、運用比較法，區(qū)別應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)
正確選擇解法在應(yīng)用題的教學中，經(jīng)常應(yīng)用比較的方法來區(qū)別應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，以便分析數(shù)量關(guān)系，選擇正確的解題方法。如低年級的加減法應(yīng)用題、乘除法應(yīng)用題、高年級的分數(shù)乘除法應(yīng)用題。如教學應(yīng)用題：（1）池塘里有12只鴨和4只鵝，鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？（2）池塘里有12只鴨，鵝的只數(shù)是鴨的13，池塘里有多少只鵝？（3）池塘里有4只鵝，正好是鴨的只數(shù)的13，池塘里有多少只鴨？通過比較，學生知道了應(yīng)用題在結(jié)構(gòu)上的相同點和不同點，使他們懂得第（1）題，根據(jù)分數(shù)的意義和分數(shù)與除法的關(guān)系，要用除法來計算。第（2）題，根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義，用乘法計算。第（3）題，根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義，列方程解答，或根據(jù)除法的意義直接用除法計算。通過比較，使學生了解了分數(shù)乘除法應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和思路的異同，從而能正確解答分數(shù)乘除法應(yīng)用題。
五、對比練習，異同結(jié)合
學習新課之后，不僅要集中練習所學的內(nèi)容，還要練以前學過的內(nèi)容，特別要練習與新學內(nèi)容相似而容易混淆的題目，使學生既能深刻理解新的知識，又能掌握新舊知識之間的“同”和“異”，區(qū)別應(yīng)用。如練習“歸一應(yīng)用題”，應(yīng)帶練“歸總應(yīng)用題”；學完“連除應(yīng)用題”后的練習，也應(yīng)有“連乘應(yīng)用題”的題目。通過比較它們的解題思路，明確它們之間的相互聯(lián)系，可使各個零碎的知識串成線、聯(lián)成網(wǎng)，從而構(gòu)建起完整的知識結(jié)構(gòu)。這樣的對比練習也便于學生辨別和鞏固所學的數(shù)學知識，培養(yǎng)學生分析問題、靈活運用知識解決實際問題的能力。
六、運用比較法，觀察特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律
一、給學生介紹小學一般文字題幾種常見的表述方式
1．根據(jù)算式的讀法來敘述的。
如：6除24得多少？23減去3與4的積，差是多少？
2．根據(jù)算式中各部分的名稱來敘述的。
如：被減數(shù)是65，減數(shù)是34，差是多少？兩個因數(shù)分別是0.45與3.5，積是多少？
3．根據(jù)四則運算的要求來敘述的。
如：6個105的和是多少？5.9除以3.94加上6.6的積，商是多少？
4．根據(jù)上述幾個方面綜合來敘述的。
如：什么數(shù)加上35是150？450加上135除以3的商乘以40的積，和是多少？
二、強化基礎(chǔ)訓練，扎實抓好文字題教學的幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)
1．扎實訓練，使學生學會運用準確的數(shù)學語言來讀式題。
如（52+48）×6，有的學生往往讀成“括號52加上48括號，乘以6”，這就沒有準確地使用數(shù)學語言，應(yīng)該讀成“52與48的和乘以6，積是多少”。只有少數(shù)學生能夠準確地讀出式題，并準確地把文字題轉(zhuǎn)化為正確的算式。
對于比較復雜的一些四則混合運算式題，一次讀不完的，也可分為幾個層次來讀。如［5.3-1.6×（4.5-3.5）］÷7.4，可以讀成：①中括號內(nèi)的運算結(jié)果除以7.4，商是多少？②中括號內(nèi)，5.3減去1.6乘以小括號內(nèi)運算結(jié)果的積，差是多少？③小括號內(nèi)，4.5減去3.5的差是多少？
2．加強引導，使學生學會用多種方法來讀題。
在教學中，教師可讓學生從計算意義、各部分名稱、順逆順序上用準確的數(shù)學語言讀式題，使學生能夠熟練地將文字題轉(zhuǎn)化為式題，將式題與文字題融為一體。如“375÷25”，從算式的意義去讀“把375平均分成25分，每份是多少”“375里包含有多少個25”“375是25的多少倍”；從各部分名稱上去讀“被除數(shù)是375，除數(shù)是25，得數(shù)是多少”“除數(shù)是25，被除數(shù)是375，商是多少”“兩個因素的積是375，其中一個因數(shù)是25，求另一個因數(shù)”；從順逆關(guān)系上去讀“375除以25，商是多少”“25除375得多少”……
3．分類指導，使學生學會分析文字題的縮句方法。
文字題也跟應(yīng)用題一樣，要使學生學會分析題意的方法。如教學生“看尾、縮句、抓關(guān)鍵”的方法，可讓學生先看文字題末尾要求的是什么，抓住關(guān)鍵詞語縮句寫出關(guān)系式，再列式計算。如：“54除以0.7的商，加上0.6與5的積，和是多少？”先看尾，確定是求“和”，再抓住“商”“積”這兩個關(guān)鍵詞，縮句為“商加上積，和是多少”，寫出關(guān)系式“商+積=？”。然后再找出是哪兩個數(shù)的商和哪兩個數(shù)的積，最后列式為54÷0.7+0.6×5。教學中，教師還可以讓學生進行將應(yīng)用題縮寫成文字題的訓練，使學生進一步認識應(yīng)用題與文字題的聯(lián)系和區(qū)別。如“食堂原有大米65公斤，又買來8袋大米，每袋25公斤。食堂一共有大米多少公斤”，可縮寫成“65加上25與8的積，和是多少”。
4．多方點撥，使學生通過比較，進一步認識、理解并熟練掌握運算順序。
我們可以編一些數(shù)字相同、運算順序不同、計算結(jié)果也不相同的四則混合運算式題，讓學生在對具體題目的辨析中，進一步理解并熟練掌握運算順序。如把“5.9÷（3.94+6.86）×0.8”的運算順序改變?yōu)椋孩傧人愠偎慵?，最后算乘，讓學生列出算式（5.9÷3.94+6.86）×0.8。②先算乘，再算加，最后算除，讓學生列出算式5.9÷（3.94+6.86×0.8）。③先算加，再算乘，最后算除，讓學生列出算式5.9÷[（3.94+6.86）×0.8]。
三、注重指導，教給學生解答文字題的思考方法
1．一般情況下，可以引導學生順著題目的敘述方式來思考列式。
如：“6.54減去8與1.7的積，差是多少？”可以引導學生這樣想：從6.54里面減去兩個數(shù)的積，所以列式為6.54-8×1.7。再如：“6.54與0.27的差乘以它們的和，結(jié)果是多少？”可以讓學生這樣想：兩個數(shù)的差乘以兩個數(shù)的和，這兩個數(shù)是6.54與0.27，所以列式為（6.54-0.27）×（6.54+0.27）。
2．我們也可以引導學生進行逆向推理，從具體問題出發(fā)，先理清解題的思路，最后列出解題的算式。
關(guān)鍵詞：比較；小學數(shù)學；教學；概念；認知
小學數(shù)學是重要的基礎(chǔ)課程之一，在數(shù)學教學過程中，合理的運用比較法教學，可以讓學生在輕松的學習環(huán)境、氛圍中很快的掌握知識，突出教學重點，突破教學難點，培養(yǎng)學生的辨別能力，有助于教學質(zhì)量的提高。
一、通過比較，認識概念
在數(shù)學教學中，我們可以引導學生對新舊知識進行比較，探尋新舊知識的相同與不同之處，找出他們內(nèi)在的聯(lián)系，將新舊知識相結(jié)合，使學生能夠主動尋找新的知識點，認識并掌握概念的本質(zhì)屬性。
如在教學“數(shù)的整除”時，由于整除這一概念出現(xiàn)在本章之前，而且貫穿于整章內(nèi)容之中，如果沒有理解整除的概念，下面的內(nèi)容就無法進行教學，而且概念本身也比較抽象，學生不易理解。因此，可以讓學生首先口算下列題目：（1）56÷8=7（2）7÷5=1.4（3）0.6÷2=0.3（4）27÷3=9（5）28÷4=7（6）10÷3=3.333……然后讓學生觀察題中的被除數(shù)、除數(shù)和商的特征，找出這些算式中哪些是可以除盡的？哪些是除不盡的？在除盡的算式里被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)的有哪些？通過逐層揭示，得出整除的本質(zhì)屬性――數(shù)a除以數(shù)b，除得的商正好是整數(shù)而且沒有余數(shù)，我們就說數(shù)a能被b整除，從而使學生復習了除盡和除不盡的概念，知曉了他們與整除三者之間的聯(lián)系和區(qū)別。
二、通過比較，分清概念
在教學“比的概念”時，因為教材用“除”來定義“比”，因此，學生容易把“比”“除”“分數(shù)”概念等同。筆者在教學完“比”的定義后，設(shè)計了如下判斷題：
1.因為兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的“比”，所以，比式也是除式。（ ）
2.因為比可以寫成分數(shù)形式，所以比也是分數(shù)。（ ）
在學生思維達到憤悱狀態(tài)時，再讓學生討論比較：
1.a÷b，a：b，a/b（b≠0）各表示什么意義？
2.在計算a÷b這個式子時，可以寫成a：b嗎？
3.一個長方形面積是8.1平方分米，長5.4分米，寫出它的面積和長的比，并簡化。
通過以上具體題目的討論，學生認識到：比、除和分數(shù)各自表示的意義不同，除式的含義較寬，比號不能代替除號，分數(shù)可帶單位，比值不帶單位，從而對“比”這個概念認識得更加清楚。
三、通過比較，促進遷移
學生通過比較可以發(fā)現(xiàn)不同知識的共同點和內(nèi)在聯(lián)系，從而促進知識的遷移，加深聯(lián)系。因此，在教學過程中，通過比較找出知識的共同點，這對于學生系統(tǒng)地掌握這些既有區(qū)別又有聯(lián)系的各部分知識，具有很大的幫助作用。如教學“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的應(yīng)用題”時，同整數(shù)中的“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍的應(yīng)用題”比較，使學生明確數(shù)中的“幾倍”與分數(shù)中的“幾分之幾”都是表示一個數(shù)與另一個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，只是倍數(shù)大于“1”，我們習慣說成“幾倍”，如果倍數(shù)小于“1”，我們習慣說成“幾分之幾”而已。所以，“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”其解題方法與“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”是相同的。
四、通過比較，揭示規(guī)律
兩數(shù)相比，有標準數(shù)已知和未知兩種情況，因此就出現(xiàn)了“多幾”用加，“少幾”也要用加的應(yīng)用題。學生對這樣的應(yīng)用題，往往根據(jù)“多”加“少”減來確定算法，造成錯誤。教學時，我將兩數(shù)相比的題目歸成兩類：標準數(shù)已知和標準數(shù)未知的，引導學生通過比較，揭示它們的規(guī)律。凡標準數(shù)已知的題目，“多幾”用加，“少幾”用減；而標準數(shù)未知的題目，“多幾”反而用減，“少幾”反而用加。這種比較，由特殊上升到一般，可把學生對知識的領(lǐng)會引向深化，達到應(yīng)有的水平。
五、通過比較，靈活解題
學生能從多角度、多側(cè)面去思考問題，并能通過比較從中找出解題的最佳途徑，是思維靈活性和創(chuàng)造性的表現(xiàn)。如“某工廠生產(chǎn)一批零件，原計劃每天生產(chǎn)500個，6天可以完成，結(jié)果只用5天完成，實際每天比原計劃多生產(chǎn)多少個零件？”
解法1：
計劃生產(chǎn)零件的總數(shù)：500×6 =3000（個）
實際每天生產(chǎn)零件的個數(shù)：3000÷5=600（個）
實際每天比原計劃多生產(chǎn)的個數(shù)：600-500=100（個）
解法2：
設(shè)實際每天比原計劃多生產(chǎn)x個。
列方程，得500×5+5x=500×6
解得 x =100
解法3：
實際生產(chǎn)只需5天，即比原計劃提前一天，這樣若將原計劃一天生產(chǎn)的任務(wù)分攤給其他各天，就正好是實際比原計劃多生產(chǎn)零件的個數(shù)。
即 500÷ 5 =100（個）
根據(jù)以上三種解法，引導學生分析比較，得出第三種解法既簡明，又有創(chuàng)造性，開拓了學生的思維。
六、通過比較，認識圖形
在學習各種空間圖形時，我認為用比較法，效果也比較好。比如，長方形和正方形的區(qū)別，梯形與多邊形的區(qū)別……從而鞏固對它們表象的認識。同時，在學習計算圖形面積和體積公式的時候，我也常常采用這種方法，先出示前面學過的圖形的面積和體積，回憶它的計算公式，然后引起探究欲望，“那今天我們這種圖形的面積又該怎么計算呢？請根據(jù)你對這種圖形的認識，利用前面公式的推理方法，自己先想一想，然后在小組內(nèi)交流一下?！边@樣學生在探究的過程中就有了基礎(chǔ)，推理出公式以后，兩個公式再進行比較，從而讓學生記憶更牢固。
【結(jié)語】：
總之，在現(xiàn)代數(shù)學教學中，比較法是一種較為常用的方法，在教學中，靈活運用比較法教學，對于培養(yǎng)學生學習興趣，鞏固舊知識，更好地學習新知識，以及提高學生的思維能力和解題能力，都有很大的幫助。教師要熟練掌握比較教學的比較教學方法，幫助學生更好的培養(yǎng)學生的自主學習的興趣，更好的掌握并運用數(shù)學知識，以完成教學任務(wù)，達到預期的教學目標。
參考文獻：
[1]張寧.淺談“比較法在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用”[J].東方青年?教師（上半月），2013（8）.
在人教版小學實驗教科書《數(shù)學》六年級上冊第43頁上，以我國“神舟五號”順利升空為載體，對“比”和“比值”的意義作了這樣的描述：“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”“比的前項除以后項所得的商叫作比值”“比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示?！痹?014年7月出版的人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學》六年級上冊第48頁上引進“比”和“比值”的概念時，內(nèi)容基本不變，就是把“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”這句話改為了“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”。而在與課本配套的《教師教學用書》第86頁上指出：“教師還可以指出，兩個同類量的比表示這兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，兩個不同類量的比可以表示一個新的量。如‘路程比時間’又表示速度?！?/p>
實驗教科書和2014版教科書引進“比”的例子相同，其一都是用航天員展示的國旗長15厘米，寬10厘米，長和寬的比是15比10，可記作15∶10，15∶10=15÷10=，就是比值。其二是“神舟五號”平均90分鐘繞地球一周，大約運行42252km，指出“路程和時間的比是42252比90”。
根據(jù)教科書的例題看，比值是不帶計量單位名稱的，這里路程和時間的比值應(yīng)該是42252÷90=（或469.46）。
從教科書和配套的《教師教學用書》引出值得我們思考的幾個問題。
1.在小學數(shù)學教學中應(yīng)該怎樣引出“比”和“比值”的概念？“比”究竟是“兩個數(shù)的比”還是“兩個量的比”，或者兩者都可以？
2.“神舟五號”繞地球一周運行的路程和時間的比是42252比90，那么根據(jù)教材中“比值”的定義，它們的比值應(yīng)該是42252÷90=（或469.46）。而根據(jù)《教師教學用書》所言，“兩個不同類量的比可以表示一個新的量”。那么該例中比值要不要寫成千米/分？能不能寫成千米/分？
3. 在小學數(shù)學教材中是否有必要引進不同類量的 “比”和“比值”的概念？
信中提到的把“比”等同于除法的信息，令人驚訝。恰巧接信不久，又蒙某教材編輯寄來2014年修改的教材一套。于是連同網(wǎng)上下載的舊版，看到了“比的認識”一節(jié)的修改過程。
圖1
圖2
某教材的較早版本在編排“比的認識”一課時，曾用獲勝場次的多少加以比較（圖2）。顯然這不屬于“比”的例子。原以為編者想用此例區(qū)別一般的排名和“比”的概念有別，可是教材未置一詞（新版則刪去了，頗為可惜）。接著就是路程除以時間得速度，總價除以數(shù)量得單價的不同類量的相除。這本來是一類標準的除法題目，教材卻不加說明地拿來當作“比”的概念的引例。那么有了除法為什么還要引進“比”？沒有任何解釋。在隨后的兩頁中，倒是研究了同類量之比，矩形的放大與縮小，樹和影子的長度。尤其是甘蔗汁和水的配比，極具“比”的意義。但是教材卻偏偏不說這些例子和“比”有什么關(guān)系。這樣一來，教材就成了讓人費猜的謎語。
新版教材使用照片長、寬比值不同而引起人像變形的童趣例子，這本來可以引向比的意義?？墒墙滩膮s突然說“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”。（圖1）
閱讀之后，不覺陷入沉思。
隨手打開《辭?！?，看到“比”的條目這樣寫著：
“比較兩個同類量的關(guān)系時，如果以 b為單位來度量a，稱為a比b，所得的k值稱為比值”。
這大概是“比”的老式定義。新潮的小學數(shù)學教材已經(jīng)將之廢除，直接把兩數(shù)之“比”說成就是兩數(shù)相除了。其目的不過是要學生記?。罕戎皇浅ǖ牧硪环N說法而已，并沒有新的內(nèi)容。這樣的“改革”，究竟是進步，還是倒退？沒頭沒腦地將除法說成就是比，把“比”當作除法的附庸，該如何落實知識發(fā)生的過程性目標？既然要貫徹“四基”，那么“比”的基本數(shù)學思想方法何在？返璞歸真，正本清源，是數(shù)學教學的一項基本原理。稍微想想就可以知道，《辭?！返亩x重在揭示“比和比值”概念的內(nèi)涵，而新潮教材則回避了“比”的本質(zhì)，僅僅是描述了“比”的外殼而已。
讓我們作進一步的分析。
顧名思義，學生看到“比”，第一個聯(lián)想到的詞就是“比較”?！掇o?！丰屃x中，首先提到的也是“比較”兩字。對六年級的學生而言，關(guān)于如何比較兩個量的大小，已經(jīng)學過兩種方法。
第一種方法是比較兩數(shù)的差距關(guān)系。如果a比b大，用減法就可以知道差距是a C b。在日常語境中我們常說：
（1）小明“比”小華高2厘米;
（2）甲、乙兩隊籃球比賽的結(jié)果是100 比99，乙隊以一分之差輸了;
（3）中國乒乓球隊以3比0 完勝對手。
（4）比較勝利場次排名次。
這里都用到“比”這個詞。但只是比較差距，而差距用減法可求得。這是a與b之間的“差關(guān)系”。
第二種方法是比較兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。對a，b兩正數(shù)，若a>b， 那么a÷b = k >1; 如果a
（1）姚明“比”我高，他的身高是我身高的1.5倍;
（2）我比小胖的體重輕，我的體重只是他的0.8倍。
這就是說，“比”這一概念的本源是“比較”。用倍數(shù)比較大小，表明a與b之間存在著“比關(guān)系”。本單元要學習的就是這第二種方法的比較。
現(xiàn)在，我們可以給“比”下一個比較合理的定義了。
“兩個量a，b，如果以b為單位去衡量a，稱a和b之間有關(guān)系a比b，記作a∶b。 a÷b = k 稱為比值”。
通過以下的例子，可以不斷強化“比”的本源意義。
例1.做面包時，用三杯面粉加一杯水。面粉體積和水體積是3比1，記作3∶1。比值是 3÷1=3。
例2.用1杯純甘蔗汁加5杯水兌成甘蔗飲料。甘蔗汁和水的數(shù)量是1比5，記作1∶5。比值是 1÷5=。
例3.在某時刻，以樹影子長度衡量樹的高度，形成2比1的關(guān)系，記為2∶1.比值是 2÷1 = 2。（如圖3）
圖3
例4. 一個矩形的長度a 和寬度b，形成a比b的關(guān)系。如果比值a÷b=k >1， 那么矩形是扁平狀的。如果 k< 1，則矩形是豎條狀的，若k=1，矩形是正方形。（如圖4所示放置）
圖4
對于上述“比”的定義，我們再作一些進一步的解釋。
（一） “比”是一種數(shù)量關(guān)系?！氨取辈皇浅ㄟ\算，只是在求比值時才要用除法
“比”在《辭?！范x中明確提到a與b之間是一種關(guān)系?！熬S珍百科”里，對英文ratio的解釋中，也說“比”是一種關(guān)系（relationship）。實際上，“比”有時候只是描述了兩個量之間的一種狀態(tài)，一種對比。說兩個同類量a與b 之間存在著比的關(guān)系，可以先求出比值，也可以不必求比值。如例1中，做面包時3杯面粉要用1杯水調(diào)和，我們就直接說面粉與水的用量是“3比1”，寫成3 ∶1?，F(xiàn)實中直接照此操作就是了，并非一定要先用除法去計算其比值為3之后再來說二者之比。
換句話說，比，只是在求比值時才是除法。3∶2 可以只是一種狀態(tài)，3÷2 則是一種運算，二者在意義上不一樣。
（二） “比”是為比例做準備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。這種比例關(guān)系，其含義遠超“除法”
例如，某教材中樹高和它影子的關(guān)系，就可以看作是一個正比例的函數(shù)關(guān)系。事實上，在固定的時刻，樹高x決定了影子的長度y; 不同高度的樹，其影子長度都是樹高的k倍，形成 y = kx 的函數(shù)關(guān)系。這就是說，小學里“比”的學習，不等于重學一遍除法。比的概念，還要進一步發(fā)展為四個量的比例關(guān)系，并為將來學習正比例函數(shù)做準備。這種函數(shù)對應(yīng)思想，較之除法的意蘊要深刻得多。
當然，并非所有的“比關(guān)系”都可以擴展為函數(shù)關(guān)系。例如本班的男生數(shù)和女生數(shù)恰好相等，形成1比1的關(guān)系。但是，別的班級未必如此，我們不能說任何班級的男生和女生的人數(shù)都相等。
（三）“比”原本是同類量的比較關(guān)系，但是也可以推廣到不是“同類量”的情形。不過，同類量之比是“源”，不同類量之比只是“流”
《辭?！范x規(guī)定，只有同類量才能作“比”。我們在上述定義中，沒有這樣限制。事實上，日常生活里有許多對“非同類量”進行比較的事例。例如，為了鼓勵回收易拉罐，規(guī)定10只易拉罐，可以換100克糖果。易拉罐的個數(shù)，與糖果的重量，不是同類量，但我們也會說，易拉罐和糖果之比是10個∶100克。又如我們看到一則廣告說，買某牌子牙膏3支，奉送牙刷2把?！把栏嘀?shù)”和“牙刷把數(shù)”不是同類量，但也會說購買的牙膏數(shù)與贈送的牙刷數(shù)是3比2。
由于不同類量之間，不能說“倍數(shù)”，所以這個定義里只用了“以b為單位去衡量a”的說法。
但是，比的概念的源頭畢竟是同類量的比較。不同類量的比乃是流，是派生、引申出來的。區(qū)別源流，分清主次，是概念教學的要義。在倡導“過程性”教學目標的今天，更顯示出正本清源的重要性。
（四） 不同類量的比，不宜作為“比”的主要情景引入
我們注意到，人教社的教材中，引出“比”的主要例子之一是一個不同類量之比：
“神舟五號”平均90分鐘繞地球一周，大約運行42252km。于是指出“路程和時間的比是42252比90”。
這樣做，未免失當。如上所述，“比”的本質(zhì)是“比較”關(guān)系，一個除法問題難以覆蓋“比”的內(nèi)在含義。路程除以時間等于速度，明明是一個計算運轉(zhuǎn)速度的除法問題，并沒有比較路程與時間大小的含義在內(nèi)。用不同類量作為主要引例，顛倒了源流關(guān)系，增加了學生的理解困難。此外，對于比的理解，先要從兩個簡單的整數(shù)之比說起。例如面粉和水之比為3比1之類?，F(xiàn)在一下子出現(xiàn)42252這樣大的一個數(shù)，分散了學生對“比”的意義的注意力。
至于某教材里問“哪種蘋果最便宜”的例子，給出了三種總價和數(shù)量，然后計算三種單價，再比較這些單價得出“最便宜”的答案（這里的比較和“比”無關(guān)，學生容易混淆）。編者的意圖是要學生說出單價是總價與數(shù)量之比。但是這明明就是一個典型的除法情景，日常生活中總是說“總價除以數(shù)量為單價”。這里生硬地把除法說成是“比”，對學生理解“比”的概念不但沒有益處，反而會產(chǎn)生干擾。
（五）同類量的比值沒有量綱，不同類量的比值一定會有量綱
同類量之比，其比值是無量綱的。例如長度（4厘米）比寬度（2厘米），相除以后，單位（厘米）約去，比值是無量綱的數(shù)2。但是不同類量之比，比的前后項里的量綱不能約去。作為“量”而言，兩個量之比一定是有量綱的。路程（米）比時間（秒）得到速度，其量綱是米/秒，不能省略。人教版說“神舟五號”繞地球一周運行的路程和時間的比是42252比90。這樣，按教材中“比值”的定義就得出二者的比值是42252÷90=（或469.46），那是不正確的。有人會辯白說那只是“兩個數(shù)之比”。確實，任何“數(shù)”都是無量綱的，例如，有理數(shù)是兩個整數(shù)之比。但是，量和數(shù)不能混為一談?！吧裰畚逄枴边\行的距離和時間都是具體的量，具有清晰的速度量綱，不能隨意抹去。
（六）把“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”作為“比”的定義，乃是舍本逐末
比的概念，有一個發(fā)展過程。最先是同類量的簡單倍數(shù)比較，如甘蔗飲料的配比1∶5。 然后是同類量的復雜比，如樹高與其影長之比，具有函數(shù)對應(yīng)的背景。再次是不同類量的比較，具有量綱，如速度。最后，則是從“量”到“數(shù)”，引出兩個無量綱的數(shù)的比。
這就是說，直接把“兩個同類量之比”定義為“兩個數(shù)相除”，就跳過了許多步驟，抽去了“比”的概念發(fā)生過程，把引申出來的最邊遠結(jié)論當作了概念的本源，不啻是一種本末倒置的做法。
“比值”的計算固然要用到除法，但是“比”不等于除法。比有比的意義，除法有除法的用途。如前所述，比，可以只是兩個量之間的一種比較關(guān)系，一種對應(yīng)，一種狀態(tài)，可以不必凸顯“除法”。另一方面，除法的用途很廣，可以離開“比較”的本意很遠。例如，假定數(shù)學和語文的成績分別是92 和90，那么它們的平均成績是91。這里只用除法的意義，無須想到這是兩科總成績與2之間的一種比較。
這里，我們不妨以周樹人和魯迅的關(guān)系，對“比和除法”作一個比方。周樹人和魯迅確是同一個人，但是含義不同。周樹人是出生于19世紀末紹興周家的自然人和社會人，魯迅則是一個20世紀的文學家和思想家。周樹人是本源，魯迅是后來派生出來的。如果在解釋“周樹人”時只寫一句“周樹人即魯迅”就算完事，豈不是以偏概全，違反常識了？
通過以上的分析，對于戎老師提出的三個問題，已經(jīng)發(fā)表了我的看法。下面是關(guān)于“比的認識”一節(jié)教材若干設(shè)計建議。小學教材用上述方式定義“比”的概念，固然也是一種選擇，但是也可以將同類量之比和不同類量之比分別陳述。
第一段 “比較”
給出兩個量，如何比較大??？
例1.籃球賽 55比50 差距5分。排球賽 3比0。
（用加減法比較差距，以前學過）
例2.一樣大小的六個紅色方塊，三個藍色方塊。紅色方塊比藍色方塊多，6是3的2倍。稱為6比3，記作6∶3;藍色方塊少，只是紅色方塊的倍。稱為3比6，記作3∶6。
（今天要學的“比”是要用除法所得倍數(shù)來比較大小或多少等，和例1不同）
例3.做米飯合理的配比是4杯米要用2杯水。我們說米和水的用量是4比2，記作4∶2。
（生活化的術(shù)語，不涉及比值與除法）
第二段 比的定義
國旗的長、寬比。
從某產(chǎn)品目錄中看到國旗尺寸分6種規(guī)格，長與寬分別為（單位：毫米）：
1號，2880 ，1920;
2號，2400 ，1600;
3號，1920 ，1280;
4號，1440 ，960;
5號， 960， 640;
6號， 660， 440。
以寬度為單位，求出長度是寬度的幾倍？這些國旗的長、寬尺寸都不相同，但每種規(guī)格的國旗長都是寬的1.5倍。 由此給出比的定義：
“兩個同類量a，b，若以a是b的倍數(shù)k來比較它們的大小，稱為a比b ，記為a：b。數(shù) a÷b =k稱為a與b的比值。比值k就是a除以b 的商?！?/p>
（這里先要求“同類量”， 突出“比較”的本意，陳述一種狀態(tài)，但最后歸結(jié)為除法。為下一步具有廣泛應(yīng)用的“比例”打基礎(chǔ)，數(shù)是量的抽象表示，兩個數(shù)相除稱為兩個數(shù)之比，是自然的結(jié)論）
第三段 比的練習
繼續(xù)舉例，并練習。
（1）本班男生人數(shù)和女生人數(shù)的比;
（2）糖水中糖與水重量的配比;
（3）食物的配比;
（4） 農(nóng)藥的配比;
（5） 樹高與其影長之比;
（6） 增加同比與環(huán)比內(nèi)容。某廠月生產(chǎn)量的同比與環(huán)比。如某校每年5月和10月，都要捐書給希望小學。今年10月同比于去年10月，環(huán)比于今年5月。
（不斷強調(diào)“比”的意義，突出“除法”之外的特定內(nèi)涵）
第四段 不同類量之比
“兩個不同類的量a，b，雖然彼此沒有倍數(shù)關(guān)系，如果以b為單位衡量a，即考察a÷b，我們也把它叫作a比b，記為a ∶b?！?/p>
（1）某商店賣牙膏規(guī)定：顧客每買三支牙膏送一把牙刷。購買商品與贈品之比為3支∶1把，比值為3支/把;
（2）路程÷時間 = 速度。我們也說速度是路程與時間之比。如劉翔打破110米欄世界紀錄的速度 。
（作為小學教材，把同類量和不同類量之比分開來敘述，眉目清楚）
1.教學內(nèi)容
“整數(shù)除以整數(shù)，商是小數(shù)”是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”中的一種類型。之前學習的“整數(shù)除法”與“小數(shù)的意義”是本課學習的重要基礎(chǔ)，“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的算理、算法都與整數(shù)除法基本相同，是根據(jù)小數(shù)的意義將整數(shù)部分的運算向小數(shù)部分拓展。
人教版教材中“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”共安排了3個例題：例1是小數(shù)除以整數(shù)，除到被除數(shù)的末尾沒有余數(shù);例2是整數(shù)除以整數(shù)，除到被除數(shù)末尾仍有余數(shù)，需要添0繼續(xù)除;例3是被除數(shù)比除數(shù)小，整數(shù)部分不夠商1的情況。
2.學生情況
本單元教學之前，筆者安排學生對整個“小數(shù)除法”單元的計算部分進行了預習，關(guān)于“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”學生提出了如下一些問題：
（1）為什么商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊？為什么不數(shù)小數(shù)點的位數(shù)呢？
（2）小數(shù)除法第一步看不看小數(shù)點？
（3）列豎式計算的過程中，商的小數(shù)點什么時候點？
（4）被除數(shù)位數(shù)不夠時為什么能添0繼續(xù)除？
……
從這些提問中可以分析出，學生不太能接受小數(shù)除法沒能像乘法那樣“先當成整數(shù)算，最后再點小數(shù)點”的計算方法，也不理解“商的小數(shù)點與被除數(shù)對齊”“添0繼續(xù)除”等算法背后的算理。
基于此，本次教學調(diào)整了教材中例題的順序，先教學例2“整數(shù)除以整數(shù)，商是小數(shù)的情況”。先教學這類小數(shù)除法，可以從有余數(shù)的整數(shù)除法過渡到小數(shù)除法，這樣更有利于算理的理解、算法的遷移，同時也有利于學生更深刻地理解小數(shù)的意義――小數(shù)是比整數(shù)更精確的數(shù)。
二、教學目標
1.探究整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)的小數(shù)除法，掌握計算方法。在觀察、比較等活動中，豐富學生對除法的認識，深化對小數(shù)的意義的理解。
2.借助實物直觀和圖形直觀，理解“添0繼續(xù)除”“商的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊”的道理，能正確地計算整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)的小數(shù)除法。
3.在分析方法、遷移運用的過程中，學會用聯(lián)系的眼光分析問題的意識和能力。
4.初步養(yǎng)成樂于思考、言必有據(jù)的良好品質(zhì)。
三、教學過程
1.引入
①回答問題并列出算式
師：將7支鋼筆平均分給2人，怎么分？用算式表示。
生：7支鋼筆平均分給2人，每人3支還余1支。算式是7÷2=3……1。
師：將7元錢平均分給2人，怎么分？用算式表示。
生：7元錢平均分給2人，每人可以先分到3元，剩下的1元換成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。（課件演示分的過程，教師板書：7÷2=3……1;7÷2=3.5）
②對比兩題，引出課題
師：為什么都是7÷2，商卻不同？
生：因為分的東西不一樣。
生：分鋼筆，剩下1支就不能再分了;分錢，剩下的1元可以換成10角繼續(xù)分。
師：對于分鋼筆的問題，可以用以前學過的有余數(shù)除法來解決，而分錢的問題則要用到新知識――小數(shù)除法來解決。這節(jié)課我們就來研究小數(shù)除法，體會一下今天學習的小數(shù)除法與之前學習的整數(shù)除法有什么聯(lián)系和區(qū)別。（板書課題：小數(shù)除法）
（點評：在學生已有的認知經(jīng)驗中，“除法”與“平均分”有著密切的聯(lián)系。在本課學習之前學生有比較豐富的整數(shù)除法運算經(jīng)驗。知道“平均分”的結(jié)果有“恰好分完”和“分完有剩余”兩種情況，這是學生數(shù)學學習的認知基礎(chǔ)。同時，學生們又知道貨幣可以“化整為零”，平均分完剩余“1元”，可以換成“10角”繼續(xù)分，這是學生的生活經(jīng)驗。上面兩個例子均使用了實物直觀，其價值在于充分調(diào)動了學生的已有經(jīng)驗，為基于經(jīng)驗的遷移探究奠定了基礎(chǔ)，也初步回答了學生課前的疑問。）
2.新課
（1）研究算法，追問算理
①學生嘗試寫豎式
師：將7元錢平均分成2份，經(jīng)過了分―換―再分的過程，想一想，怎樣用豎式表示出這些過程？
學生嘗試寫豎式;同桌交流豎式中的哪些部分分別表示了分、換、再分的過程。
②分析豎式，追問算理
學生展示豎式的不同寫法，并說明豎式表示的分的過程。
師：大家寫的豎式有很多相同點，比如都在余1的后面添了一個0，為什么要添0呢？
生：添0后，1就變成10了。
生：1除以2不夠除，10除以2就夠除了。
生：不對，應(yīng)該說添0后，1就變成1.0了，就相當于把1元換成了10角。
師：這個0能添嗎？
生：當然能添了，這是小數(shù)末尾的0，小數(shù)末尾添多少個0都行！
師：商5的前面為什么要點上小數(shù)點呢？
生：因為5代表的不是5個1，而是5個0.1。
生：5是10除以2算出來的，10角平均分成2份，每份是5角，是0.5元。
③板演豎式，規(guī)范寫法
教師演示豎式的書寫過程，說明計算過程中的小數(shù)點可以省略。
（點評：教師通過引導學生將生活經(jīng)驗與學習經(jīng)驗進行融合，平均分硬幣的直觀模型有助于幫助學生將“分―換―再分”這一平均分的過程，與豎式運算中的“除―添‘0’―再除”的過程建立起聯(lián)系?！疤?”就是“換錢”，就是化小計數(shù)單位?！按髥挝弧辈粔蚍謺r可以“化小”計數(shù)單位（增加計數(shù)單位的個數(shù)），“夠分了”再繼續(xù)分。讓學生嘗試寫豎式，也是將探究與思考的機會留給了學生，自主探尋課前的問題。學生通過試寫、對比和分析逐步聚焦問題，抓住計數(shù)本質(zhì)分析計算方法。實物直觀模型較好地突顯了除法中的“添0”就是“計數(shù)單位轉(zhuǎn)換”這一核心。）
（2）鞏固算法，深究算理
①鞏固算法，嘗試計算11÷4
師：（板書11÷4）這個算式表示什么意思？
生：把11平均分成4份，每份是多少。
師：11個1怎樣平均分成4份呢？請你結(jié)合分的過程也可以模仿7÷2的豎式，嘗試寫一寫11÷4的豎式。（學生獨立思考，嘗試寫豎式計算11÷4，一生板演）
②解讀豎式，演示分的過程
學生解讀豎式的每個步驟，教師用課件演示平均分的過程。
③深入分析算理
師：為什么計算11÷4時，要添兩個0？
生：個位余3，需要在十分位上添0繼續(xù)除;十分位上又余2，就需要在百分位上添0繼續(xù)除。
師：除到末尾有余數(shù)就在后面添0，添0是在改變什么？
生：添0，就讓余數(shù)“變碎”了，變成了更小的單位。
生：計數(shù)單位小了，計數(shù)單位的個數(shù)就增多了，就夠除了。（教師結(jié)合學生的發(fā)言，再次演示課件）
④總結(jié)算法
師：比較一下，計算7÷2與11÷4時，有什么共同點？
生：都是整數(shù)除以整數(shù)，商是小數(shù)。
生：除到最后有余數(shù)，需要點上小數(shù)點，添上0繼續(xù)往下除。（教師補充課題：整數(shù)÷整數(shù)=小數(shù)）
師：對比一下，今天我們學習的小數(shù)除法與之前學過的被除數(shù)末尾有0的整數(shù)除法相比，有什么聯(lián)系和區(qū)別嗎？（出示如右豎式）
生：我覺得今天學的小數(shù)除法與整數(shù)除法差不多，只不過需要自己先補0再落下來繼續(xù)除。
生：我補充，在添0之前要先添上小數(shù)點，商也要對應(yīng)著點小數(shù)點。
（點評：在學生對這類小數(shù)除法有了初步感悟的基礎(chǔ)上，再借助幾何直觀的演示，有利于幫助學生逐步形成對算法的抽象理解，并有助于形成對這一類計算的普遍性認識。從直觀形式來看，執(zhí)教老師所選用的方格圖是學生認識小數(shù)時常見的直觀模型，因此使用它對于學生理解計算過程中每一步所得到的結(jié)果以及數(shù)的變化有支撐作用。從直觀的使用時機來看，是在學生嘗試計算之后再進行幾何直觀的演示，這樣的安排使直觀模型發(fā)揮了驗證結(jié)論和揭示過程的作用，有助于學生完成兩個對接，即平均分的過程與豎式書寫對接，理解直觀與理解運算對接。）
（3）拓展延伸
①嘗試計算5÷25
師：這里還有一道整數(shù)除以整數(shù)的題目，大家嘗試用豎式計算一下。（學生獨立嘗試計算）
②討論：商是5、0.5還是0.2？
師：我看到大家的計算結(jié)果有5、0.5和0.2，哪個不對，為什么？
生：不可能是5，5除以25表示把5平均分成25份，每份連1都分不到，所以不可能是5。
生：0.5也不對，0.5乘25不等于5。
③交流自主探究中的疑問
師：得出這些錯誤的商，是因為在計算過程中同學們有一些疑問，我們一起來交流一下。首先第一個問題就是5和25，哪個數(shù)寫在里面，哪個數(shù)寫在外面？
生：5是被除數(shù)，5寫在里面，25寫在外面。
生：無論什么數(shù)，都應(yīng)該將被除數(shù)寫在里面，除數(shù)寫在外面。
生：我是這么寫的，可是我不知道怎么用5除以25，5比25小??？
生：5不夠除，可以添0啊，50除以25就夠除了！
生：不能只是添0，也要添小數(shù)點，而且寫商時也要先寫上0，點上小數(shù)點，商的2是2個0.1。
結(jié)合學生發(fā)言，教師演示課件如下：
④對比，補充算法
師：同樣是整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)，這道題卻有些不同，哪兒不一樣？
生：被除數(shù)比除數(shù)還要小。
師：在整數(shù)除法中，除了0作被除數(shù)，我們從沒有遇到過這種情況。被除數(shù)比除數(shù)小，商最明顯的特點是什么？
生：商一定是小數(shù)。
生：商一定小于1！因為被除數(shù)比除數(shù)小，每份一定不夠1。
生：商肯定是零點幾，被除數(shù)不夠除，需要添上0和小數(shù)點才能除！
⑤鞏固練習：3÷8
（點評：計算學習通常都是發(fā)現(xiàn)一個又一個“新情況”，并根據(jù)數(shù)學概念及運算意義“破解”一個又一個“新情況”的過程。學生學習小數(shù)除法時有兩個重要的生長點：第一是“個位剩余可以繼續(xù)分”，在前面的新課環(huán)節(jié)已經(jīng)重點探討。第二是“較小數(shù)除以較大數(shù)”的情況，這既是學生認知的生長點，也是本課學習的難點。教師在引導學生借助估算初步感知結(jié)果范圍的基礎(chǔ)上，再次使用幾何直觀幫助學生認可結(jié)果，并深入理解“先添小數(shù)點，再添繼續(xù)除”的道理。）
3.總結(jié)質(zhì)疑
師：這節(jié)課學習了什么？在原來學習整數(shù)除法的基礎(chǔ)上，研究了哪些新問題？
生：研究了怎樣將有余數(shù)的整數(shù)除法繼續(xù)除下去。
生：研究了如果被除數(shù)比除數(shù)小怎么除。
師：你還有什么疑問嗎？
生：是不是不斷添0除下去，就一定能除盡？
生：不一定，我知道還有循環(huán)小數(shù)。
生：比如1÷3，3乘幾也不可能得幾十，那就總會有余數(shù)，怎么補0也除不盡！
……
四、教學點評
陳老師基于學情分析，對教學內(nèi)容的順序進行了調(diào)整，本課被作為“小數(shù)除法”單元的起始課。這樣的安排，充分地調(diào)動了學生對除法意義以及小數(shù)意義的已有認知經(jīng)驗。引導學生通過經(jīng)驗遷移、方法遷移、認知遷移，在自主探究、對比和反思中探尋方法，辨析解惑，推廣經(jīng)驗。整數(shù)除法中有關(guān)“平均分”的經(jīng)驗可以遷移到小數(shù)除法，整數(shù)除法中“從高位開始，一位一位地平均分”的方法可以遷移到小數(shù)除法，學生對小數(shù)意義的認知可以遷移到小數(shù)的運算中，即“如何算”（方法）取決于“數(shù)是什么樣的”（本質(zhì)）。這次嘗試，也是充分考慮了學生的基礎(chǔ)和需求，從實施效果來看是被學生接受的。并且能夠?qū)訉由钊氲卣归_思考，對計算方法的認識逐漸清晰而完善。同時，本課的收獲又為接下來繼續(xù)研究“小數(shù)÷整數(shù)”“小數(shù)÷小數(shù)”奠定了新的認知基礎(chǔ)。
小數(shù)除法是計算教學中難點比較集中的教學內(nèi)容。學生對其方法也常存有困惑，這些都是教師在教學中應(yīng)全面了解并給予充分關(guān)注和準確回應(yīng)的。歸納起來，學生的困惑主要集中在“如何處理小數(shù)點”和“如何處理0”上。在本課設(shè)計中，陳老師重點借助“三次直觀”突破認知難點，又通過“三次對比”不斷突顯核心概念。
1.三次直觀：推動認知發(fā)展
直觀模型能夠讓學生對數(shù)和運算更有“感覺”。在計算中，運用直觀首先是一種“算法”，可以讓學生直觀地“看到”結(jié)果，進而認可豎式計算的結(jié)論。同時還能幫助學生理解計算過程，進而抽象計算（豎式書寫）方法的重要支撐。本課中教師先后使用了三次直觀模型。第一次是新課引入時的實物直觀模型（“分鋼筆”和“分硬幣”），讓學生認識到有時分完有剩余可以“換一換”再繼續(xù)分的現(xiàn)象。第二次是初步探索計算方法后使用的幾何直觀模型（方格圖），充分調(diào)動了學生對小數(shù)的認知經(jīng)驗。每個正方形代表“一”，平均分成10份，每份（一小條）就是;將一小份（一小條）再平均分成10份，每份（一個小正方形）就是……將認識小數(shù)時所使用的直觀模型應(yīng)用在計算過程中，有助于學生認可每一步的運算結(jié)果，并形象地理解計算過程中每一步的含義。第三次是計算5÷25（較小數(shù)÷較大數(shù)）這一難點時使用了幾何直觀模型，其價值首先在于讓學生認定結(jié)果，其次是理解平均分的過程?？傊?，三次直觀模型的使用價值，都基于學生的認知需求，有效推動了學生的認知發(fā)展。其形式不同，價值也不盡相同。
2.三次對比：突顯核心概念
“數(shù)”與“運算”是緊密相連的教學內(nèi)容，計算教學中算法和算理的溝通離不開 “計數(shù)單位”這一核心概念。但是核心概念是抽象的，不容易被學生感悟、理解和運用。因此教學中，教師需要設(shè)計有效的活動，促使學生不斷形成對核心概念的深入理解。本課中，陳老師通過“三次對比”不斷突顯了核心概念的價值。第一次是對比兩個“7÷2”的結(jié)果，平均分7支鋼筆剩余1支就不能再分了;而平均分7元錢剩余1元還可以換成10角繼續(xù)分。這次對比讓學生自然而然地接受了“換小單位可以繼續(xù)分”，雖然此時還是實際情境，但已為學生把握核心概念奠定了堅實的基礎(chǔ)。第二次是對比小數(shù)除法與整數(shù)除法。小數(shù)除法中的“添0繼續(xù)除”與整數(shù)除法中的“落0繼續(xù)除”很相似，這種感受有助于學生算法遷移，同時又讓學生感受到整數(shù)除法中“落完了”也就除完了。而小數(shù)除法只要需要就可以不停地“添0”繼續(xù)除，這正是小數(shù)的性質(zhì)所決定的。這次對比既突顯了除法運算中“不斷化小計數(shù)單位繼續(xù)除”的“通法”，又突顯了小數(shù)“沒有最小計數(shù)單位”的核心概念，這些有助于提升學生運算能力。第三次是對比兩類“整數(shù)÷整數(shù)=小數(shù)”的除法，一種是“被除數(shù)>除數(shù)”，另一種是“被除數(shù)<除數(shù)”，這組對比使學生主動地將估算與精算相結(jié)合，并進一步聚焦了“處理0”的難點問題?！霸摬辉撎?”“0該添在哪兒”等問題都指向于學生對“計數(shù)單位”“數(shù)位”等概念的深入理解。
科學是人類的共同財富，而真正的科學家的任務(wù)就是豐富這個令人類都能受益的知識寶庫。下面小編給大家分享一些六年級上冊數(shù)學知識，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
六年級上冊數(shù)學知識1第一單元分數(shù)乘法
(一)分數(shù)乘法意義：
1、分數(shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。
“分數(shù)乘整數(shù)”指的是第二個因數(shù)必須是整數(shù)，不能是分數(shù)。
2、一個數(shù)乘分數(shù)的意義就是求一個數(shù)的幾分之幾是多少。
“一個數(shù)乘分數(shù)”指的是第二個因數(shù)必須是分數(shù)，不能是整數(shù)。(第一個因數(shù)是什么都可以)
(二)分數(shù)乘法計算法則：
1、分數(shù)乘整數(shù)的運算法則是：分子與整數(shù)相乘，分母不變。
(1)為了計算簡便能約分的可先約分再計算。(整數(shù)和分母約分)(2)約分是用整數(shù)和下面的分母約掉最大公因數(shù)。(整數(shù)千萬不能與分母相乘，計算結(jié)果必須是最簡分數(shù))。
2、分數(shù)乘分數(shù)的運算法則是：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。
(分子乘分子，分母乘分母)
(1)如果分數(shù)乘法算式中含有帶分數(shù)，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再計算。
(2)分數(shù)化簡的方法是：分子、分母同時除以它們的最大公因數(shù)。
(3)在乘的過程中約分，是把分子、分母中，兩個可以約分的數(shù)先劃去，再分別在它們的上、下方寫出約分后的數(shù)。(約分后分子和分母必須不再含有公因數(shù)，這樣計算后的結(jié)果才是最簡單分數(shù))。
(4)分數(shù)的基本性質(zhì)：分子、分母同時乘或者除以一個相同的數(shù)(0除外)，分數(shù)的大小不變。
(三)積與因數(shù)的關(guān)系：
一個數(shù)(0除外)乘大于1的數(shù)，積大于這個數(shù)。a×b=c,當b >1時，c>a。
一個數(shù)(0除外)乘小于1的數(shù)，積小于這個數(shù)。a×b=c,當b
一個數(shù)(0除外)乘等于1的數(shù)，積等于這個數(shù)。a×b=c,當b =1時，c=a 。
在進行因數(shù)與積的大小比較時，要注意因數(shù)為0時的特殊情況。
(四)分數(shù)乘法混合運算
1、分數(shù)乘法混合運算順序與整數(shù)相同，先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面的，再算括號外面的。
2、整數(shù)乘法運算定律對分數(shù)乘法同樣適用;
運算定律可以使一些計算簡便。
乘法交換律：a×b=b×a 乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c
(五)倒數(shù)的意義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。
1、倒數(shù)是兩個數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，不能單獨存在。
單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。(必須說清誰是誰的倒數(shù))
2、判斷兩個數(shù)是否互為倒數(shù)的唯一標準是：兩數(shù)相乘的積是否為“1”。
例如：a×b=1則a、b互為倒數(shù)。
3、求倒數(shù)的方法：
①求分數(shù)的倒數(shù)：交換分子、分母的位置。
②求整數(shù)的倒數(shù)：整數(shù)分之1。
③求帶分數(shù)的倒數(shù)：先化成假分數(shù)，再求倒數(shù)。
④求小數(shù)的倒數(shù)：先化成分數(shù)再求倒數(shù)。
4、1的倒數(shù)是它本身，因為1×1=1
0沒有倒數(shù)，因為任何數(shù)乘0積都是0，且0不能作分母。
5、真分數(shù)的倒數(shù)是假分數(shù)，真分數(shù)的倒數(shù)大于1，也大于它本身。
假分數(shù)的倒數(shù)小于或等于1。帶分數(shù)的倒數(shù)小于1。
(六)分數(shù)乘法應(yīng)用題——用分數(shù)乘法解決問題
1、求一個數(shù)的幾分之幾是多少?(用乘法)
已知單位“1”的量，求單位“1”的量的幾分之幾是多少，用單位“1”的量與分數(shù)相乘。
2、巧找單位“1”的量：在含有分數(shù)(分率)的語句中，分率前面的量就是單位“1”對應(yīng)的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是單位“1”。
3、什么是速度?
速度是單位時間內(nèi)行駛的路程。
速度=路程÷時間 時間=路程÷速度 路程=速度×時間
單位時間指的是1小時1分鐘1秒等這樣的大小為1的時間單位，每分鐘、每小時、每秒鐘等。
4、求甲比乙多(少)幾分之幾?
多：(甲-乙)÷乙 少：(乙-甲)÷乙
六年級上冊數(shù)學知識2第二單元位置與方向
1、什么是數(shù)對?
數(shù)對：由兩個數(shù)組成，中間用逗號隔開，用括號括起來。括號里面的數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)，即“先列后行”。
數(shù)對的作用：確定一個點的位置。經(jīng)度和緯度就是這個原理。
2、確定物置的方法：
(1)、先找觀測點;(2)、再定方向(看方向夾角的度數(shù));(3)、最后確定距離(看比例尺)。
描繪路線圖的關(guān)鍵是選好觀測點，建立方向標，確定方向和路程。
位置關(guān)系的相對性：兩地的位置具有相對性在敘述兩地的位置關(guān)系時，觀測點不同，敘述的方向正好相反，而度數(shù)和距離正好相等。
相對位置：東--西;南--北;南偏東--北偏西。
六年級上冊數(shù)學知識3第三單元分數(shù)的除法
一、分數(shù)除法的意義：分數(shù)除法是分數(shù)乘法的逆運算，已知兩個數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。
二、分數(shù)除法計算法則：除以一個數(shù)(0除外)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)。
1、被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)×除數(shù)的倒數(shù)。
2、除法轉(zhuǎn)化成乘法時，被除數(shù)一定不能變，“÷”變成“×”，除數(shù)變成它的倒數(shù)。
3、分數(shù)除法算式中出現(xiàn)小數(shù)、帶分數(shù)時要先化成分數(shù)、假分數(shù)再計算。
4、被除數(shù)與商的變化規(guī)律：
①除以大于1的數(shù)，商小于被除數(shù)：a÷b=c 當b>1時，c
②除以小于1的數(shù)，商大于被除數(shù)：a÷b=c 當ba (a≠0 b≠0)
③除以等于1的數(shù)，商等于被除數(shù)：a÷b=c 當b=1時，c=a
三、分數(shù)除法混合運算
1、混合運算用梯等式計算，等號寫在第一個數(shù)字的左下角。
2、運算順序：
①連除：同級運算，按照從左往右的順序進行計算;或者先把所有除法轉(zhuǎn)化成乘法再計算;或者依據(jù)“除以幾個數(shù)，等于乘上這幾個數(shù)的積”的簡便方法計算。加、減法為一級運算，乘、除法為二級運算。
②混合運算：沒有括號的先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面，再算括號外面。
(a±b)÷c=a÷c±b÷c
六年級上冊數(shù)學知識4第四單元比
比：兩個數(shù)相除也叫兩個數(shù)的比
1、比式中，比號(∶)前面的數(shù)叫前項，比號后面的項叫做后項，比號相當于除號，比的前項除以后項的商叫做比值。
連比如：3：4：5讀作：3比4比5
2、比表示的是兩個數(shù)的關(guān)系，可以用分數(shù)表示，寫成分數(shù)的形式，讀作幾比幾。
例：12∶20= =12÷20= =0.6 12∶20讀作：12比20
區(qū)分比和比值：比值是一個數(shù)，通常用分數(shù)表示，也可以是整數(shù)、小數(shù)。
比是一個式子，表示兩個數(shù)的關(guān)系，可以寫成比，也可以寫成分數(shù)的形式。
3、比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。
4、化簡比：化簡之后結(jié)果還是一個比，不是一個數(shù)。
(1)、用比的前項和后項同時除以它們的最大公約數(shù)。
(2)、兩個分數(shù)的比，用前項后項同時乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡整數(shù)比的方法來化簡。也可以求出比值再寫成比的形式。
(3)、兩個小數(shù)的比，向右移動小數(shù)點的位置，也是先化成整數(shù)比。
5、求比值：把比號寫成除號再計算，結(jié)果是一個數(shù)(或分數(shù))，相當于商，不是比。
6、比和除法、分數(shù)的區(qū)別：
除法：被除數(shù)除號(÷) 除數(shù)(不能為0) 商不變性質(zhì) 除法是一種運算
分數(shù)：分子分數(shù)線(—)分母(不能為0) 分數(shù)的基本性質(zhì) 分數(shù)是一個數(shù)
比：前項比號(∶) 后項(不能為0) 比的基本性質(zhì) 比表示兩個數(shù)的關(guān)系
商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，商不變。
分數(shù)的基本性質(zhì)：分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，分數(shù)的大小不變。
分數(shù)除法和比的應(yīng)用
1、已知單位“1”的量用乘法。
2、未知單位“1”的量用除法。
3、分數(shù)應(yīng)用題基本數(shù)量關(guān)系(把分數(shù)看成比)
(1)甲是乙的幾分之幾?
甲=乙×幾分之幾 乙=甲÷幾分之幾 幾分之幾=甲÷乙
(2)甲比乙多(少)幾分之幾?
4、按比例分配：把一個量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
5、畫線段圖：
(1)找出單位“1”的量，先畫出單位“1”，標出已知和未知。
(2)分析數(shù)量關(guān)系。(3)找等量關(guān)系。(4)列方程。
兩個量的關(guān)系畫兩條線段圖，部分和整體的關(guān)系畫一條線段圖。
六年級上冊數(shù)學知識5第五單元圓
一、圓的特征
1、圓是平面內(nèi)封閉曲線圍成的平面圖形。
2、圓的特征：外形美觀，易滾動。
3、圓心O：圓中心的點叫做圓心.圓心一般用字母O表示。
圓多次對折之后，折痕的相交于圓的中心即圓心。圓心確定圓的位置。
半徑r：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，且所有的半徑都相等。半徑確定圓的大小。
直徑d:通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓里，有無數(shù)條直徑，且所有的直徑都相等。直徑是圓內(nèi)最長的線段。
同圓或等圓內(nèi)直徑是半徑的2倍：d=2r 或 r=d÷2
4、等圓：半徑相等的圓叫做同心圓，等圓通過平移可以完全重合。
同心圓：圓心重合、半徑不等的兩個圓叫做同心圓。
5、圓是軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。
折痕所在的直線叫做對稱軸。
有一條對稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。
有二條對稱軸的圖形：長方形
有三條對稱軸的圖形：等邊三角形
有四條對稱軸的圖形：正方形
有無條對稱軸的圖形：圓，圓環(huán)
6、畫圓
(1)圓規(guī)兩腳間的距離是圓的半徑。(2)畫圓步驟：定半徑、定圓心、旋轉(zhuǎn)一周。
二、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，周長用字母C表示。
1、圓的周長總是直徑的三倍多一些。
2、圓周率：圓的周長與直徑的比值是一個固定值，叫做圓周率，用字母π表示。
即：圓周率π = 周長÷直徑≈3.14
所以,圓的周長(c)=直徑(d)×圓周率(π)—周長公式：c=πd, c=2πr
圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，3.14是近似值。
3、周長的變化的規(guī)律：半徑擴大多少倍直徑也擴大多少倍，周長擴大的倍數(shù)與半徑、直徑擴大的倍數(shù)相同。
4、半圓周長=圓周長一半+直徑=
πr+d
三、圓的面積s
1、圓面積公式的推導
如圖把一個圓沿直徑等分成若干份，剪開拼成長方形，份數(shù)越多拼成的圖像越接近長方形。
圓的半徑=長方形的寬
圓的周長的一半=長方形的長
長方形面積=長×寬
所以：圓的面積=圓的周長的一半(πr)×圓的半徑(r)
S圓 =πr×r=πr2
2、幾種圖形，在面積相等的情況下，圓的周長最短，而長方形的周長最長;
反之，在周長相等的情況下，圓的面積則最大，而長方形的面積則最小。
周長相同時，圓面積最大，利用這一特點，籃子、盤子做成圓形。
3、圓面積的變化的規(guī)律：半徑擴大多少倍,直徑、周長也同時擴大多少倍，圓面積擴大的倍數(shù)是半徑、直徑擴大的倍數(shù)的平方倍。
4、環(huán)形面積
=大圓–小圓=πR2-πr2
扇形面積=πr2×n÷360(n表示扇形圓心角的度數(shù))
5、跑道：每條跑道的周長等于兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。
因為兩條直跑道長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。
一個圓的半徑增加a厘米，周長就增加2πa厘米。
一個圓的直徑增加b厘米，周長就增加πb厘米。
6、任意一個正方形的內(nèi)切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶π。
7、常用數(shù)據(jù)
關(guān)鍵詞：小學數(shù)學 口頭語言教學
中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.224
語言是教師傳授知識和與學生交流最重要的載體，教學語言藝術(shù)是教學藝術(shù)的重要組成部分。教師除了使用普通話、語法規(guī)范、簡潔流利、語言親切等基本要求，數(shù)學教師課堂口頭語言還必須達到如下幾點。
第一，教育性。
思想教育始終貫穿在各種教學活動之中，數(shù)學學科也不例外。例如教學圓周率時，結(jié)合圓面積的推導方法，向?qū)W生初步滲透“化圓為方”的極限思想和物質(zhì)的無限不可分性等辯證唯物主義思想，介紹祖沖之是數(shù)學史上第一個精確計算圓周率達小數(shù)后第7位的人，比歐洲的數(shù)學家早一千多年，增強學生的民族自豪感，使學生受到愛國主義教育。雖然中國近代科學落后于西方國家，但主要是由于明清時代落后的封建制度導致的，中國人并不笨，只要我們發(fā)奮圖強，一定會趕上并超過西方國家的，教育學生從小樹立遠大的目標，并把學習與國家的興旺民族的命運緊密相聯(lián)，激勵學生“為中華之崛起而讀書”。再如教學元、角、分的認識時，說明人民幣是中國的法定貨幣，是國家經(jīng)濟活動和人民生活必不可少的重要組成部分，愛護人民幣是每個中國人的義務(wù)，亂涂亂畫人民幣是錯誤的，故意損毀人民幣更是一種違法行為。
第二，邏輯性。
數(shù)學語言邏輯嚴密，全面，條理清楚、層次分明是邏輯嚴密性最基本的要求，在具體的數(shù)學教學活動中，對每一個關(guān)鍵的字詞都必須仔細研究、細心推敲，準確地理解關(guān)鍵字詞之間的依存和制約關(guān)系，教學語言必須符合邏輯，言必有據(jù)，不能有絲毫含糊。如關(guān)于“平行線”的概念：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，它的關(guān)鍵詞：“同一平面內(nèi)”，“不相交”，“兩條直線”，教師須強調(diào)“在同一平面內(nèi)”，可以演示不同平面內(nèi)不相交但不平行的情形，平行線是兩條直線，不是孤立的一條直線，它所描述的是兩條直線之間的關(guān)系。教師準確地使學生理解各個數(shù)學概念的邏輯關(guān)系，也有助于學生形成正確的邏輯思維能力。反之，如果教師教學活動邏輯不夠嚴密，則會影響學生對數(shù)學概念的準確理解，如“0除以任何數(shù)都得0”，這句話就邏輯關(guān)系就很不嚴密，它忽略了“除數(shù)應(yīng)是0除外”這一重要前提。在教學分數(shù)的意義時，“把一個物體平均分成幾份，取其中的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)?！眲偨虒W分數(shù)的意義時，教師往往還能強調(diào)“平均分”，但不久后，部分教師就不那么強調(diào)，常常不留心，說：“把一個物體分給三個人，每人分得幾分之幾？”這樣，“平均分”這一重要前提就被遺漏，對學生正確理解分數(shù)的意義會產(chǎn)生惡性的反彈。
第三，精確性。
生活中的普通語言，是學生非常熟悉的，數(shù)學語言來源于普通語言，它的解釋必須以普通語言為基礎(chǔ)，但數(shù)學語言比較抽象、準確、周密，因此，教師必須嫻熟自如地駕馭數(shù)學語言，在具體教學活動中，要準確地解釋數(shù)學語言的含義，教師在使用口語解釋概念時，表達的內(nèi)容必須具有準確性，不可含混不清，尤其注意與普通語言的區(qū)別，學生才能準確理解并熟練地掌握數(shù)學語言的意義，例如生活中的“直線”指線條不彎曲，但它的長度通常是有限的，學生憑著生活經(jīng)驗將“直線”一詞與彎曲相對應(yīng)比較，而數(shù)學語言中的“直線”指沒有端點，無限延伸，學生通常會將這兩個意義相混，教師應(yīng)將這兩個意義嚴格區(qū)別，準確揭示它們的內(nèi)涵。再如，在教學“三角形的基本知識”時，關(guān)于三角形是這樣敘述的：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。教師應(yīng)說明，數(shù)學語言中的“圍成”是指“圍成封閉的圖形”，要引導學生把“圍成”與“組成”一詞相區(qū)別，還要突出“封閉”的意義，環(huán)繞四周而不封閉也不是數(shù)學語言中的“圍成”，這樣對學生正確掌握三角形包括長方形、正方形等封閉圖形的意義有很大的作用，也為以后正確理解周長的意義打下堅實的基礎(chǔ)。小學四則混合運算中：沒有括號時，先算乘除，后算加減。教師應(yīng)強調(diào)乘除是二級運算應(yīng)先算，但乘與除是同一級運算，哪個運算在前就先算，加與減也是同樣的關(guān)系，但學生由于對這句話理解不透徹，認為先算乘，如150÷10×3=150÷30=5，或先算加120-15+20=120-35=85。
第四，目的性。
關(guān)鍵詞：比；意義；學習方式；互補
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）18-181-02
義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應(yīng)當是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作學習等，都是學習數(shù)學的重要方式?！边@里的“認真聽講、積極思考”是啟發(fā)式的教學方式；“動手實踐、自主探索與合作學習”是探索性的學習方式。筆者認為，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》這一表述，說明教師在選擇不同的學習方式應(yīng)因人、因教材而異，充分考慮教師、學生、教學內(nèi)容三者的聯(lián)系和區(qū)別，冷靜分析，有效結(jié)合課程內(nèi)容的特點，采用不同的學習方式，提高課堂教學的有效性。下面，以《比的意義》一課為例，談?wù)剬W習方式的有效交替、互補、融合。
一、 概念的理解，以啟發(fā)式教學為主
小學數(shù)學的概念具有高度的抽象性，學生的思維處于從形象思維為主逐步過渡到抽象思維為主，理解和掌握概念有一定的難度。教學時，應(yīng)當遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，選擇適當?shù)慕虒W方式進行教學。對于定義式的概念，條件和結(jié)論十分明顯，不需要花很大的時間去探究，學生也能抓住概念的本質(zhì)，因此，采用啟發(fā)式的學習比較好。
片段一：理解比的意義（啟發(fā)式教學為主）
15÷10 15比10
10÷15 10比15
42252÷90 42252比90
師：請同學們觀察這些算式？說說你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：我發(fā)現(xiàn)左邊都是用除法，（表示兩個數(shù)相除）；右邊都是用比，（表示兩個數(shù)的比）。
師：你能用一句話概括左邊和右邊的關(guān)系嗎？
生：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。
師：大家同意嗎？（同意）既然兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比，換句話說，
生：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。
師：對，在這句話里，那兩個字最重要。
生：相除
師：2個數(shù)相乘是比嗎？（不是）相加呢？（不是）相減呢？都不是，只有2個數(shù)相除，才能叫做2個數(shù)的比，這就是比的意義。
案例分析：
在上述的片斷教學中，教師采用邊啟發(fā)邊引導的方式，讓學生在老師的引導下、思考并總結(jié)出比的意義，使學生成為學習的主體，逐步學會學習。在形成比的意義后，抓住關(guān)鍵詞語相除，引導學生進行精細化的剖析，通過對關(guān)鍵詞語的分析，使學生弄清楚概念的內(nèi)涵和外延，深入理解概念。啟發(fā)式學習使學生在較短的時間內(nèi)能夠掌握大量的數(shù)學知識，有利培養(yǎng)學生積極性，快速提高學生的課堂效率。注意：啟發(fā)式的教學也要尊重學生已有的知識經(jīng)驗，在學習過程中深化理解并靈活應(yīng)用。
二、問題的解決，以探究式的學習方式為主
學生通過閱讀能夠自己領(lǐng)會和把握的內(nèi)容，要把學習的主動權(quán)給學生，使學生在主動參與研究的前提下，運用科學的方法對問題進行分析、思考，在這個過程中獲得創(chuàng)新實踐能力和自主建構(gòu)知識體系的一種學習方式，這種學習方式是學生終身學習所需要的品質(zhì)。在課堂上，教師要給學生足夠的時間和空間，適時組織學生圍繞“比”的問題去研究、探索、討論等，實現(xiàn)了探究式的學習方式，有利于發(fā)展學生的主體性。
片段二：比的問題理解（以探究式的學習方式為主）
師：引導學生自學教材第49頁“做一做”之前的內(nèi)容，并完成下面的問題. 先自學，在同桌合作完成，最后匯報。（溫馨提示：請以15：10為例，同桌合作完成）
（1）幾比幾有幾種不同寫法？讀法呢？
（2）比的各部分名稱是什么？
（3）怎樣求比值？比值可以怎樣表示？
（4）想一想，比與除法、分數(shù)之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？并同桌合作完成下面表格：（以15：10=15÷10= 為例子）
案例分析：
探究性學習主要以問題探究為主。學生通過自學，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的活動，在和同桌的交流過程中，思維發(fā)生碰撞，經(jīng)過磨合，獲取知識和技能，增強問題意識，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)造能力。由于小學生認知水平和生活經(jīng)驗有限，特別是當問題深、難時，學生探究起來就有一定的困難，教師要適時引導、講解，指導學生推動探究的進程，獲取問題的解決。在這個片段中，先讓學生自學，再同桌合作完成，這樣探究式的學習有助于學生深刻理解比的相關(guān)知識，但在比和除法、分數(shù)的區(qū)別探究，個別優(yōu)秀的學生可能知道它們的區(qū)別，其它學生可能不明白，教師就要特別關(guān)照和鼓勵學生，引導他們前后桌交流，或者給予必要的提示，使學生按時完成任務(wù)。如果不以探究式的學習為主組織教學，簡單告訴學生答案，學生會記住，但是他們無法真正理解，沒有在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，缺乏應(yīng)有的經(jīng)歷、體驗和感悟。
三、學法的選擇，應(yīng)重視不同學習方式的互補
筆者認為，教師在教學中要做到“啟發(fā)式的學習”與“探究性的學習”各司其職；教師要根據(jù)教學目標、教學內(nèi)容以及學生的特點及時調(diào)整，學會靈活多種學習方式，將啟發(fā)式的學習”與“探究性的學習”互相融合，互相補充，相得益彰。這節(jié)課大體經(jīng)歷了創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題；探究新知，理解比的意義（同類量的比；不同類量的比；比較分析）；自主學習，合作探究（自主學習，同桌合作；匯報交流；小結(jié)）；鞏固知識，拓展應(yīng)用；回顧總結(jié)，交流收獲等幾個環(huán)節(jié)，對比的意義的理解和感悟貫穿始終，成為這節(jié)課清晰的教學主線和脈絡(luò)。創(chuàng)設(shè)情景、揭示課題和探究新知、理解比的意義以啟發(fā)式的學習為主；自主學習，合作探究和鞏固知識，拓展應(yīng)用等幾個環(huán)節(jié)以探究性的學習。每一個教學環(huán)節(jié)又有不同的學習方式互補。就比的相關(guān)知識的理解，如果說片段二對主要運用了探究性的學習；那么片段三的啟發(fā)式的學習無疑是對上述探究性學習的補充和拓展。
片段三：強化“比的相關(guān)知識”
師：請看表格，這是比、除法、分數(shù)它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，你能嘗試用字母表示它們的內(nèi)在聯(lián)系嗎？（能）請寫在本子上，文云你上來板演。
師：b不等于零，說明什么？你又想到什么？
生：比的后項不能為零，除法中的除數(shù)不能為零，分數(shù)中的分母不能為零；我想到比的意義：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。
師：還有要補充的嗎？
生：有，比的前項除以后項等于比值。
師：同學們都說的非常好！用字母表示把我們今天所學的知識都連在一起，使你們看到字母就想到很多，你們真是太厲害了。
案例分析：
啟發(fā)式的學習和探究性的學習各有其好的地方，也有不足。探究性的學習比較放得開，它更重視學生主動學習和獨立思考，更強調(diào)學生探究的過程，注重學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)；但學生獲得的知識比較零散，缺乏條理性和系統(tǒng)性。啟發(fā)式的學習是教師向?qū)W生提供前人的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的經(jīng)驗，學生把這些經(jīng)驗內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，使其成為學生認識事物、分析問題、處理問題的一種學習方式，它在較短的時間內(nèi)讓學生吸收更多的信息，使學生有成就感；但學生接觸到的知識是現(xiàn)成的，需要反復訓練以強化記憶才能達到鞏固。這個片斷教學中主要應(yīng)用了啟發(fā)式的學習，教師提出問題引導學生從關(guān)注比、除法、分數(shù)它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，嘗試用字母表示它們的內(nèi)在聯(lián)系，這是從一些題到一類題，是學生認識上的深化。如果教師沒有提出這個問題，學生對比、除法、分數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系就沒有提升，而在教師的引導下，學生通過比較分析，進一步明確b不等于零原因，對于個別知識比較零散的學生，教師這一總結(jié)，使他對今天的知識進行系統(tǒng)性的了解，達到鞏固、強化的目的，并且會運用這些知識解決一些實際問題。
在教學實踐中，教師除了正確理解各種學習方式的內(nèi)涵及相互關(guān)系，還需要注意以下幾點：各種學習方式都有優(yōu)勢和不足；學習方式要因時、因地、因人而異，不能“一刀切”；要善于依據(jù)學科中不同教學內(nèi)容，靈活運用適當?shù)膶W習方式；要實事求是，要設(shè)計符合學校實際、學生特點的探究活動；探究學習和啟發(fā)式的學習是最基本、最常用的方式。經(jīng)驗告訴我們，任何走極端的行為都有可能導致危險。如果一定要把接受和探究作為學習方式的兩個極端，那么在這兩個極端之間還有非常廣闊的中間地帶，存在學習方式的“結(jié)合部”，在這里接受中有探究、探究中有接受。
參考文獻：
